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中考数学二轮复习几何专项练习：相似模型--旋转“手拉手”模型（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份中考数学二轮复习几何专项练习：相似模型--旋转“手拉手”模型（2份打包，原卷版+解析版），文件包含中考数学二轮复习几何专项练习相似模型--旋转“手拉手”模型原卷版doc、中考数学二轮复习几何专项练习相似模型--旋转“手拉手”模型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共156页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边分别向外作正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．如图， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于D，给出下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中正确的结论有（ ）个
A．4B．3C．2D．1
3．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，添加一个条件后，仍不能判定 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将矩形 SKIPIF 1 < 0 绕着点A逆时针旋转45°，得矩形 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
5．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有公共顶点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 度．
6．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD，在正方形CDEF旋转过程中，BD+ SKIPIF 1 < 0 AD的最小值为 ．
7．如图，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，E为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 绕点O旋转，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
三、解答题
8．若 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 后，与 SKIPIF 1 < 0 构成位似图形，则我们称 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为“旋转位似图形”．
(1)知识理解：
如图①， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为“旋转位似图形”．
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)知识运用：
如图②，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图③， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的一点，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 延长线上的一点，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为“旋转位似图形”．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
9．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
(1)问题发现：如图1，在等边 SKIPIF 1 < 0 中，点P是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作等边 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)变式探究：如图2，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点P是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，以 SKIPIF 1 < 0 为腰作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．判断 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点P是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，Q是正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心，连接 SKIPIF 1 < 0 ．若正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为12， SKIPIF 1 < 0 ，求正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长．
10．如图1， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是点 SKIPIF 1 < 0 的对应点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图2，当点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上时，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
11．（1）问题发现，如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上一动点（不与点 SKIPIF 1 < 0 重合）， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)①求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
(2)拓展探究，如图2，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上一动点（不与点 SKIPIF 1 < 0 重合）， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，请判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系以及 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由．
12．如图，点A在线段 SKIPIF 1 < 0 上，在 SKIPIF 1 < 0 的同侧作等腰 SKIPIF 1 < 0 和等腰 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别交于点P、M．求证：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
13．（1）如图①在 SKIPIF 1 < 0 内， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D是 SKIPIF 1 < 0 内一点，将 SKIPIF 1 < 0 绕点B顺时针旋转，点C恰好与点A重合．D旋转到点E，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，如图②，当 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
（3）如图③，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 填空：
①线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是______________；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，点E到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 的长为2，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长为__________．
14．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 是平面内不与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合的任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)【猜想观察】如图①，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是______，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交所成的较小角的度数是______；
(2)【类比探究】如图②，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值及 SKIPIF 1 < 0 的度数；
(3)【解决问题】如图③，当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点在同一直线上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
15．已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，
①如图1，当点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系： ；
②如图2，当点 SKIPIF 1 < 0 不在边 SKIPIF 1 < 0 上时，判断线段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系： ；
(3)在（1）的条件下，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长度．
16．某校数学兴趣小组在一次学习活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
(1)发现问题∶如图1，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点M是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为腰作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)类比探究：如图2，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点M是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，以 SKIPIF 1 < 0 为腰作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在点M运动过程中， SKIPIF 1 < 0 是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
(3)拓展应用：如图3，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点E是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，M是正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为12， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
17．数学课上，李老师提出了一个问题：在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 边上取一点M使 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点A顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 度到 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作矩形 SKIPIF 1 < 0 （如图1所示）， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点N．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ．小明经过思考后，很快得到了解题思路：先用“两边对应成比例且夹角相等”证明 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据“直角三角形两锐角互余”可证明 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ．请你按照他的思路完成证明过程．
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，当旋转角 SKIPIF 1 < 0 时（如图2），求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(3)连接 SKIPIF 1 < 0 （如图3），当 SKIPIF 1 < 0 时，小明发现 SKIPIF 1 < 0 是一个定值，请求出这个值．
18．在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题．对直角三角形纸片 SKIPIF 1 < 0 进行如下操作：
【初步探究】如图1，折叠三角形纸片 SKIPIF 1 < 0 ，使点C与点A重合，得到折痕 SKIPIF 1 < 0 ，然后展开铺平，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 位置关系为_______， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系为_______；
【再次探究】如图2，将 SKIPIF 1 < 0 绕点C顺时针旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
【拓展提升】在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
19．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D在射线 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点D逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当点D落在线段 SKIPIF 1 < 0 上时，
①如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出线段 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是______， SKIPIF 1 < 0 ______°；
②如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，请判断线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并给出证明；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，过点A作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点N，若 SKIPIF 1 < 0 ，猜想 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系并说明理由．
20．如图，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
21．问题背景：如图（1），已知 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
尝试应用：如图（2），在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
拓展创新：如图（3）， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
22．已知正方形 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上运动，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图1，在 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图2，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 延长线上，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)如图3，若把正方形 SKIPIF 1 < 0 改为矩形 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其他条件不变，请猜想 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，直接写出结论，不必证明．
23．原题再现：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形，将 SKIPIF 1 < 0 绕着点 SKIPIF 1 < 0 旋转到图 SKIPIF 1 < 0 位置，求证： SKIPIF 1 < 0 小百合很快就通过 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，论证了 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)请你帮助小百合写出证明过程；
迁移应用：小百合想，把等边 SKIPIF 1 < 0 和等边 SKIPIF 1 < 0 都换成等腰直角三角形，将 SKIPIF 1 < 0 绕着点 SKIPIF 1 < 0 旋转到图 SKIPIF 1 < 0 位置，其中 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有什么数量关系呢？
(2)请你帮助小百合写出结论，并给出证明；
(3)如图 SKIPIF 1 < 0 ，如果把等腰直角三角形换成正方形，将正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在旋转过程中，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长度．
24．问题情境：
如图①，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在对角线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
数学思考：
(1)试判断四边形 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由．
(2)将图一中的四边形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转一定的角度得到图②连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，猜想 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由．
25．综合与实践
问题情境：如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0
(1)特例分析：在图1中， SKIPIF 1 < 0 的长为 ， SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
(2)拓展探究：将图1中的 SKIPIF 1 < 0 绕点C顺时针方向旋转．
①当点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时， SKIPIF 1 < 0 的值为 ；
②当点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 旋转到 SKIPIF 1 < 0 的外部时，得到图2，判断此时 SKIPIF 1 < 0 的值是否变化，请说明理由；
(3)问题解决：当 SKIPIF 1 < 0 旋转到点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点在同一直线时，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
26．已知：四边形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是正方形．
(1)如图1，若点C在对角线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ；（直接写结果）
(2)将正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
①如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 的值是否改变？若不改变，写出理由；若改变，写出新的值及理由；
②当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点M， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点N，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
27．如图①，正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)发现：当正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点A旋转，如图②，①线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是________；②直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 之间的位置关系是________．
(2)探究：如图③，若四边形 SKIPIF 1 < 0 与四边形 SKIPIF 1 < 0 都为矩形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 ．
(3)应用：在（2）情况下，连接 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上方），若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 是多少？（直接写出结论）
28．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点D是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
29．如图，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)若点H、G分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(3)若在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点H、G分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
30．【问题提出】
某数学兴趣小组展示项目式学习的研究主题：已知四边形 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系．
【问题探究】
探究一：若四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形
（1）如图1，正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 的值为______；
（2）如图2，将图1中的 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，试求 SKIPIF 1 < 0 的值；
探究二：若四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形
如图3，矩形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（3）将图3中的 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，请在图4中补全图形，并探究此时 SKIPIF 1 < 0 的值；
【联系拓广】
（4）如图3，矩形 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，其它条件都不变，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
31．【初步感知】如图①， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．易知： SKIPIF 1 < 0 （不用证朋）；
【深入探究】如图②， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是形状相同，大小不同的两个直角三角尺，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______°；
(3)【拓展提升】如图③， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．（用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）
32．如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点E是 SKIPIF 1 < 0 边上一点，连结 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为对角线作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，边 SKIPIF 1 < 0 与正方形 SKIPIF 1 < 0 的对角线 SKIPIF 1 < 0 相交于点H，连结 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)写出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并证明．
(2)求证： SKIPIF 1 < 0
(3)连接 SKIPIF 1 < 0 ，若正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为6，求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
33．矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为边在矩形在 SKIPIF 1 < 0 内部构造矩形 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)特例发现
如图 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)类比探究
如图 SKIPIF 1 < 0 ，如图，将矩形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 度 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)拓展运用
如图 SKIPIF 1 < 0 ，矩形 SKIPIF 1 < 0 在旋转的过程中， SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 边上时，若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的长为 ．
34．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值，
（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．
35．如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，在斜边 SKIPIF 1 < 0 上取一点D，过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点E．现将 SKIPIF 1 < 0 绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在 SKIPIF 1 < 0 的内部），使得 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2）如图3，将原题中的条件“ SKIPIF 1 < 0 ”去掉，其它条件不变， SKIPIF 1 < 0 设，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求k的值；
（3）如图4，将原题中的条件“ SKIPIF 1 < 0 ”去掉，其它条件不变，若 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试探究 SKIPIF 1 < 0 三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
36．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时， SKIPIF 1 < 0 的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出 SKIPIF 1 < 0 的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋ SKIPIF 1 < 0 ，求BD的长．
37．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝ SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出点D到CP的距离．
38．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．
(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．
39．已知，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，并在垂线上矩形外侧截取点F,使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转，记旋转角为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图（1），当 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，求m关于n的数量关系．
(3)若 SKIPIF 1 < 0 旋转至A，E，F三点共线，求m的值．
40．综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点G，A，B在一条直线上，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （如图1）．
操作发现
（1）图1中线段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是______，位置关系是______．
（2）在图1的基础上，将正方形 SKIPIF 1 < 0 绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．
类比探究
（3）如图3，若将图2中的正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 中都变为矩形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请仅就图3的情况探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系．
拓展探索
（4）在（3）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，矩形 SKIPIF 1 < 0 在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
41．转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．
如图1，已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．请解答下面的问题：
(1)基础巩固
如图1，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是__________；
(2)拓展探究
如图2，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②用等式表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决
点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一直线上时 SKIPIF 1 < 0 的长．
42．综合与实践
综合与实践课上，数学老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展教学活动．
【操作判断】
如图①，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点M，P分别在边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上（均不与端点重合）且 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为邻边作矩形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图②，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系为 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系为 ．
【迁移探究】
（2）如图③，当 SKIPIF 1 < 0 时，天天先将矩形 SKIPIF 1 < 0 绕点A 顺时针旋转，再连接 SKIPIF 1 < 0 ，则CN与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是 ．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当矩形 SKIPIF 1 < 0 旋转至C，N，M三点共线时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
43．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是平面内不与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合的任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，
①如图1，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上时，线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是_______________；
②如图2，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内部时，线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，①中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，
①如图3，线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ．试判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由；
②若点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在一条直线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
44．【问题呈现】
（1）如图1， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形，连接 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【类比探究】
（2）如图2， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【拓展提升】
（3）如图3， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的值．
45．【感受与猜想】
(1)如图 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 和四边形 SKIPIF 1 < 0 均为正方形，点 SKIPIF 1 < 0 正好落在对角线 SKIPIF 1 < 0 上．试猜想 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系： SKIPIF 1 < 0 __．
【探究与证明】
(2)如图 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 和四边形 SKIPIF 1 < 0 均为正方形，正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 角( SKIPIF 1 < 0 )，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．( SKIPIF 1 < 0 )中的结论是否还成立，若成立，请给出证明．
【拓展与延伸】
(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为底边向下作等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ．
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
②若点 SKIPIF 1 < 0 落在边 SKIPIF 1 < 0 的中点处， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
46．如图1所示，矩形 SKIPIF 1 < 0 中，点E，F分别为边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，将 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点P．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是______，数量关系是______．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 旋转至 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
47．如图1，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为5，点E、F分别是边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上一点，且四边形 SKIPIF 1 < 0 为边长为2的正方形，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）在图1中，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）将图1中的正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点B旋转一周，探究 SKIPIF 1 < 0 的值是否变化？若不变，请利用图2求出该值；若变化请说明理由；
（3）当正方形 SKIPIF 1 < 0 旋转至D，G，E三点共线时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
48．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点C旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接AD．
(1)如图1，点E恰好落在线段AB上．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②猜想 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的关系，并说明理由；
(2)如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求CF的长．
49．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD SKIPIF 1 < 0 BC，将线段DB绕点D顺时针旋转α至DE，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．
(1)如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
(2)当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当BC＝10，且点B，E，F三点共线时，求线段AF的长．
50．如图，四边形ABCD和四边形AEFG是矩形且 SKIPIF 1 < 0 ，点E线段BD上．
(1)连接DG，求证：∠BDG＝90°；
(2)连接DF，当AB＝AE时，求证：DF＝FG；
(3)在（2）的条件下，连接EG，若∠DGE＝45°，AB＝2，求AD的长．
51．如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点G为边 SKIPIF 1 < 0 上一点，过点G作 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)当点E正好在BD的延长线上时，求BG的长．
52．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为等腰直角三角形，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)观察猜想
小华将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图（2），当 SKIPIF 1 < 0 的延长线恰好经过点 SKIPIF 1 < 0 时：
① SKIPIF 1 < 0 的值为________；
② SKIPIF 1 < 0 的度数为________度；
(2)类比探究
如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的延长线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，（1）中的两个结论是否仍然成立?请说明理由．
(3)拓展延伸
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 所在的直线垂直于 SKIPIF 1 < 0 时，请你直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
53．如图1，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，点E、F分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
(1)问题发现：
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ＝ ；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ＝ ；
(2)拓展探究：
将 SKIPIF 1 < 0 绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)问题解决：
当 SKIPIF 1 < 0 旋转至A、F、E三点共线时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长（写出必要的解题过程）．
54．如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D，E分别是 SKIPIF 1 < 0 中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．在同一平面内，将 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转，射线 SKIPIF 1 < 0 相交于点P．
(1)如图2，在旋转过程中， SKIPIF 1 < 0 的角度是否不变？若不变，请求出 SKIPIF 1 < 0 的度数．
(2)如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
(3)连接 SKIPIF 1 < 0 ，当线段 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的值．
一、单选题
1．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边分别向外作正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．如图， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于D，给出下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中正确的结论有（ ）个
A．4B．3C．2D．1
3．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，添加一个条件后，仍不能判定 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将矩形 SKIPIF 1 < 0 绕着点A逆时针旋转45°，得矩形 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
5．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有公共顶点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 度．
6．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD，在正方形CDEF旋转过程中，BD+ SKIPIF 1 < 0 AD的最小值为 ．
7．如图，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，E为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 绕点O旋转，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
三、解答题
8．若 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 后，与 SKIPIF 1 < 0 构成位似图形，则我们称 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为“旋转位似图形”．
(1)知识理解：
如图①， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为“旋转位似图形”．
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)知识运用：
如图②，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图③， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的一点，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 延长线上的一点，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为“旋转位似图形”．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
9．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
(1)问题发现：如图1，在等边 SKIPIF 1 < 0 中，点P是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作等边 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)变式探究：如图2，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点P是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，以 SKIPIF 1 < 0 为腰作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．判断 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点P是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，Q是正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心，连接 SKIPIF 1 < 0 ．若正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为12， SKIPIF 1 < 0 ，求正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长．
10．如图1， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是点 SKIPIF 1 < 0 的对应点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图2，当点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上时，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
11．（1）问题发现，如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上一动点（不与点 SKIPIF 1 < 0 重合）， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)①求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
(2)拓展探究，如图2，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上一动点（不与点 SKIPIF 1 < 0 重合）， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，请判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系以及 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由．
12．如图，点A在线段 SKIPIF 1 < 0 上，在 SKIPIF 1 < 0 的同侧作等腰 SKIPIF 1 < 0 和等腰 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别交于点P、M．求证：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
13．（1）如图①在 SKIPIF 1 < 0 内， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D是 SKIPIF 1 < 0 内一点，将 SKIPIF 1 < 0 绕点B顺时针旋转，点C恰好与点A重合．D旋转到点E，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，如图②，当 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
（3）如图③，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 填空：
①线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是______________；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，点E到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 的长为2，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长为__________．
14．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 是平面内不与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合的任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)【猜想观察】如图①，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是______，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交所成的较小角的度数是______；
(2)【类比探究】如图②，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值及 SKIPIF 1 < 0 的度数；
(3)【解决问题】如图③，当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点在同一直线上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
15．已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，
①如图1，当点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系： ；
②如图2，当点 SKIPIF 1 < 0 不在边 SKIPIF 1 < 0 上时，判断线段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系： ；
(3)在（1）的条件下，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长度．
16．某校数学兴趣小组在一次学习活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
(1)发现问题∶如图1，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点M是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为腰作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)类比探究：如图2，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点M是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，以 SKIPIF 1 < 0 为腰作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在点M运动过程中， SKIPIF 1 < 0 是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
(3)拓展应用：如图3，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点E是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，M是正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为12， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
17．数学课上，李老师提出了一个问题：在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 边上取一点M使 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点A顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 度到 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作矩形 SKIPIF 1 < 0 （如图1所示）， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点N．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ．小明经过思考后，很快得到了解题思路：先用“两边对应成比例且夹角相等”证明 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据“直角三角形两锐角互余”可证明 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ．请你按照他的思路完成证明过程．
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，当旋转角 SKIPIF 1 < 0 时（如图2），求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(3)连接 SKIPIF 1 < 0 （如图3），当 SKIPIF 1 < 0 时，小明发现 SKIPIF 1 < 0 是一个定值，请求出这个值．
18．在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题．对直角三角形纸片 SKIPIF 1 < 0 进行如下操作：
【初步探究】如图1，折叠三角形纸片 SKIPIF 1 < 0 ，使点C与点A重合，得到折痕 SKIPIF 1 < 0 ，然后展开铺平，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 位置关系为_______， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系为_______；
【再次探究】如图2，将 SKIPIF 1 < 0 绕点C顺时针旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
【拓展提升】在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
19．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D在射线 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点D逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当点D落在线段 SKIPIF 1 < 0 上时，
①如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出线段 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是______， SKIPIF 1 < 0 ______°；
②如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，请判断线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并给出证明；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，过点A作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点N，若 SKIPIF 1 < 0 ，猜想 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系并说明理由．
20．如图，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
21．问题背景：如图（1），已知 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
尝试应用：如图（2），在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
拓展创新：如图（3）， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
22．已知正方形 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上运动，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图1，在 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图2，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 延长线上，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)如图3，若把正方形 SKIPIF 1 < 0 改为矩形 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其他条件不变，请猜想 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，直接写出结论，不必证明．
23．原题再现：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形，将 SKIPIF 1 < 0 绕着点 SKIPIF 1 < 0 旋转到图 SKIPIF 1 < 0 位置，求证： SKIPIF 1 < 0 小百合很快就通过 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，论证了 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)请你帮助小百合写出证明过程；
迁移应用：小百合想，把等边 SKIPIF 1 < 0 和等边 SKIPIF 1 < 0 都换成等腰直角三角形，将 SKIPIF 1 < 0 绕着点 SKIPIF 1 < 0 旋转到图 SKIPIF 1 < 0 位置，其中 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有什么数量关系呢？
(2)请你帮助小百合写出结论，并给出证明；
(3)如图 SKIPIF 1 < 0 ，如果把等腰直角三角形换成正方形，将正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在旋转过程中，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长度．
24．问题情境：
如图①，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在对角线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
数学思考：
(1)试判断四边形 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由．
(2)将图一中的四边形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转一定的角度得到图②连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，猜想 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由．
25．综合与实践
问题情境：如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0
(1)特例分析：在图1中， SKIPIF 1 < 0 的长为 ， SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
(2)拓展探究：将图1中的 SKIPIF 1 < 0 绕点C顺时针方向旋转．
①当点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时， SKIPIF 1 < 0 的值为 ；
②当点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 旋转到 SKIPIF 1 < 0 的外部时，得到图2，判断此时 SKIPIF 1 < 0 的值是否变化，请说明理由；
(3)问题解决：当 SKIPIF 1 < 0 旋转到点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点在同一直线时，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
26．已知：四边形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是正方形．
(1)如图1，若点C在对角线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ；（直接写结果）
(2)将正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
①如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 的值是否改变？若不改变，写出理由；若改变，写出新的值及理由；
②当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点M， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点N，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
27．如图①，正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)发现：当正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点A旋转，如图②，①线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是________；②直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 之间的位置关系是________．
(2)探究：如图③，若四边形 SKIPIF 1 < 0 与四边形 SKIPIF 1 < 0 都为矩形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 ．
(3)应用：在（2）情况下，连接 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上方），若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 是多少？（直接写出结论）
28．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点D是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
29．如图，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)若点H、G分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(3)若在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点H、G分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
30．【问题提出】
某数学兴趣小组展示项目式学习的研究主题：已知四边形 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系．
【问题探究】
探究一：若四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形
（1）如图1，正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 的值为______；
（2）如图2，将图1中的 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，试求 SKIPIF 1 < 0 的值；
探究二：若四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形
如图3，矩形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（3）将图3中的 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，请在图4中补全图形，并探究此时 SKIPIF 1 < 0 的值；
【联系拓广】
（4）如图3，矩形 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，其它条件都不变，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
31．【初步感知】如图①， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．易知： SKIPIF 1 < 0 （不用证朋）；
【深入探究】如图②， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是形状相同，大小不同的两个直角三角尺，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______°；
(3)【拓展提升】如图③， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．（用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）
32．如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点E是 SKIPIF 1 < 0 边上一点，连结 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为对角线作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，边 SKIPIF 1 < 0 与正方形 SKIPIF 1 < 0 的对角线 SKIPIF 1 < 0 相交于点H，连结 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)写出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并证明．
(2)求证： SKIPIF 1 < 0
(3)连接 SKIPIF 1 < 0 ，若正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为6，求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
33．矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为边在矩形在 SKIPIF 1 < 0 内部构造矩形 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)特例发现
如图 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)类比探究
如图 SKIPIF 1 < 0 ，如图，将矩形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 度 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)拓展运用
如图 SKIPIF 1 < 0 ，矩形 SKIPIF 1 < 0 在旋转的过程中， SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 边上时，若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的长为 ．
34．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值，
（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．
35．如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，在斜边 SKIPIF 1 < 0 上取一点D，过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点E．现将 SKIPIF 1 < 0 绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在 SKIPIF 1 < 0 的内部），使得 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2）如图3，将原题中的条件“ SKIPIF 1 < 0 ”去掉，其它条件不变， SKIPIF 1 < 0 设，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求k的值；
（3）如图4，将原题中的条件“ SKIPIF 1 < 0 ”去掉，其它条件不变，若 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试探究 SKIPIF 1 < 0 三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
36．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时， SKIPIF 1 < 0 的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出 SKIPIF 1 < 0 的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋ SKIPIF 1 < 0 ，求BD的长．
37．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝ SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出点D到CP的距离．
38．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．
(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．
39．已知，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，并在垂线上矩形外侧截取点F,使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转，记旋转角为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图（1），当 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，求m关于n的数量关系．
(3)若 SKIPIF 1 < 0 旋转至A，E，F三点共线，求m的值．
40．综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点G，A，B在一条直线上，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （如图1）．
操作发现
（1）图1中线段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是______，位置关系是______．
（2）在图1的基础上，将正方形 SKIPIF 1 < 0 绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．
类比探究
（3）如图3，若将图2中的正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 中都变为矩形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请仅就图3的情况探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系．
拓展探索
（4）在（3）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，矩形 SKIPIF 1 < 0 在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
41．转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．
如图1，已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．请解答下面的问题：
(1)基础巩固
如图1，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是__________；
(2)拓展探究
如图2，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②用等式表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决
点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一直线上时 SKIPIF 1 < 0 的长．
42．综合与实践
综合与实践课上，数学老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展教学活动．
【操作判断】
如图①，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点M，P分别在边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上（均不与端点重合）且 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为邻边作矩形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图②，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系为 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系为 ．
【迁移探究】
（2）如图③，当 SKIPIF 1 < 0 时，天天先将矩形 SKIPIF 1 < 0 绕点A 顺时针旋转，再连接 SKIPIF 1 < 0 ，则CN与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是 ．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当矩形 SKIPIF 1 < 0 旋转至C，N，M三点共线时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
43．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是平面内不与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合的任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，
①如图1，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上时，线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是_______________；
②如图2，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内部时，线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，①中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，
①如图3，线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ．试判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由；
②若点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在一条直线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
44．【问题呈现】
（1）如图1， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形，连接 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【类比探究】
（2）如图2， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【拓展提升】
（3）如图3， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的值．
45．【感受与猜想】
(1)如图 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 和四边形 SKIPIF 1 < 0 均为正方形，点 SKIPIF 1 < 0 正好落在对角线 SKIPIF 1 < 0 上．试猜想 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系： SKIPIF 1 < 0 __．
【探究与证明】
(2)如图 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 和四边形 SKIPIF 1 < 0 均为正方形，正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 角( SKIPIF 1 < 0 )，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．( SKIPIF 1 < 0 )中的结论是否还成立，若成立，请给出证明．
【拓展与延伸】
(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为底边向下作等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ．
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
②若点 SKIPIF 1 < 0 落在边 SKIPIF 1 < 0 的中点处， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
46．如图1所示，矩形 SKIPIF 1 < 0 中，点E，F分别为边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，将 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点P．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是______，数量关系是______．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 旋转至 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
47．如图1，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为5，点E、F分别是边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上一点，且四边形 SKIPIF 1 < 0 为边长为2的正方形，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）在图1中，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）将图1中的正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点B旋转一周，探究 SKIPIF 1 < 0 的值是否变化？若不变，请利用图2求出该值；若变化请说明理由；
（3）当正方形 SKIPIF 1 < 0 旋转至D，G，E三点共线时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
48．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点C旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接AD．
(1)如图1，点E恰好落在线段AB上．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②猜想 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的关系，并说明理由；
(2)如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求CF的长．
49．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD SKIPIF 1 < 0 BC，将线段DB绕点D顺时针旋转α至DE，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．
(1)如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
(2)当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当BC＝10，且点B，E，F三点共线时，求线段AF的长．
50．如图，四边形ABCD和四边形AEFG是矩形且 SKIPIF 1 < 0 ，点E线段BD上．
(1)连接DG，求证：∠BDG＝90°；
(2)连接DF，当AB＝AE时，求证：DF＝FG；
(3)在（2）的条件下，连接EG，若∠DGE＝45°，AB＝2，求AD的长．
51．如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点G为边 SKIPIF 1 < 0 上一点，过点G作 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)当点E正好在BD的延长线上时，求BG的长．
52．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为等腰直角三角形，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)观察猜想
小华将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图（2），当 SKIPIF 1 < 0 的延长线恰好经过点 SKIPIF 1 < 0 时：
① SKIPIF 1 < 0 的值为________；
② SKIPIF 1 < 0 的度数为________度；
(2)类比探究
如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的延长线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，（1）中的两个结论是否仍然成立?请说明理由．
(3)拓展延伸
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 所在的直线垂直于 SKIPIF 1 < 0 时，请你直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
53．如图1，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，点E、F分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
(1)问题发现：
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ＝ ；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ＝ ；
(2)拓展探究：
将 SKIPIF 1 < 0 绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)问题解决：
当 SKIPIF 1 < 0 旋转至A、F、E三点共线时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长（写出必要的解题过程）．
54．如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D，E分别是 SKIPIF 1 < 0 中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．在同一平面内，将 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转，射线 SKIPIF 1 < 0 相交于点P．
(1)如图2，在旋转过程中， SKIPIF 1 < 0 的角度是否不变？若不变，请求出 SKIPIF 1 < 0 的度数．
(2)如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
(3)连接 SKIPIF 1 < 0 ，当线段 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的值．
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