宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2024届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2024届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数z满足，则( )
A.B.C.D.
2．已知集合，，则=( )
A.B.C.D.
3．已知为锐角，且，则等于( )
A.B.C.D.
4．同位素测年法最早由美国学者WillardFrankLibby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变.经研究发现，动植物死亡后的时间n（单位：年）与满足关系式，且（动植物体内初始的含量为，死亡n年后的含量为）.现在某古代祭祀坑中检测出一样本中的含量为原来的，可以推测该样本距今约（参考数据：，）( )
A.2750年B.2865年C.3050年D.3125年
5．某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A.πB.C.D.
6．已知非零向量，满足，且，则与夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由､扩散､无界的未来建筑形象诠释科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕共享中庭设置了剧场､主题展区及博物馆三大主题空间.现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有( )
A.6种B.18种C.24种D.36种
8．从直角三角形顶点中任取两个顶点构成向量，在这些向量中任取两个不同的向量进行数量积运算，则数量积为0的概率为( )
A.B.C.D.
9．如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，E为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( )
A.B.C.D.
10．若函数是偶函数，则( )
A.B.C.1D.
11．已知，是双曲线（，）的左，右焦点，点（）是双曲线E上的点，点C是内切圆的圆心，若，则双曲线E的渐近线为( )
A.B.C.D.
12．已知函数，则，，的大小关系为( )
A.B.
C.D.
二、填空题
13．已知中，角A，B，C所对的边，，，则_________.
14．函数图象在点处的切线方程为_________.
15．已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆C相交于A，B两点，且，则圆C的方程为_________.
16．已知侧棱长为的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36π，则该四棱锥的体积为_________.
三、解答题
17．在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度h（单位：），得到如下的样本数据的频率分布直方图.
（1）估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率；
（3）已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为，果苗高度位于区间的棵数占该果苗总棵数的.从该苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）.
18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点，且.
(1)求BC；
(2)求二面角的正弦值.
19．已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求证：.
20．已知点F是椭圆的右焦点，A，B为椭圆E短轴的两个端点，且的面积为，.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知过点的直线l与椭圆E交于M，N两点，是否存在定点P，使得直线的斜率之和为定值？若存在，求出定点P的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.
21．已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，令，若为的极大值点，证明：.
22．在平面直角坐标系中，直线的普通方程为；曲线C的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求直线l与曲线C的极坐标方程；
（2）直线与直线l与曲线C分别交于点A，B（点B与点O不重合），若，求的值.
23．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：.
故选：B.
2．答案：C
解析：由题意得，，，则.故选C.
3．答案：C
解析：因为，，所以，
所以.
故选：C.
4．答案：B
解析：依题意，经过n年后含量为，则有，即，
解得，所以.
故选：B.
5．答案：B
解析：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，
因为圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，可得，，
所以该圆锥的侧面积为.
故选：B.
6．答案：B
解析：因为，
所以.
设与的夹角为，则.
故选：B.
7．答案：D
解析：首先根据题意将志愿者分成三组有种分法，
安排到三个主题空间有种，根据分步乘法计数原理，
不同的安排方式有种.
故选：D.
8．答案：B
解析：设A，B，C是直角三角形的三个顶点，其中，
从从直角三角形顶点中任取两个顶点构成向量有：，，，，，，一共有6个，
因为两个向量数量积为零，
所以它们互相垂直，即有，，，，符合题意，
所以数量积为0的概率为，
故选：B.
9．答案：B
解析：如图所示：
分别取，，的中点F，G，H，连接，，，，，.
由且可得是等边三角形，
则且，且，故且，
所以四边形为平行四边形，故，
因为，所以为异面直线SC与DE所成的角（或其补角），
因为平面，，平面，，，
故和均为直角三角形，
所以，，
，
由余弦定理得.
则异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：B.
10．答案：D
解析：由题意可知：函数的定义域为R，关于原点对称，
且，
若函数是偶函数，则，即，
所以，即.
故选：D.
11．答案：A
解析：设内切圆的半径为r，则有，
所以，由双曲线的定义可知，继而，
E的渐近线为，化简为，
故选：A.
12．答案：C
解析：函数的定义域为R，，即是偶函数，
当时，求导得，即函数在上单调递增，
令函数，，求导得，当时，，即函数在上单调递减，
因此，而，因此，
所以.
故选：C.
13．答案：
解析：在中，，，，由余弦定理得，
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：函数，求导得，则，
所以函数图象在点处的切线方程为.
故答案为：.
15．答案：
解析：由的焦点坐标关于直线的对称点为，
所以圆C的圆心为，设半径为r，
点C到直线的距离为d，则，
所以，
所以圆C的方程为：，
故答案是：.
16．答案：/
解析：设四棱锥为，底面的中心为O，
设外接球的半径为R，底面正方形的边长为，四棱锥的高为，则，
由，得，显然，
四棱锥的外接球球心到平面的距离，
由，得，解得，，
所以四棱锥的体积.
故答案为：.
17．答案：（1）33cm
（2）0.6
（3）0.0225
解析：（1）由频率分布直方图得该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为：.
（2）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的频率为：.
所以，估计该苗圃一颗受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率为0.6.
（3）设从苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗为事件A，该棵果苗受到这种病虫害为事件B，
则.
18．答案：(1)
(2)二面角的正弦值为
解析：(1)方法一：平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
不妨以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如图，
所示的空间直角坐标系，设，则、、、、，
则，，
，则，解得，
故.
方法二：如图，连接BD.
因为底面ABCD，且底面ABCD，所以.
又因为，，所以.
又平面PBD，所以.
从而.
因为，所以.
所以，于是.
所以.所以.
(2)设平面PAM的法向量为，
则，，
由，取，可得，
设平面PBM的法向量为，
，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由①，
当时，解得，
当时，②，
①-②，得，
数列是以首项为，公比为2的等比数列，
.
经验证符合上式，所以.
（2）由（1）知，
，.
则，
故
，
所以，，，
故.
20．答案：（1）
（2）存在，定点，定值0
解析：（1）依题意，的面积，而，
所以椭圆E的标准方程是.
（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，，
由在直线l上，得，
由消去y并整理得，
显然，即，则，
直线，的斜率分别为，，
因此
，
要使为定值，当且仅当，即点，
所以存在定点P，使得直线，的斜率之和为定值0，点.
21．答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析：（1）函数的定义域为，，
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，由，得，由，得，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，
且当，，，；
又当，，，；
故当，；当，；当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极大值，故，
且，所以，，
，
又在单调递减，所以.
22．答案：（1），
（2）
解析：（1）由，，得直线l的极坐标方程为.
由，得曲线C的普通方程为，
即，
由，，得曲线C的极坐标方程为.
（2）把代入，得，
把代入，得，
，，
即，
，解得，
又，.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，.
若，则当时，，故，
当时，，故，
又因为当时，，
所以不等式的解集为.
（2）由题设可得，
所以或.
当时，，故.
当时，，故.
综上，a的取值范围是.