2023-2024学年河南省南阳市西峡第二高级中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市西峡第二高级中学高二（下）开学数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.等差数列{an}中，a2+a6=8，a3+a4=3，则{an}的通项为( )
A. 5n−16B. 5n−11C. 3n−8D. 3n−5
2.已知随机变量X～B(4,p)，若E(X)+D(X)=209，则P(X≥1)=( )
A. 1681B. 6581C. 89D. 49
3.在线性回归方程y=a+bx中，b为回归系数，下列关于b的说法中不正确的是( )
A. b为回归直线的斜率
B. b>0，表示随x增加，y值增加，b<0，表示随x增加，y值减少
C. b是唯一确定的值
D. 回归系数b的统计意义是当x每增加(或减少)一个单位，y平均改变b个单位
4.某企业生产某种产品，其广告层面的投入为x(单位：百万元)，该企业产生的利润为y(单位：百万元)，经统计得到如下表格中的数据：经计算广告投入x与利润y满足线性回归方程：y =6.5x+17.5，则t的值为( )
A. 45B. 50C. 56.5D. 65
5.已知n∈N*，给出4个表达式：①an=0,n为奇数1,n为偶数，②an=1+(−1)n2，③an=1+csnπ2，④an=|sinnπ2|，其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( )
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④
6.已知数列{an}为等差数列，a2+a4=18，a8=−1，则数列{|an|}的前10项和为( )
A. 40B. 48C. 58D. 90
7.用模型y=aekx拟合一组数(xi,yi)(i=1,2,…,10)，若x1+x2+…+x10=10，y1y2…y10=e70，设z=lny，得变换后的线性回归方程为z =b x+4，则ak=( )
A. 12B. 3e4C. 4e3D. 7
8.已知数列{bn}满足bn=2λ(−12)n−1−n2，若数列{bn}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是( )
A. (−1,103)B. (−12,103)C. (−1,1)D. (−12,1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了对变量x与y的线性相关性进行检验，由样本点(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x10,y10)求得两个变量的样本相关系数为r，那么下面说法中错误的有( )
A. 若所有样本点都在直线y=−2x+1上，则r=1
B. 若所有样本点都在直线y=−2x+1上，则r=−2
C. 若|r|越大，则变量x与y的线性相关性越强
D. 若|r|越小，则变量x与y的线性相关性越强
10.已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0，d<0，则( )
A. 数列{an}单调递减B. 数列{an}没有最小项
C. 数列{Sn}单调递减D. 数列{Sn}有最大项
11.下列说法正确的是( )
A. 甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．设事件A表示由从甲袋中取出的球是红球，事件B表示从乙袋中取出的球是红球，则事件A与事件B相互独立
B. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N105，102，已知P(95≤ξ≤105)=0.44，则该班学生此次数学考试的成绩在115分以上的有3人
C. 已知事件A与B相互独立，当P(A)>0时，若P(B|A)=0.15，则P(B−)=0.85
D. 指数曲线y=aebx进行线性变换后得到的经验回归方程为u =2−6x，则函数y=ax−bx(x>0)的最小值为2 6e
12.如图，已知点P是椭圆x216+y212=1上第一象限内的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，圆心在y轴上的动圆T始终与射线PF1，PF2相切，切点分别为M，N，则下列判断正确的是( )
A. |PM|=|PN|=4
B. |PM|2≤|PF1|⋅|PF2|
C. △PMN面积的最大值为4 3
D. 当点P坐标为(2 3, 3)时，则直线PT的斜率是23
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.椭圆x2m+y24=1的焦距等于2，则m的值为______．
14.若数列为37，310，313，316，…，则382是这个数列的第______项.
15.已知数列{an}满足a1=3，an+1−an=2n−8(n∈N*)，则a8= ______．
16.已知数列{an}、{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且SnTn=7n+1n+3，则a2+a5+a17+a22b8+b10+b12+b16= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等差数列{an}中，a1+a3+a5=18，a5+a7=−6.求{an}的通项公式．
18.(本小题12分)
在等差数列{an}中，a9=−36，a16+a17+a18=−36，其前n项和为Sn．
(1)求出Sn<0时n的最大值；
(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.
19.(本小题12分)
2022年重庆半程马拉松将于11月13日在巴南举行，为了了解广大市民对于马拉松运动是否喜爱、随机抽取了400名市民作问卷调查，结果如下表：
在随机抽取的400名市民中，抽到女性的概率是0.45．
(1)完成列联表并根据小概率值α=0.025的独立性检验，能否认为喜爱马拉松项目与性别有关联？
(2)现采用分层抽样的方法从接受问卷调查且喜爱马拉松的居民中随机抽取10人认定为该比赛的志愿者，若从这10名志愿者中随机抽取4人进行初级裁判培训，求抽到的4人中至少有2名女士的概率．
附表及公式：x2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
20.(本小题12分)
随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2018年1−8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据：
(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型y与x的关系，请用相关系数r加以说明(系数精确到0.001)；
(2)建立y关于x的线性回归方程y=bx+a(系数精确到0.001)；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需要投入费用多少万元(结果精确到0.01)．
参考数据：i=1n(xi−11)(yi−3)=74.5，i=1n(xi−11)2=340，i=1n(yi−3)2=16.5， 340≈18.44， 16.5≈4.06，其中xi、yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i=1，2，3，…，8．
参考公式：(1)样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2，
(2)对于一组数据(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn)，其回归方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a=y−−bx−．
21.(本小题12分)
无穷数列{an}满足：an+1an+3an+1+an+4=0且a1≠−2．
(1)求证：{1an+2}为等差数列；
(2)若a2021为数列{an}中的最小项，求a1的取值范围．
22.(本小题12分)
如图，已知点P(2,2)是焦点为F的抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为k(k<1)．
(Ⅰ)求抛物线方程；
(Ⅱ)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(Ⅲ)令焦点F到直线AB的距离d，求d|FA|−d|FB|的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：等差数列{an}中，设首项为a1，公差为d，
所以a2+a6=8，a3+a4=3，
故a2+a6=8 a3+a4=3 ，整理得2a1+6d=8 2a1+5d=3 ，解得a1=−11 d=5 ．
故an=−11+5(n−1)=5n−16．
故选：A．
直接利用等差数列的性质，建立方程组，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：等差数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
2.【答案】B
【解析】解：因为E(X)+D(X)=209，
所以4p+4p(1−p)=209，故(p−1)2=49，
因为0故P(X=0)=(1−13)4=1681，
故P(X≥1)=1−P(X=0)=6581，
故选：B．
根据二项分布的均值和方差公式求解p，再求解P(X=0)，根据对立事件的概率和为1求解P(X≥1)即可．ymcy
本题考查了二项分布的均值和方差公式相关知识，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于A：将回归直线方程对比为一次函数，b是回归直线的斜率，A正确．
对于B：由一次函数的性质可知b>0，表示随x增加，y值增加，b<0，表示随x增加，y值减少，B正确．
对于C：b是由总体的一个样本利用一定的方法得到的，选择不同的样本或不同的计算方法得到的b是不同的，C错误．
对于D：根据一次函数的性质可知当x每增加(或减少)一个单位，y平均改变b个单位，D正确．
故选：C．
根据回归直线方程的特点判断即可．
本题主要考查回归直线的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由表中数据可得，x−=15×(2+4+5+6+8)=5，y−=30+40+60+t+705=200+t5，
广告投入x与利润y满足线性回归方程：y =6.5x+17.5，
则200+t5=6.5×5+17.5，解得t=50．
故选：B．
根据已知条件，结合线性回归方程的性质，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：①an=0,n为奇数1,n为偶数，n为奇数时，an=0；n为偶数时，an为1，满足条件；
②an=1+(−1)n2，满足条件；
③an=1+csnπ2，满足条件；
④an=|sinnπ2|，n=1时，a1=1；n=2时，a2=0，以此类推，不满足条件；
故选：A．
分别验证每个通项公式是否满足条件即可得到结论．
本题主要考查数列通项公式的判断，比较基础．
6.【答案】C
【解析】解：设等差数列数列{an}的公差为d，∵a2+a4=18，a8=−1，
∴2a1+4d=18，a1+7d=−1，
解得a1=13，d=−2．
∴an=13−2(n−1)=15−2n．
设数列{an}的前n项和为Sn=n(13+15−2n)2=−n2+14n．
令an=15−2n≥0，解得n≤152．
∴则数列{|an|}的前10项和=a1+a2+…+a7−a8−a9−a10=2S7−S10=2(−72+14×7)−(−102+14×10)=58．
故选：C．
设等差数列数列{an}的公差为d，a2+a4=18，a8=−1，可得2a1+4d=18，a1+7d=−1，解出可得an.设数列{an}的前n项和为Sn.令an≥0，解得n.进而得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：∵x1+x2+…+x10=10，∴x−=1010=1，
∵y1y2…y10=e70，且z=lny，
∴z−=z1+z2+...+z1010=ln()10=7，
∵(x−,z−)在回归直线z =b x+4，
∴7=b +4，解得b =3，
由y=aekx，得z=lny=lna+kx，与z =3x+4比较可得，lna=4，k=3，
∴ak=3e4．
故选：B．
根据已知条件求得(x−,z−)，代入线性回归方程求解b​，结合已知得答案．
本题考查线性回归方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：数列{bn}是单调递减数列，
则bn+1−bn=2λ(−12)n−(n+1)2−2λ(−12)n−1+n2=6λ(−12)n−2n−1<0，
当n为偶数时，6λ<2n+1(−12)n=(2n+1)⋅(−2)n，即6λ<(2n+1)⋅2n，
由于{2n+1)⋅2n}为递增数列，则数列{2n+1)⋅2n}的最小值20，
∴6λ<20，
即λ<103，
当n为奇数时，6λ<2n+1(−12)n=(2n+1)⋅(−2)n，即6λ>−(2n+1)⋅2n，
由于{2n+1)⋅2n}为递减数列，则数列{−(2n+1)⋅2n}的最大值−6，
∴6λ>−6，
∴λ>−1，
综上所述实数λ的取值范围是(−1,103).
故选：A．
根据函数为递减数列可得bn+1−bn=6λ(−12)n−2n−1<0，分类讨论，根据数列的函数特征即可求出．
本题考查了数列的函数特征，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：当所有样本点都在直线y=−2x+1上时，样本点数据完全负相关，其相关系数r=−1，所以A、B都错误；
相关系数|r|值越大，则变量x与y的线性相关性越强，C正确；
相关系数|r|值越小，则变量x与y的线性相关性越弱，D错误．
综上知，以上错误的说法是ABD．
故选：ABD．
根据相关系数r的定义与性质，判断选项是否正确即可．
本题考查了相关系数的定义与性质的应用问题，也考查了统计知识的应用问题，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，a1>0，
由于d<0，故数列{an}为单调递减数列，
且数列{an}为无穷等差数列，故数列{an}没有最小项，
则Sn=d 2n2+(a1−d2)n，符合二次函数的特点和性质，数列{Sn}的性质是先增后减，
故数列{Sn}有最大项，没有最小项．
故选：ABD．
直接利用等差数列的性质求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式和数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
11.【答案】BCD
【解析】解：因为P(A)=510=12，P(B)=510×511+510×411=922，P(AB)=510×511=522，
P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A与事件B不相互独立，故A错误．
对于B，因为数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102)，
所以正态曲线关于直线ξ=105对称，
因为P(95≤ξ≤105)=0.44，所以P(ξ>115)=12×(1−2×0.44)=0.06，
所以该班学生此次数学考试的成绩在115分以上的有0.06×50=3人，故B正确；
对于C，因为事件A与B相互独立，且P(A)>0，
则P(B|A)=P(AB)P(A)=P(A)⋅P(B)P(A)=P(B)，即P(B)=0.15，
由对立事件的概率公式得P(B−)=1−P(B)=0.85，故C正确．
对于D，将y=aebx两边同时取对数，
得lny=ln(aebx)=lna+lnebx=lna+bx，
由于指数曲线y=aebx进行线性变换后得到的经验回归方程为u =2−6x，
则u =lny ，lna =2，b =−6，即a =e2，则y=ax−bx=e2x+6x≥2 6e，
当且仅当x= 6e6时，等号成立，故D正确．
故选：BCD．
A.根据P(AB)是否等于P(A)P(B)，判断A；B.根据正态分布的对称性，求P(ξ>115)，再求人数；C.由条件可知P(B|A)=P(B)，即可求解；D.将指数曲线，两边取对数，得到回归直线方程，可得lna =2，b =−6，求得a，b后，再根据基本不等式求最小值．
本题考查概率的应用，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：由椭圆方程可知a=4,b=2 3,c= a2−b2=2，
所以左、右焦点为F1(−2,0)，F2(2,0)，
对于A，如下图，连接MT，NT，F1T，F2T，
|PF1|+|PF2|=2a=8，又圆心T在y轴上，所以|F1T|=|F2T|，
动圆T始终与射线PF1，PF2相切，切点分别为M，N，所以|MT|=|NT|，且MT⊥PF1，NT⊥PF2，所以|MF1|=|NF2|，切线长|PM|=|PN|，
所以由图可得：|PF1|+|PF2|=|PM|+|MF1|+|PN|−|NF2|=|PM|+|PN|=8，则|PM|=|PN|=4，故A正确；
对于B，因为|PF1|+|PF2|=8，所以|PF1|⋅|PF2|≤(|PF1|+|PF2|2)2=16，当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立，
又P是椭圆上第一象限内的动点，所以|PF1|≠|PF2|，故|PF1|⋅|PF2|<16，由于|PM|=4，故|PF1|⋅|PF2|<|PM|2，故B不正确；
对于C，取椭圆的上顶点为B，连接BF1，BF2，
由椭圆可知OB=b=2 3，|OF1|=|OF2|=2，所以∠F1BO=∠F2BO=π6，故∠F1BF2=π3，
由于P是椭圆上第一象限内的动点，所以∠F1PF2∈(0,π3)，则sin∠F1PF2∈(0, 32)，
所以△PMN面积S△PMN=12|PM|⋅|PN|⋅sin∠F1PF2=12×4×4⋅sin∠F1PF2=8sin∠F1PF2∈(0,4 3)，
故△PMN面积没有最大值，故C不正确；
对于D，连接PT，设PT与x轴的交点为Q，如下图：
设Q(t,0)，t∈(−2,2)，由题可得直线PT为∠F1PF2的平分线，
所以由角平分线定理可得：|PF1||F1Q|=|PF2||F2Q|，即|PF1|t+2=8−|PF1|2−t，整理得t=12|PF1|−2，
因为当点P坐标为(2 3, 3)时，|PF1|= (2 3+2)2+( 3−0)2= 19+8 3=4+ 3，
所以t=12|PF1|−2= 32，则Q( 32,0)，所以直线PT的斜率kPT=kPQ= 3−02 3− 32=23，故D正确．
故选：AD．
根据椭圆的定义及圆外一点切线长性质可判断A，结合基本不等式可判断B，利用椭圆焦点三角形的角度与面积关系可判断C，根据角平分线定理可求解直线PT与x轴交点坐标，从而可求直线PT的斜率来判断D．
本题主要考查椭圆的性质，椭圆与圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
13.【答案】5或3
【解析】解：∵椭圆x2m+y24=1的焦距2c=2，∴c=1
①当m>4时，椭圆x2m+y24=1的a2=m，b2=4
∴c= a2−b2= m−4=1，解之得m=5；
②当0∴c= a2−b2= 4−m=1，解之得m=3
综上所述，得m=5或m=3
故答案为：5或3
由题意，得到椭圆的c=1，再根据椭圆焦点位置进行讨论，分别建立关于a、b的方程组，即可求出实数m的值．
本题给出含有字母参数的椭圆方程，在已知焦距的情况下求参数的值，着重考查了椭圆的标准方程和基本概念，属于基础题．
14.【答案】26
【解析】解：易发现该数列指数呈现等差关系，
设数列7，10，13，16，…，为数列{an}，
则数列{an}是以7为首项3为公差的等差数列，
其通项公式为an=7+3(n−1)=3n+4，令3n+4=82，解得n=26；
故答案为：26．
该数列的指数是等差数列，运用等差数列通项公式求出82对应的项数即可．
本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题．
15.【答案】3
【解析】解：数列{an}满足a1=3，an+1−an=2n−8(n∈N*)，
可知a2−a1=2−8，a3−a2=2×2−8，a4−a3=2×3−8，a5−a4=2×4−8，a6−a5=2×5−8，a7−a6=2×6−8，a8−a7=2×7−8，
累加可得a8−a1=2×(1+2+3+4+5+6+7)−8×7=0，
a8=3．
故答案为：3．
利用递推关系式，结合累加法求解即可．
本题考查数列递推关系式的应用，数列项的求法，累加法的应用，是基础题．
16.【答案】315
【解析】解：a2+a5+a17+a22b8+b10+b12+b16=(a2+a22) +(a5+a17) (b8+b16) +(b10+b12)
=2a12+2a112b12+2b11=a1+a22b1+b22
=222(a1+a22) 222(b1+b22) =S22T22=7×22+122+3=315．
故答案：315．
：a2+a5+a17+a22b8+b10+b12+b16=(a2+a22) +(a5+a17) (b8+b16) +(b10+b12) =2a12+2a112b12+2b11=S22T22.由此能求出其具体结果．
本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理应用．
17.【答案】解：等差数列{an}中，
a1+a3+a5=3a3=18，解得：a3=6，
a5+a7=2a6=−6，解得：a6=−3，
故公差d=a6−a36−3=−3−63=−3，
故通项公式an=a3+(n−3)d=6−3(n−3)=−3n+15．
【解析】根据等差数列的性质得到公差d=−3，从而求出通项公式．
本题主要考查等差数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵a16+a17+a18=3a17=−36，∴a17=−12，
∴d=a17−a917−9=248=3，
∴a9=a1+8×3=−36，解得a1=−60，
∴Sn=−60n+n(n−1)2×3=32(n2−41n)，
令Sn=32(n2−41n)<0，∴n<41，因为n∈N*
∴n的最大值为40．
(2)∵a1=−60，d=3，
∴an=−60+(n−1)×3=3n−63，
由an=3n−63≥0，得n≥21，
∵a20=3×20−63=−3<0，a21=3×21−63=0，
∴数列{an}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，
当n≤21时，Tn=−Sn=−n(−60+3n−63)2=−32n2+1232n，
当n>21时，Tn=Sn−2S21=−n(−60+3n−63)2−2S21=32n2−1232n+1260，
综上，Tn=−32n2+1232n,(n≤21,n∈N*)32n2−1232n+1260,(n>21,n∈N*)．
【解析】(1)求出等差数列的首项a1和公差d，可再求出Sn，解不等式Sn<0即得；
(2)由an确定哪些项小于0，哪些项大于0，根据绝对值的性质分类可求和．
本题考查数列的求和，涉及等差数列的性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)计算抽到的女性人数为400×0.45=180，根据题意填写列联表如下；
计算X2=400×(120×100−80×100)2220×180×200×200≈4.040<5.024，
根据小概率值α=0.025的独立性检验，不能认为喜爱马拉松项目与性别有关联．
(2)用分层抽样法从接受问卷调查且喜爱马拉松的居民中随机抽取10人，男性有10×120200=6人，
女性有4人，从这10人中随机抽取4人，抽到的4人中至少有2名女士的概率为
P=C42⋅C62+C43⋅C61+C44C104=2342．
【解析】(1)计算抽到的女性人数，填写列联表，计算X2，对照附表得出结论．
(2)用分层抽样法计算抽取的男性、女性人数，再计算所求的概率值．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．
20.【答案】解：(1)根据数据绘制散点图如下，
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，
所以可用线性回归模型拟合y与x的关系；
计算x−=18×(2+3+6+10+13+21+15+18)=11，
y−=18×(1+1+2+3+3.5+5+4+4.5)=3，
∴相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2=74.5 340× 16.5=×4.06≈0.99，
由相关系数的值接近于1，说明变量y与x的线性相关性很强；
(2)计算b=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=74.5340≈0.22，
a=y−−bx−=3−0.22×11=0.58，
∴y关于x的回归方程为y =0.22x+0.58；
令y =0.22x+0.58≥6，解得x≥24.64；
即实现产品销量超6万件，预测至少需要投入促销费用24.64万元．
【解析】本题考查了统计知识与数据处理能力的应用问题，是中档题．
(1)根据数据绘制散点图，从散点图看出这些点是否大致分布在一条直线附近即可；计算x−、y−，求出相关系数，看它的绝对值是否接近于1即可；
(2)计算回归系数，写出y关于x的回归方程，利用方程求出对应x的取值范围即可．
21.【答案】(1)证明：由已知可得：an+1=−1an+3−1，
∴1an+1+2−1an+2=11−1an+3−1an+2
=an+3an+2−1an+2=an+2an+2=1，
∴{1an+2}是公差为1的等差数列；
(2)解：由(1)可得1an+2=1a1+2+n−1，
∴an=−2+1n−(1−1a1+2)，
结合图象易知函数f(n)=1n−a(n∈N)在n−a<0，n+1−a>0时取到最小值，
∴由a2021为数列{an}中的最小项，
有2021−(1−1a1+2)<02021+1−(1−1a1+2)>0，
解得：−40412020∴a1的取值范围是：(−40412020,−40432021)．
【解析】本题考查数列与函数的综合应用，熟练掌握等差数列的性质和数列的函数特性是解题关键．
(1)通过计算1an+1+2−1an+2的值即可得到解答；
(2)由(1)的结论可得：an=−2+1n−(1−1a1+2)，再根据f(n)=1n−a(n∈N)的增减性可以得到解答．
22.【答案】解：(Ⅰ)将点P(2,2)代入抛物线方程可得：p=1，抛物线C：y2=2x；
(Ⅱ)设PA：y−2=k(x−2)(k<1)，与抛物线方程联立可得：ky2−2y+4−4k=0，∴yAyP=4−4kk⇒yA=2−2kk，
用−k代k可得：yB=−2+2kk，因此，kAB=yA−yBxA−xB=yA−yByA2−yB2=2yA+yB=−12，即kAB=−12．
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知，kAB=−12，A(2(1−k)2k2,2−2kk)，B(2(1+k)2k2,−2+2kk)，
因此AB：y−2−2kk=−12(x−2(1−k)2k2)⇒x+2y−2−2k2k2=0，F(12,0)到直线AB的距离d=|12−2−2k2k2| 5=5k2−42 5k2．
∵1|FA|−1|FB|=|FB|−|FA||FA|⋅|FB|=xB−xA(xA+12)⋅(xB+12)=xB−xAxAxB+12(xA+xB)+14=32k325k4−24k2+16，
∴d|FA|−d|FB|=d(1|FA|−1|FB|)=5k2−42 5k2⋅32k325k4−24k2+16=5k2−4 5⋅16k25k4−24k2+16=16 5⋅5k−4k25k2−24+16k2=16 5⋅5k−4k(5k−4k)2+16，
令t=5k−4k，由k>1，t=5k−4k，在(1,+∞)上单调递增，则t>1，
∴d|FA|−d|FB|=16 5⋅tt2+16=16 5⋅1t+16t≤16 5⋅12 16=2 55，
当且仅当t=4⇒5k−4k=4⇒k=2+2 65时取等号．
∴d|FA|−d|FB|最大值为2 55．
【解析】(Ⅰ)将点P(2,2)代入抛物线方程可求p，可求抛物线方程；
(Ⅱ)设PA：y−2=k(x−2)(k>1)，与抛物线联立可求得点A的坐标，进而可得B的坐标，可得直线AB的斜率为定值；
(Ⅲ)把直线AB方程表示出来，从而可表示d，再将d|FA|−d|FB|表示出来，利用换元法，求分式函数的最值即可．
本题考查抛物线与直线的综合关系，属于难题．x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
t
70
喜爱
不喜爱
合计
男性
120
女性
100
合计
α
0.15
0.10
0.05
0.025
k
2.072
2.706
3.841
5.024
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
促销费用x
2
3
6
10
13
21
15
18
产品销量y
1
1
2
3
3.5
5
4
4.5
喜爱
不喜爱
合计
男性
120
100
220
女性
80
100
180
合计
200
200
400