2024湖南师大附中高一下学期入学考试数学试卷含解析

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命题：刘东红 彭萍 贺忠良
（考试范围：必修1）
时量：120分钟 满分：150分
得分：______.
一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）
1. 已知全集，则集合（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知上的函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）
A. 横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
4. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知实数a，b，满足恒成立，则的最小值为（ ）
A. 2B. 0C. 1D. 4
6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则以下关于的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 设，，，为实数，且，则（ ）
A. B.
C D.
10. 已知函数，给出下列四个结论，其中正确的有（ ）
A 若，则函数至少有一个零点
B. 存在实数，使得函数无零点
C. 若，则不存在实数，使得函数有三个零点
D. 对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点
11. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 当时，水深度达到
D. 已知函数的定义域为，有个零点，则
三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为______.
13 若，则________．
14. 如图，正方形的边长为分别为边上的点.当的周长为2时，则的大小为______.

四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知集合.
（1）求；
（2）已知集合，若，求实数的取值范围.
16. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若，，求的值.
17. 如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为.
（1）求的值；
（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（3）某时刻(单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过分钟后，盛水筒W是否在水中？
18. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.
19. 已知e是自然对数底数，．
（1）判断函数在上的单调性并证明你的判断是正确的；