2023-2024学年广西示范性高中高二（下）调研数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广西示范性高中高二（下）调研数学试卷（3月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l1：3x+3my+1=0和l2：(m−2)x+3y+m=0.若l1//l2，则m的值为( )
A. −1B. 3C. 1或3D. −1或3
2.函数f(x)=x−lnx的单调递减区间是( )
A. (0,1)B. (0,+∞)
C. (1,+∞)D. (−∞,0)∪(1,+∞)
3.已知椭圆C：x29+y25=1，F1，F2分别是椭圆C的焦点，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AB|=4，则|AF2|+|BF2|=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
4.圆(x−2)2+(y+1)2=4与圆(x+2)2+(y−2)2=9的公切线有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
5.在数列{an}中，an=1−1an−1(n≥2)，a1=2，则a10=( )
A. 2B. 12C. −12D. −1
6.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，AB=a，AD=b，AA1=c，则D1E=( )
A. a−12b+c
B. a−12b−c
C. a+32b+c
D. 12a+12b−c
7.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，n∈N*，都有SnTn=2n+34n−3，则a8b8的值为( )
A. 3765B. 1929C. 919D. 1119
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2的直线交双曲线C右支于A，B两点，且|AF2|=3|F2B|，|AB|=|AF1|，则C的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列选项中正确的是( )
A. 函数f(x)在x=−2处取得极大值
B. 函数f(x)在x=1处取得极值
C. 函数f(x)在区间(−2,3)上单调递减
D. 函数f(x)的图象在x=0处的切线斜率大于零
10.已知直线l：mx−y+2−4m=0(m∈R)与圆D：x2+y2−2x−24=0交于A，B两点，则( )
A. 圆D的面积为25πB. l过定点(4,2)
C. △ABD面积的最大值为2 39D. 4 3≤|AB|≤10
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P是AC的中点，点Q满足B1Q=λB1C，λ∈(0,1)，则下列结论正确的是( )
A. PQ/​/平面A1C1D
B. PQ与A1D所成角的取值范围为(π6,π2]
C. |AQ|+|C1Q|的最小值为2+ 2
D. 三棱锥B−PCQ外接球体积的最小值为4π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线y=3x2的焦点到准线的距离为______．
13.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为______
14.已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f(x)=ex与曲线g(x)=lnx+2的公切线，则a+b的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4=7，S5=3a2+16．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=1an⋅an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知圆C经过A(5,1)，B(−1,−7)两点，且圆心C在直线l：x+y+1=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点A的直线l0被圆C截得的弦长为8，求直线l0的方程．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为6的等边三角形，CC1=6，∠ACC1=60°，D，E分别是线段AC，CC1的中点，平面ABC⊥平面C1CAA1．
(1)求证：A1C⊥平面BDE；
(2)若点P为线段B1C1上的中点，求平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为y=c(exc+e−xc)2，其中c为参数.当c=1时，就是双曲余弦函数ch(x)=ex+e−x2，类似地我们可以定义双曲正弦函数sh(x)=ex−e−x2.它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，(sinx)′=csx，(csx)′=−sinx，请写出sh(x)，ch(x)具有的类似的性质(不需要证明)；
(2)当x>0时，sh(x)>ax恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求f(x)=ch(x)−csx−x2的最小值．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2 3，左、右顶点分别为A，B，过点M(−12,0)的直线与椭圆相交于不同的两点P，Q(异于A，B)，且AM=35MB．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线AP，QB的斜率分别为k1，k2，且k1=λk2，求λ的值；
(3)设△PQA和△PQB的面积分别为S1，S2，求|S1−S2|的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由l1//l2，则有3×3−3m(m−2)=0，且3m×m≠1×3，
解得m=3．
故选：B．
写出两条直线平行的充要条件，可得m的值．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：函数y=x−lnx的导数为y=1−1x，
令y′=1−1x