中考数学一轮复习题型归纳专练专题13 平行四边形（2份打包，原卷版+解析版）

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题型演练
题型一 利用平行四边形的性质求解
1．在下列性质中，平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．内角和为
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】∵平行四边形的对边相等，对角相等，内角和为，
∴平行四边形不一定具有的性质是对角线相等；
故选：C．
2．如图，平行四边形中，对角线相交于点，点E是的中点，则与的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可知，，得出；即，再根据三角形中线的性质，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∴
∵点是的中点
∴
∴
故选：C．
3．如图，平行四边形中，的平分线交于E，，，则的长（ ）
A．4B．5C．5.5D．6
【答案】B
【分析】由在平行四边形中，的平分线交于点E，易证得，继而求得的长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B
4．在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是______．
【答案】4或8
【分析】分两种情形讨论即可①如图1中，点在点左侧，②如图2中，点在点右侧．由平行四边形的性质及等腰三角形的判定可得出答案．
【详解】解：如图，
四边形是平行四边形，
，，，
，
又平分，
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
，
；
如图中，
同理可知，，
，
．
，
综上所述为或，
故答案为：或．
5．如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．
【答案】7
【分析】根据折叠的性质可得：，，从而平行四边形的周长可以转化为的周长的周长，求出，再由的周长，即可求出的长．
【详解】∵向上翻折，点A正好落在边上，
∴，，
∵的周长为6，的周长为20，
∴，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴．
故答案为：7．
6．如图，在平行四边形中，，，．求平行四边形的面积．
【答案】
【分析】过D作于E，由平行四边形的性质得，，再由含30°角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理得，即可解决问题．
【详解】解：如图，过D作于E，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积．
7．如图，在平行四边形中，是它的一条对角线．
(1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法画出图形，即可求解；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再由三角形的外角性质，即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴ ，
∴．
8．已知：中，，AE平分交BC于E点．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)128°；
(2)116°；
【分析】（1）由ABCD是平行四边形可得AD∥BC，由两直线平行同旁内角互补可得∠BAD；
（2）由角平分线的定义可得∠DAE，根据两直线平行同旁内角互补可得∠AEC；
【详解】(1)解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=52°，
∴∠BAD=180°-52°=128°，
(2)解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD=64°；
∵AD∥BC，
∴∠DAE+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°-64°=116°；
题型二 利用平行四边形的性质证明
9．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据平行四边形的性质求出，再结合角平分线的定义可证∠CBF=∠CFB，进而可求出DF的长．
【详解】解：∵平行四边形ABCD，，，
∴ ，AB=CD=3，BC=AD=5，
∴∠ABE=∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBF，
∴∠CBF=∠CFB，
∴CF=CB=5，
∴DF=CF-CD=5-3=2
故选：C．
10．如图，中，点O为对角线AC的中点，直线l经过点O分别与BC，AD交与点M，N，下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质逐项推理证明即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，A成立，不符合题意；
∵AD∥BC，
∴，
∵点O为对角线AC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，C、D成立，不符合题意；
不一定 成立，B符合题意；
故选：B．
11．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（ ）
A．6B．8C．D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，垂线段最短，可以得到当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP的值就是AQ的最小值，从而可以解答本题．
【详解】解：∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AQ＝PC，
∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，
∵∠BAC＝45°，
，
设，
在Rt△APC中，AB＝AC＝8，
则，即，
解得，
故选：D．
12．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，如果AE＝4，DE＝3，DC＝5，则AC长为______．
【答案】
【分析】连接CE，根据平行四边形的性质可得AO＝CO，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CE＝AE＝4，利用勾股定理的逆定理得到∠CED＝90°，得到△AEC是等腰直角三角形，即可求得结论．
【详解】解：如图，连接CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴CE＝AE＝4，
∵DE＝3，
∴CE2+DE2＝42+32＝52＝CD2，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AC＝AE＝4，
故答案为：4．
13．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，AD＝2，E，H分别为边AB，CD上一点．将平行四边形ABCD沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C，若FG⊥CD，C为FG的中点，则EF的长度为 _____．
【答案】
【分析】延长CF与AB交于点M，由平行四边形的性质得BC，GM⊥AB，即可得，然后可得GF，∠EFG，进而得FM，∠EFM，即可求得结果．
【详解】解：如图：延长CF与AB交于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，BC=AD=2，
∵FG⊥CD，
∴CM⊥AB，
∵∠B=45°，
∴BM=CM，
∴，
∴CM，
由折叠知GF=AD=2，
∵C为FG的中点，
∴CG=1，
∴，
∵∠EFG=∠A=180°-∠B=135°，
∴∠MFE＝45°，
∴．
故答案为：．
14．已知：如图，在平行四边形中，点、为对角线上两点，且求证：．
【答案】见解析
【分析】证明，由全等三角形的性质可得出答案．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
即．
15．如图，在中，．
(1)用尺规完成以下基本作图：在上截取，使；作的平分线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，连接交于点G，证明：．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用尺规作图画出图形，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质可得，从而得到，再由平分，可得，从而得到，进而得到，即可．
【详解】（1）解：如图所示，点E、F即为所求；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴．
16．如图，在▱ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠DAE＝35°．
(1)求证：△AED≌△CFB；
(2)求∠CBF的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠CBF＝55°
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到∠DAE＝∠BCF，再结合条件即可．
（2）利用互余求角度，结合（1）中的全等解题即可．
【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD＝CB，
又AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC．
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（AAS）；
（2）解：在Rt△ADE中，∠DAE＝35°，∠DEA＝C＝90°，
∠ADE＝90°﹣∠DAE＝55°，
∵△AED≌△CFB（AAS），
∴∠CBF＝∠ADE＝55°
17．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥DE，AE=AD，AE交BC于O．
(1)求证：∠BCA=∠EAC；
(2)若CE=3，AC=4，求COE的周长．
【答案】(1)证明见解析；(2)8
【分析】（1）先根据平行四边形的性质证明∠DAC=∠BCA，再由三线合一定理证明，即可证明∠BCA=∠EAC；
（2）先根据等角对等边证明OA=OC，再由勾股定理求出AE的长，最后证明△COE的周长= AE+CE即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AE=AD，AC⊥ED，
∴，
∴∠BCA=∠EAC；
（2）解：∵∠BCA=∠EAC，
∴OA=OC，
∵AC⊥DE，即∠ACE=90°，
∴在Rt△ACE中，由勾股定理得：，
∴△COE的周长=CE+OC+OE=OA+OE+CE=AE+CE=8．
18．如图，在平行四边形中，，是对角线，是的平分线，交边的延长线于点．
(1)证明：；
(2)若，，写出图中长度等于的所有线段．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出，，进而得出答案；
（2）利用等边三角形的判定方法得出和是等边三角形，再证明得出≌（ASA），即可得出，进而可判定为矩形，再利用矩形的性质可得，进而可得答案．
【详解】（1）证明：如图，
是的平分线，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
．
（2）解：，
理由：如图，，，
，
，
，
则是等边三角形，
可得，，
，
，
是直角三角形，，
在和中，
≌（ASA），
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
题型三 判断能否构成平行四边形
19．下列命题中，真命题的是（ ）
A．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且一组对角互补的四边形是平行四边形
C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D．一组邻边相等且一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
【详解】解：、一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，原命题是假命题,不符合题意；
B、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题,不符合题意；
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，原命题是真命题,符合题意；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题,不符合题意；
故选：C
20．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）．
A．AB＝DC，AD＝BCB．
C．，AB＝DCD．，AD＝BC
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A．∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
B．∵，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
C．∵，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
D．由，AD=BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
21．如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理推理判断即可．
【详解】因为，
所以∠ABD=∠CDB，
因为∠AOB=∠COD，
所以△AOB≌△COD，
所以OB=OD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
故A可以，不符合题意；
因为，
所以∠DAC=∠BCA，
因为AC=CA，
所以△ACD≌△CAB，
所以AD=BC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
故B可以，不符合题意；
因为，
无法判定四边形ABCD是平行四边形，
故C不可以，符合题意；
因为，
所以四边形ABCD是平行四边形，
故D可以，不符合题意；
故选：C．
22．如图，是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
【详解】解：A. ，
，
，
四边形是平行四边形，故不符合题意；
B. ，
，
，
四边形是平行四边形，故不符合题意；
C. ，
，不能判断四边形是平行四边形，故符合题意；
D. ，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故不符合题意．
故选：C．
23．下列命题错误的是（ ）
A．一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形
B．一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形
C．一组对角相等且这一组对角的顶点连接的对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形
D．一组对边相等一组对角相等的四边形不一定是平行四边形
【答案】B
【分析】根据所给的每一个命题进行推导，看是否符合平行四边形的判定定理：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
【详解】A、一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，但不能证明另一组对边也相等或平行，故该命题正确；
B、一组对角相等，这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是四边形，能证明另一组对角也相等，故该命题错误；
C、一组对角相等，这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形，不能证明另一组对角也相等，故该命题正确；
D、一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故该命题正确；故选：B．
题型四 证明四边形是平行四边形
24．如图，已知在四边形中，，点F是的中点，连接交于点A，且点E是的中点，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】先证明，得，再证，即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
25．如图，已知在四边形中，，点是的中点，连接交于点，且点是的中点，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】根据角边角，证明，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，再根据平行四边形的判定定理，即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
26．已知，点B，D在线段AF上，，且．
(1)求证：；
(2)连接，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由得到，即，由得到，即可证明；
（2）连接，，由（1）知，可得，，则，即可证得结论．
【详解】（1）证明：如图所示：
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴．
（2）连接，，
由（1）知，
∴，．
∴．
∴四边形是平行四边形．
27．如图，在中，点，分别是，的中点，点是延长线上的一点，且，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12cm2
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DEBC，BC=2DE，再证DE=BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BF=DE=3，四边形DEFB是平行四边形，勾股定理求得，进而求得，根据四边形的面积=BF•CD，即可求解．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，BC=2DE，
∵CF=3BF，
∴BC=2BF，
∴DE=BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：DE=BF=3cm，
∵D是AC的中点，CE=5cm，
∴AB=10cm，BC=6cm，
∵∠ACB=90°，
∴AC=（cm），
∴CD=cm
∴四边形DEFB的面积=BF•CD=4×3=12（cm2）．
28．如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
(1)求证：∠ACB＝∠DFE；
(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．
【答案】(1)见解析
(2)四边形BFEC是平行四边形
【分析】（1）证△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，则BC∥EF，再由平行四边形的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AF=CD，
∴AF ＋ CF = CD ＋ CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
△ABC≌△DEF（SSS）
（2）如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：
由（1）可知，∠ACB=∠DFE，
∴BC EF，
又∶ BC = EF，
四边形BFEC是平行四边形．
29．如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作∥交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形：
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得到，．根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形ADCE是平行四边形；
（2）过点C作于点G，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，．
∵F是AC中点，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
∵，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作于点G，
在中，，，，，
由勾股定理得，
∴，
在中，，，，
∴，
∴．
30．已知：如图，在四边形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，且O是AC的中点．
(1)求证：≌；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行线的性质，得到∠ABO =∠CDO，∠BAO=∠DCO，再结合AO = CO，即可证明结论成立；
（2）由全等三角形的性质得到AB = CD，即可证明四边形ABCD是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵AB//CD
∴∠ABO =∠CDO，∠BAO=∠DCO，
∵O是AC的中点，
∴AO = CO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB ≌ △COD（AAS）；
（2）证明：由（1）知△AOB ≌ △COD，
∴AB = CD
又AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
31．如图，在四边形中，点E，C为对角线上的两点，．连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由可得，证明，则，，进而结论得证；
（2）由，可知，，则，证明，进而结论得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）知，，
∴，AC=DE，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
题型五 利用矩形的性质求角度和线段长度
32．如图，矩形 中，，交于点O，M，N分别为， 的中点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据矩形的性质可得，，再根据三角形中位线的性质可得，得到．
【详解】解：∵矩形 中，，交于点O，
则，
∵
∴
在中，M，N分别为，的中点
∴
∴
故选：A
33．如图，矩形中，于，且：：，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用矩形的性质结合：：，求解再求解再利用角的和差即可得到答案．
【详解】解：∵矩形中，
∴
∵：：，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
故选C．
34．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先过点D作，由，可求得∠3的度数，易得，继而求得答案．
【详解】解：过点D作，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
35．如图，矩形的对角线，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得 ，再根据邻角互补求出的度数，然后得到是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解
【详解】解：在矩形中，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：C．
36．如图，点为矩形对角线与的交点，若，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．6
【答案】D
【分析】根据矩形的两条对角线相等，即可解答．
【详解】解：四边形是矩形，
，
故选：D．
37．如图，矩形的对角线交于点O，，则的长为（ ）
A．4B．6C．8D．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质结合已知求得，从而得出，在中，由勾股定理可求得的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
在中，
故选：D．
38．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，于点．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）18°
【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形得出OA=OD，再证△AEO≌△DFO（AAS），即可得出结论．
（2）由矩形的性质得出∠BAD=90°，OA=OB，则∠OAB=∠OBA，结合已知求出∠BAE=36°，则∠OBA=∠OAB=54°，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，AC=BD；
∴OA=OD
∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEO=∠DFO=90°，
在△AEO和△DFO中，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴AE=DF，
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠BAE：∠EAD=2：3，
∴∠BAE=36°，
∵∠AEB=90°
∴∠OBA=∠OAB=90°-36°=54°，
∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=54°-36°=18°．
39．如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使，连接，与交于点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据线段的和差关系可得，根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据即可得结论；
（2）根据矩形的性质可得，可得为直角三角形，利用“面积法”可求出的长，即可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴
∴为直角三角形，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
40．如图，在矩形中，E是上一点，于点F，设．
(1)若，求证：；
(2)若，，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用证明解题；
（2）利用同角的余角相等得到，利用三角函数、勾股定理解得长，进而求出的值．
【详解】（1）证明：连接，如图：
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）当D、B、F在同一直线上时，如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，
在中，，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴．
41．如图，在四边形中，，，，，分别为，的中点，连接，，延长交的延长线于点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，求的长度．结果可保留根号
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，，得到四边形为平行四边形，再根据平行线的性质和，得到，即可得证；
（2）证明，得到，根据矩形的性质，求出，进而得到，再利用勾股定理，进行求解即可。
【详解】（1）证明：在四边形中，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：，
，
为的中点，
．
在和中
，
，
，
四边形是矩形，
，，
为的中点，
，
在中，由勾股定理得：．
题型六 利用矩形的性质证明
42．如图，四边形是矩形，对角线相交于点，交的延长线于点．求证：．
【答案】见详解
【分析】根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
43．如图，在矩形中， 点在边上，，，垂足为．试判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】根据题中条件，可以判断．要证明两条线段相等，只需证明包含这两条边的，再利用两个三角形全等的性质即可得到结论．
【详解】解：．
理由如下：
在矩形中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
44．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且AF＝CE，求证：DF＝BE．
【答案】见解析
【分析】利用矩形的性质，证明Rt△ADF≌Rt△CBE，即可得解．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，
在Rt△ADF与Rt△CBE中，
AD＝CB，AF＝CE，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴DF＝BE．
45．如图，在平行四边形ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若△BCM是直角三角形，写出AD与AB之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由SSS证明△ABM≌△DCM，得出∠A=∠D，由平行线的性质得出∠A+∠D=，证出∠A=，即可得出结论；
（2）先证明△BCM是等腰直角三角形，得出∠MBC=，再证明△ABM是等腰直角三角形，得出AB=AM，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵点M是AD边的中点，
∴AM=DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，，
在△ABM和△DCM中，
∵，
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A=∠D，
∵，
∴∠A+∠D=，
∴∠A=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：AD与AB之间的数量关系：AD=2AB，理由如下：
∵△BCM是直角三角形，BM=CM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴∠MBC=，
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AB=AM，
∵点M是AD边的中点，
∴AD=2AM ，
∴AD=2AB．
46．在矩形ABCD中，E在BC的延长线上，连接DE，过点B作BF//DE交DA的延长线于点F．
(1)求证：BF＝DE；
(2)连接AE，若AF＝1，AB＝2，AD，求证：AE平分∠DEB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由矩形的性质得出AD∥BC，BF∥DE，即可得出四边形FBED是平行四边形，进而解答即可；
（2）由勾股定理得出BF，由平行四边形的性质得出DF∥BE，DE=BF，则∠DAE=∠AEB，证出DE=AD，由等腰三角形的性质得出∠DAE=∠DEA，得出∠AEB=∠DEA即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵BF∥DE，
∴四边形FBED是平行四边形，
∴BF=DE；
（2）如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠FAB=90°，
∵AF=1，AB=2，
∴由勾股定理得：，
∵四边形BEDF为平行四边形，
∴DF∥BE，DE=BF，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AD，
∴DE=AD，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠AEB=∠DEA，
即AE平分∠DEB．
47．如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)27
【分析】（1）根据矩形的性质得出，BC∥AD，根据平行四边形的判定可推出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质得出，从而结论得证；
（2）先根据勾股定理求得的长，再根据矩形的性质并结合（1）可得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
由（1）知，；
∴的周长为：
．
∴的周长为．
题型七 证明四边形是矩形
48．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点为的中点，于点，点为上一点，连接，，且．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)21
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明．
（2）利用矩形性质，得到是等腰直角三角形，求得的长，过D作于M，则是等腰直角三角形，运用勾股定理求得的长即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形为矩形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由（1）可知，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
如图，过D作于M，则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴．
49．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质求出，且，求出，根据矩形的判定推出即可；
（2）根据矩形性质求出，求出，解直角三角形求出即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
∴．
50．如图，中，为边的中点，连接并延长交的延长线于点，延长至点，使，连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）只需要利用证明即可；
（2）只需要证明与相等且互相平分，即可证明四边形是矩形．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴与相等且互相平分，
∴四边形是矩形；
51．如图，已知在中，，
小明同学进行了以下操作：
第一步：作出的中点E；
第二步：连接并延长到D，使得；
第三步：连接和．
则四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】矩形，理由见解析
【分析】由题意易得，然后可证四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理可求解．
【详解】解：四边形是矩形，理由如下：
∵E是AC的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为矩形．
52．如图，在平行四边形中，是对角线．
(1)用基本尺规作图完成以下作图，取边的点E，使得，并延长与的延长线交于点F，再连接；
(2)若，猜想四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是矩形，理由见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，可证得四边形是平行四边形，即可．
【详解】（1）解∶如图，即为所求；
（2）解∶ 四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
题型八 利用菱形的性质求解
53．如图，菱形中，交于，于，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
54．如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质可得，，，得到，从而得到，得到，利用等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：根据菱形的性质可得，，，
∴
又∵，
∴
∴，即为的中点
∴，
∴
故选C
55．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（ ）
A．－1B．－1C．－1D．2
【答案】B
【分析】根据题意，在N的运动过程中在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出C的长即可．
【详解】解：如图所示：
由折叠可知M=MA，
∵M为AD中点，
∴2MA=2MD=AD=2，
∴M= MA=1是定值，
∵M+C≥MC，
∴当线段长度是最小值时，在MC上，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵菱形ABCD，
∴CDAB
∴∠FDM=∠A=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=MD=，
∴FC=FD+CD=，FM=，
∴MC=，
∴C=MC-M=-1．
故选：B．
56．如图，菱形中，E，F分别是，的中点．若菱形的周长为32，则线段的长为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】A
【分析】先由菱形的性质求出菱形的边长，再根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：∵菱形的周长为32，
∴，
∴，
∵E，F分别是，的中点．
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
57．在菱形中，，，则菱形的周长为（ ）
A．48B．30C．20D．10
【答案】C
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求菱形的周长．
【详解】解：菱形对角线互相垂直平分，如下图：
，，
，
菱形的周长．
故选：C．
58．如图，在菱形中，，则菱形的周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由菱形中，，，根据菱形的性质，可求得，，，然后由勾股定理求得的长，即可解答．
【详解】解：∵菱形中，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴菱形的周长，
故选：D．
59．如图，菱形的对角线与相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F．若阴影部分的面积为5，则菱形的面积为（ ）
A．10B．15
C．20D．25
【答案】C
【分析】根据菱形的性质得，，，，可利用ASA证明，可得，即可得，即可得．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
在和中，
∴（ASA），
∴，
∴，
∴，
故选：C．
60．如图，已知菱形的两条对角线与长分别是和，则这个菱形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接由菱形面积等于对角线乘积的一半列式计算即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，
故选：C．
61．如图，四边形 是菱形， 于点 ．若 ，，则 的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于边长乘以高解题．
【详解】∵四边形为菱形，
∴，设与交于点O，
，
则，
，
，
即．
故选C．
题型九 利用菱形的性质证明
62．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【分析】利用平行四边形的判定，矩形的判定和性质，菱形的判定依次判断可求解．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
63．下列命题中正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等B．矩形的对角线互相垂直平分
C．对角线平分对角的平行四边形是菱形D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】C
【分析】分别根据矩形的性质与判断、菱形的判断与性质对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A． 菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，故A不符合题意；
B． 矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，故B不符合题意；
C． 对角线平分对角的平行四边形是菱形，描述正确，故C符合题意；
D． 对角线相等的四边形不一定是矩形，故D不符合题意．
故选：C．
64．下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直B．矩形的邻边相等
C．菱形的对角线互相垂直平分D．菱形的对角线相等
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质，以及特殊平行四边形的性质逐个进行判定即可．
【详解】解：A、矩形的对角线不一定垂直，故错误；
B、矩形邻边不一定相等，故错误；
C、菱形的对角线互相垂直平分，故正确；
D、菱形对角线不相等，故错误．
故选：C．
65．以下条件中能判定平行四边形为菱形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据菱形的判定定理即可进行解答．
【详解】解：
如图：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故选：C．
66．如图，在中，、分别为边、的中点，点、在上，且，若添加一个条件使四边形是菱形，则下列可以添加的条件是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，连接交于，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：可以添加的条件是，
理由：四边形是平行四边形，
，，
、分别为边、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
连接交于，
，，
，
四边形是菱形，
故选：D．
题型十 证明四边形是菱形
67．如图，菱形的对角线，相交于点O，E，F分别为边，的中点，连接，，.
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）要证明四边形是菱形，可根据“四条边相等的四边形是菱形”或“一组邻边相等的平行四边形菱形”进行证明；
（2）根据四边形是菱形可以得出，，结合，可求出的长，进而得到的长；又因为E，F分别为边，的中点，根据三角形中位线的性质即可求出线段的长．
【详解】（1）（1）∵四边形是菱形，∴，
又∵分别是的中点，
∴是△的中位线
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴四边形是菱形.
（2）（2）∵菱形，
∴，，
∴，
∴
∵分别是、的中点，
∴
68．如图，在中，，D是的中点，过点作，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；
（2）根据，，根据即可求菱形ADCF的面积．
【详解】（1）证明：，且是的中点，
又
四边形是平行四边形．
平行四边形是菱形．
（2）解：平行四边形是菱形，
，
是的中点，
，
69．如图，在矩形中，对角线交于点，分别过点作，的平行线交于点，连接交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由矩形的性质得，即可得出结论；
（2）先由矩形性质，得，再判定是等边三角形，得，再由菱形的性质得,，然后由勾股定理长，即可求得长，最后由菱形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明： ∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）知：四边形是菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理，得
，
∴，
∴，
答：菱形的面积为．
70．如图1，在中，，，是斜边上的中线，点E为射线上一点，将沿折叠，点B的对应点为点F．
(1)若，垂足为G，点F与点D在直线的异侧，连接．如图2，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，则的长度为____________．
【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析；
(2)．
【分析】（1）根据菱形的判定定理证明即可；
（2）证明，作交于点H，设，则，求出，进一步可求出．
【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下：
∵，，
∴，
∵是斜边上的中线，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：∵，，
∴，
∵是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
作交于点H，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴．
故答案为：
71．如图，在中，点D是边的中点，点F，E分别是及其延长线上的点，，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当满足____________条件时，四边形为菱形．（填写序号）
①．②，③，④．
【答案】(1)见详解
(2)①，理由见详解
【分析】（1）由已知条件，据证得，则可证得，继而证得四边形是平行四边形；
（2）由，得到，由得，即互相垂直平分，然后根据菱形的判定，可得四边形是菱形．
【详解】（1）证明：在中，D是边的中点，
∴
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）满足条件①时四边形为菱形．
理由：若时，为等腰三角形，
∵为中线，
∴，
即，
由（1）知，，
∴，
∴平行四边形为菱形．
故答案为：①．
题型十一 利用正方形的性质求解
72．如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据正方形的性质、三角形的外角性质可得，再根据定理证出，然后根据全等三角形的性质即可得．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
故选：A．
73．如图，在正方形中，对角线相交于点O．E、F分别为上一点，且，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中
，
∴（SAS）．
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B．
74．如图，边长为5的正方形中，点E、F分别在边、上，连接、、．已知平分，，则的长为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】先根据正方形性质和角平分线的定义，证明，得到，，再利用“”证明，得到，最后利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：过A作，
四边形是正方形，
，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
在和中，
,
在中，
解得：，
故选D．
75．如图，在正方形中，与相交于点，，点为上任意一点，于点，于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据四边形是正方形，得出，，，即可得出四边形是矩形，，可判断，然后根据勾股定理求出答案．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，，．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
在中，，
∴，
∴．
在中，，
解得cm（负值舍去），
∴的值为cm．
故选：B．
76．如图，已知，相邻两条平行线间的距离都等于，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，与交于点，则正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点D作，交于G点，交于F点，然后证明出和全等，从而得出，根据勾股定理求出的平方，即正方形的面积．
【详解】解：过点D作，交于G点，交于F点，
∵，，
∴，
即．
∵为正方形，
∴．
∴．
又∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，
即正方形ABCD的面积为5．
故选B．
77．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD边长为4，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】连接ED，由EC=AE得到点E是AC的中点，然后结合正方形的性质得到ED=EC、∠EDN=∠ECM=45°、∠DEC=90°，进而结合EF⊥EG得到∠MEC=∠NED，从而得证△MEC≌△NED，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形EMCN的面积与△EDC的面积，最后由正方形的边长求得结果．
【详解】解：连接ED，
∵AE=EC，
∴点E是AC的中点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DEC=90°，DE=EC，∠EDN=∠ECM=45°，
∴∠DEN+∠NEC=90°，
∵EF⊥EG，
∴∠MEC+∠NEC=90°，
∴∠DEN=∠CEM，
∴△MEC≌△NED（ASA），
∴，
∴，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC=4，
∴ED=EC=2，
∴=•ED•EC=×2×2=4，
∴重叠部分四边形EMCN的面积为4．
故选：B．
78．如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（ ）
A．三角形B．梯形C．正方形D．五边形
【答案】C
【分析】根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，从而可以进行从题后的答案中选择．
【详解】解：由题意知，对折实际上就是对称，对折2次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，
且每个角等于90度，
其只有正方形满足这一条件．
故选C．
79．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①∠EAG＝45°：②CE＝3DE；③AG∥CF；④S△FGC=，其中正确结论的个数是 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①由正方形的性质和翻折的性质可证明Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），推出∠BAG=∠FAG，根据∠DAE=∠FAE，可得∠EAG=∠BAD=45°；②由题意得EF=DE，GB=CG=GF=6，设DE=EF=x，则CE=12-x，在Rt△ECG中，（12-x）2+36=（x+6）2，求出x，则可得到CE=2DE；③由CG=BG，BG=GF，可得CG=GF，则∠GFC=∠GCF，因为∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，可推出∠AGB=∠GCF，则AG∥CF；④由S△GCE=×GC×CE，又因为△GFC和△FCE等高，可得S△GFC：S△FEC=3：2，S△GFC=×24=．
【详解】解：①∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，
由折叠的性质可得，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG=90°=∠B，AB=AF，
又∵AG＝AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠DAE=∠FAE，
∴∠EAG=∠BAD=45°，故①正确；
②由题意得EF=DE，GB=CG=GF=6，
设DE=EF=x，则CE=12-x，
在Rt△ECG中，（12-x）2+62=（x+6）2，
∴x=4，
∴DE=4，CE=8，
∴CE=2DE，故②错误；
③∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴∠GFC=∠GCF，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
∵∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴AG∥CF，故③正确；
④∵S△GCE=×GC×CE=×6×8=24，
又∵GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC：S△FEC=3：2，
∴S△GFC=×24=，故④正确；
综上，正确的是①③④，共3个．
故选：C．
题型十二 利用正方形的性质证明
80．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过作，垂足为，根据两个三角形全等的判定定理，确定，从而根据全等三角形的性质得到，再根据将边绕点逆时针旋转至，确定为等腰三角形，结合“三线合一”得到是边上的中线，进而，即，在中，，，利用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：过作，垂足为，如图所示：
，，
在正方形中，，
，
，
，
在和中，
，
，
将边绕点逆时针旋转至，
，
，
由“三线合一”可得是边上的中线，即，
，
在中，，，设，则，由勾股定理得到，即，化简得，解得或（线段长负值舍去），
，
故选：B．
81．如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为2．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由题意可得，，则四边形是矩形，可以得出，，即可判定①②，连接，则有，要使最小，则为最小，根据点到直线垂线段最短即可求解．
【详解】∵四边形是正方形，且边长为4，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，、都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，故①错误；
∴，故②正确；
连接，如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，，
∴（SAS），
∴，故③正确；
要使最小，则为最小，则需满足，
∴此时为等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∴，
∴的最小值为，故④错误；
综上分析：正确的有2个，故B正确．
故选：B．
82．如图，在正方形中，点E、点F分别在上，且，若四边形的面积是，的长为1，则正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式得到，由勾股定理即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
故选：D．
83．如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折叠分别交，于，，连接，下列结论：①②③④四边形是菱形，正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】由四边形是正方形和折叠性质得出，，再由三角形的内角和求出．故①正确；由四边形是正方形和折叠性质，判断出四边形是平行四边形，再由，得出四边形是菱形．利用的直角三角形，由勾股定理得出，，得出，故②④正确；由四边形是正方形和折叠性质，得到，所以，故③错误．
【详解】解：由四边形是正方形和折叠性质得出，，
，
故①正确；
由四边形是正方形和折叠性质得出，，，，
，
，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
在中，，在中，，
，
故②④正确．
由四边形是正方形和折叠性质知，，，，
在和中，
，
，
故③错误．
综上可知，①②④正确．
故选C．
84．已知：如图，，是正方形的对角线上的两点，且．那么四边形不具备的条件是（ ）
A．对角线相等B．四边相等C．对角线互相垂直D．对边平行
【答案】A
【分析】正方形，且，可证得四边形是平行四边形，是菱形，由此平行四边形的性质，菱形的性质即可求解．
【详解】解：∵，是正方形的对角线上的两点，且，
∴根据“边边边”关系可得，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，且邻边相等，
∴四边形是菱形，
∴四边形具备的条件有四边相等，对角线相互垂直，对边平行，不具备的条件时对角线相等，
故选：．
题型十三 证明四边形是正方形
85．在中，，点D是的中点，连接，过点B，C分别作，，、交于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当和满足怎样的关系时，四边形是正方形？并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)当时，四边形是正方形，证明见解析
【分析】（1）由，，可得四边形是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，即可得到平行四边形是菱形；
（2）由等腰三角形的性质得到，即可得到菱形四边形是正方形．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，点D是的中点，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：当时，四边形是正方形．理由如下：
∵，点D是的中点，
∴，
∴，
由（1）知，四边形是菱形，
∴四边形是正方形．
86．如图，、是中的内、外角平分线，于，于，交的延长线于．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)与相等吗？为什么？
(3)当满足______时，四边形是一个正方形？并给出证明．
【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)为等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，理由见解析
【分析】（1）利用矩形的判定方法得出，即可得出答案；
（2）利用矩形的性质以及全等三角形的判定得出，进而得出答案；
（3）利用等腰直角三角形的性质以及正方形的判定得出即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形；
理由：、是中的内、外角平分线，
，
于，于，
，
则，
四边形是矩形；
（2）解：，
理由：连接
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
，
；
（3）解：为等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，
理由：∵为等腰直角三角形时，，，
是斜边上的中线，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形．
87．在中，平分，于点，交于点，，连接.
(1)求证：；
(2)当满足什么条件时四边形是正方形？请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)∠ABC=90°，理由见解析
【分析】对于（1），先证明△AOD≌△EOB，根据全等三角形的对应边相等即可得；
对于（2），先判定四边形ABED是菱形，可得当∠ABC=90°时，菱形ABED是正方形，据此即可得结论．
【详解】（1）∵，
∴∠CBD=∠ADB.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
又∵，
∴BO=DO.
又∵∠AOD=∠EOB，∠CBD=∠ADB，
∴△AOD≌△EOB，
∴AO=EO；
（2）当△ABC满足∠ABC=90°时，四边形ABED是正方形．理由：
∵△AOD≌△EOB，
∴AD=BE，
又∵，
∴四边形ABED是平行四边形.
∵，
∴四边形ABED是菱形，
∴当∠ABC=90°时，菱形ABED是正方形，
即当△ABC满足∠ABC=90°时，四边形ABED是正方形．
88．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，若AE＝CE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠BAO＝∠ABO，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)正方形，见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，再由等腰三角形的性质可证BD⊥AC，即可得出结论；
（2）证AO=BO，得AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CE，
∴BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：四边形ABCD是正方形，理由如下：
由（1）知，四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵∠BAO=∠ABO，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
89．如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
(3)如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，请类比（2），求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)等腰三角形，理由见解析
(3)8
【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AD＝AB，即可得四边形ABCD是正方形；
（2）利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AE＝BF，由已知BH＝AE可得BH＝BF，根据线段垂直平分线的性质可得即可得AH＝AF，△AHF是等腰三角形；
（3）延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH（SAS），由全等三角形的性质得AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，由已知DE＝AF可得AH＝AF，可得△AHF是等边三角形，则AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，等量代换可得DE＝AH＝8．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：△AHF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABH＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE＝BF，
∵BH＝AE，
∴BH＝BF，
∵∠ABH＝90°，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形；
（3）解：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD，
∴∠ABH＝∠BAD，
∵BH＝AE，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，
∴DE＝AH＝8．