沪科版八年级下册17.5 一元二次方程的应用多媒体教学课件ppt

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建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤可化为一元二次方程的分式方程的解法
建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤归纳为 审、设、列、解、检、答 .
审 ——审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的关系 ；设——设未知数 ；列 ——根据题目中的等量关系，列出方程 ；解——解方程，求出未知数的值 ；检——检验方程的解能否保证实际问题有意义 ；答——写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答” 的原则 .
特别解读第一步“审”一般不写出来，但它是关键的一步，只有审清题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系才能准确列出方程.
特别解读列方程，这是解应用题的关键一步，一般先找出一个能够表达全部含义的等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含未知数的等式，即方程.
2. 列一元二次方程解应用题注意事项(1)在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个用字母 x 表示，然后根据各量之间的数量关系，将其他几个量用含 x 的代数式表示出来 .(2)设未知数时必须写清单位、用对单位 . 列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位 .(3)要对方程的根加以检验，看它是否符合实际意义 .
建设美丽城市，改造老旧小区 . 某市 2021 年投入资金 1 000 万元，2023 年投入资金 1 440 万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
解题秘方：此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是紧扣增长率问题中的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 x. 根据题意，得 1 000(1＋x) 2=1 440．解得 x1=0.2=20%， x2=－2.2(不合题意，舍去)．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 20%．
(2) 2023 年老旧小区改造的平均费用为 每个 80 万元 . 2024 年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加 15%. 如果投入资金的年增长率保持不变，求该市在 2024 年最多可以改造多少个老旧小区？
方法点拨增长率问题中的等量关系：(1)增长率=增量÷原来的量；(2)设 a 为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则有a(1 ＋ m)n=b.
[ 中考·德州 ] 如图 17.5-1，某小区长方形绿地的长、宽分别为 35 m，15 m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的长方形绿地 .
解题秘方： 紧扣长方形的面积公式，建立一元二次方程模型解决问题 .
(1)若扩充后的长方形绿地面积为 800 m2，求新的长方形绿地的长与宽；
解：设将绿地的长、宽分别增加 x m，则新的长方形绿地的长为(35 ＋ x) m，宽为(15 ＋ x) m，根据题意得(35 ＋ x)(15 ＋ x) =800，解得 x1=5， x2= － 55(舍去)，∴ 35 ＋ x=35 ＋ 5=40，15 ＋ x=15 ＋ 5=20.答：新的长方形绿地的长为 40 m，宽为 20 m．
(2)扩充后，实地测量发现新的长方形绿地的长宽之比为 5 ∶ 3．求新的长方形绿地面积．
解：设将绿地的长、宽分别增加 y m，则新的长方形绿地的长为(35 ＋ y) m，宽为(15 ＋ y) m，根据题意得(35 ＋ y)∶(15 ＋ y) =5 ∶ 3，解得 y=15，∴(35 ＋ y)(15 ＋ y) =(35 ＋ 15)×(15 ＋ 15) =1 500．答：新的长方形绿地面积为 1 500 m2.
方法点拨解此类题除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长公式及计算方法之外，关键是能用未知数表示相关的线段长，以及对方程的根进行取舍 .
有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换，所得的两位数与原来的两位数的乘积为 1 855，求原来的两位数 .
解题秘方：本题考查的是用一元二次方程解数字问题，弄清数字和用数字表示的数之间的关系是解题的关键 .
解：设原来的两位数的十位数字为 x，则个位数字为8－x，列方程，得［10x＋(8－x)］［10(8－x) ＋x］ =1 855，整理，得 x2－8x＋15=0，解方程，得 x1=3， x2=5，由原来的两位数的个位数字为 8－x，可得个位数字为 5 或 3.答：原来的两位数为 35 或 53.
教你一招：列方程求解数字问题的方法解决数字问题的关键是用代数式表示出这个多位数，设未知数时，通常采用间接设元法，即设这个多位数的某一数位上的数字为 x，然后将其他数位上的数字用含 x 的代数式表示出来，最后再根据题中的数量关系列方程即可 .
知识储备整数的常用表示方法：1. 两位数=十位上的数字×10＋个位上的数字 .2. 三位数=百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位上的数字 .3. 三个连续整数，设中间的一个数为 x，则其余两个数分别为x－1，x＋1.4. 三个连续偶数可设为 2x－2，2x，2x＋2；三个连续奇数可设为 2x－3，2x－1，2x＋1.
[ 期末· 北京东城区 ] 2023 年 5 月 30 日，神舟十六号发射升空 . 某商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了 “中国空间站”模型 . 已知该模型平均每天可售出 20 个，每个获利 40 元 . 为了扩大销售，尽快减少库存，该商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个模型每降低 1 元，商店平均每天可以多售出 2 个 .
解题秘方：本题考查了一元二次方程的应用，根据销售问题列出一元二次方程是解题的关键 .
(1)若每个模型降价 4 元，商店平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
解：20＋4×2=28(个)，(40－4)×28=1 008(元) .答：每个模型降价 4 元，商店平均每天可以售出 28 个模型，此时每天获利 1 008 元．
(2)要使“中国空间站”模型每天获利 1 200 元，每个模型应降价多少元？
解：设每个模型应降价 x 元，依题意得(40－x)(20+2x)=1 200， 解得 x1=10，x2=20.为了尽快减少库存，所以 x=20.答：要使“中国空间站”模型每天获利 1 200 元， 每个模型应降价 20 元 .
方法点拨降价前后模型的销量与获利情况如下表所示 .
可化为一元二次方程的分式方程的解法
1.可化为一元二次方程的分式方程的解法步骤(1)去分母(两边同时乘最简公分母)，将分式方程化成整式方程；(2)解整式方程；(3)检验 .
2. 解可化为一元二次方程的分式方程应用题的一般步骤(1)分析——找出等量关系；(2)设元——用含字母的代数式表示相关的量；(3)列方程——列分式方程；(4)解方程；(5)检验并作答 .
特别提醒解分式方程验根时，只需把求得的整式方程的根代入最简公分母 ，若最简公分母为0，则是增根 , 应舍去；若最简公分母不为0，则是原方程的根.
解题秘方：紧扣解分式方程的步骤，将分式方程转化为元二次方程是解题的关键 .
解：去分母，得 2x＋ (x－1) =(x＋3)(x－1)，∴ x2－x－2=0，解得 x1=2， x2=－1.经检验 x1=2， x2=－1 是原分式方程的解 .
方法点拨解分式方程的基本思想是转化——把分式方程转化为整式方程，容易忽视的步骤是验根，若有两根，必须都检验 .
A， B 两地间的距离为 15 km，甲从 A 地出发步行前往 B 地，20 min 后，乙从 B 地出发骑车前往 A 地，且乙骑车比甲步行每小时多行 10 km. 乙到达 A 地后停留 40 min， 然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达 B 地 . 求甲从A 地到 B 地步行所用的时间 .
解题秘方：紧扣等量关系建立分式方程模型，求出分式方程的解并检验是解题的关键 .
易错警示在解分式方程时，要注意检验，特别是分式方程的应用题，检验应包含两个方面， 一是得到的未知数的值是不是分式方程的解，二是方程的解是否与实际意义相符合 .