2024省哈尔滨三中高一下学期寒假验收考试数学含解析

这是一份2024省哈尔滨三中高一下学期寒假验收考试数学含解析，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分．
考试时间为60分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题（共50分）
（一）单项选择题（共7小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在同一平面直角坐标系中，函数，的图象只可能是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 9B. 10C. 12D. 13
5. 已知，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数若，且，则取值范围是（ ）
A B. C. D.
7. 设是上奇函数，且满足：对任意的且都有，，则的解集是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
（二）多项选择题（共3小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
8. 已知，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
9. 已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（ ）
A. B.
C. D. 的单调递增区间为
10. 函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
第Ⅱ卷（非选择题，共50分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）
11. 幂函数在区间上单调递增，则实数的值为________．
12. 已知函数，则的定义域为______．
13. 已知函数，用表示的最小值，记为，那么的最大值为______．
14. 设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是______________
三、解答题（本大题共2小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15 已知．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，求的值域．
16 己知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）己知，都有，求实数a的取值范围．哈三中高一学年寒假验收考试数学试卷
考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分．
考试时间为60分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题（共50分）
（一）单项选择题（共7小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.
【详解】.
故选：C.
2. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出，再根据补集的运算，即可求得答案.
【详解】由题意得，则，
故选：B．
3. 在同一平面直角坐标系中，函数，的图象只可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.
【详解】因为，所以在定义域上递增，且，
所以在定义域上递减，
故选：C
4. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 9B. 10C. 12D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.
【详解】
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
5. 已知，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合指、对数函数单调性运算求解.
【详解】因为，
由在上单调递增，可得，即；
由内单调递增，可得，即；
由在内单调递增，可得，即；
综上所述：.
故选：D.
6. 已知函数若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出的大致图象，根据题意转化为与的图象有4个不同交点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，作出的大致图象，如图所示，
要使得，
即函数与的图象有4个不同交点，则，
所以实数的取值范围是．
故选：A.
7. 设是上奇函数，且满足：对任意的且都有，，则的解集是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由题得出的性质，然后作出草图即可得出答案.
【详解】对任意的且都有，所以时，严格减，又是上奇函数，且，所以可以画出的草图如下：

由图易知，当时，，此时；当时，，此时，故不等式解集为或，
故选：D.
（二）多项选择题（共3小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
8. 已知，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断CD，再由特殊值判断AB.
【详解】A选项，，，，满足，但，A错误；
B选项，由，是一个反例，B错误；
C选项，由可得，则，C正确；
D选项，，D正确；
故选：CD.
9. 已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（ ）
A. B.
C. D. 的单调递增区间为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用奇函数的性质可求a的值，代数求值可验证C项，根据表达式作出函数图象可验证D项.
【详解】因为函数为奇函数，，即，解得，故B正确，A错误；
因为，所以，故C正确；
作出的图象，如图，所以的单调递增区间为，，D选项形式错误，不能用并集的符号.
故选：BC.
10. 函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
【答案】ABC
【解析】
【分析】借助图象周期求出、再由定点结合范围求出，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D．
【详解】对于选项A:由题意可得，故，
则，，
即，解得，
又，即，故A正确；
对于选项B:即，当时，有，
故的图象关于点对称，故B正确；
对于选项C:令，则，
当时，，
而在单调递增，故C正确；
对于选项D:将函数的图象向由右平移个单位得到，故D错误．
故选：ABC．
第Ⅱ卷（非选择题，共50分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）
11. 幂函数在区间上单调递增，则实数的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数的定义求解参数，再利用单调性取舍即可.
【详解】为幂函数，或
又在区间上单调递增，
故答案为：
12. 已知函数，则定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，进而根据复合函数的定义域，即可求解．
【详解】由题意得，，解得，
令，则，
故的定义域为.
故答案为：
13. 已知函数，用表示的最小值，记为，那么的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】在在同一坐标系中，画出的图像，根据条件，利用图像即可求出结果.
【详解】由，得到或，在同一坐标系中，画出的图像，如图所示，
因为，由图知，当时，取到最大值为，

故答案为：.
14. 设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是______________
【答案】
【解析】
【分析】先化简为，当时，得到.若函数在恰好有5个零点，只需函数在区间上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可得，求解即可.
【详解】由题意得，
令，得，
因为函数在恰好有5个零点，
所以函数在上恰有5条对称轴．
当时，，
令，
则在上恰有5条对称轴，如图：

所以，解得．
故答案：
三、解答题（本大题共2小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，求的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用两角和差的正弦和二倍角公式，化为正弦型函数，整体代入后求单调区间；
(2)由给定区间，求出，再求函数的值域.
【小问1详解】


由，，
解得：，
函数的单调递增区间为；
【小问2详解】
当时，，
函数的值域为.
16. 己知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）己知，都有，求实数a的取值范围．
【答案】（1）偶函数 （2）或.
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断，即可得答案；
（2）化简，利用换元法，令，将化，结合函数单调性求得其最小值，进而将不等式恒成立问题化为恒成立，继而可得恒成立或恒成立，结合二次函数知识，即可求解.
小问1详解】
由题意知函数的定义域为R，
故，
故为偶函数；
【小问2详解】
由于
，
令，则，当且仅当，即时取等号，
故，即为，，
由于在上单调递增，故的最小值为，
即的最小值为；
由于，都有，
故只需，即，恒成立，
令，则恒成立，
即恒成立或恒成立，
而，当时取到最大值；
恒成立，
故或.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于将，都有，转化为函数的最值问题求解，然后结合不等式知识以及函数的单调性即可求解.