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适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第6章数列素能培优七破解基于问题情境的数列问题课件新人教A版
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这是一份适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第6章数列素能培优七破解基于问题情境的数列问题课件新人教A版，共20页。PPT课件主要包含了ABD，ACD等内容，欢迎下载使用。
基于问题情境的数列问题是高考的热点内容,通过具体的问题背景,考查数列的应用,以此来检验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识.解决情境下的数列问题,常用的解题思路是:审题、建立数列模型、研究模型、解决实际问题.建立数列模型时需注意分析:问题中有哪些量,这些量之间的关系和规律是什么,是否符合等差、等比数列的定义,它们之间的递推关系是什么等,有时还需要从特殊到一般进行归纳总结.只要建立起恰当的数列模型,就可运用数列的通项公式、前n项和公式以及相关的性质、方法解决问题.
题型一 数学文化中的数列问题
对于以数学文化为背景的数列问题,解题时常常受困于背景陌生,阅读受阻,无法获得解题思路.解题时应认真审题,从问题背景中提取相关信息并分析归纳,从中构建等差数列或等比数列模型,再根据等差数列或等比数列的有关公式求解作答,必要时进行检验.
例1(多选题)(2024·福建龙岩模拟)在《算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得到其关”,其大致意思是:“某人到某地需走378里路,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地”,则( )A.此人第二天走的路程占全程的B.此人第三天走了48里路C.此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里D.此人第五天和第六天共走了18里路
[对点训练1](多选题)(2024·江苏如皋中学模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,….该数列的特点如下:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{an}称为斐波那契数列.现将{an}中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为{bn},数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,下列说法正确的是( )A.T2 022=1 348B.S1 000=a1 002-1C.若Tn=2 022,则n=3 033
解析 根据斐波那契数列的特征可以看出,数列为依次连续两个奇数和一个偶数,所以数列{bn}为1,1,0,1,1,0,…,则数列{bn}为周期数列,且周期为3,所以T2 022=(1+1+0)×674=1 348,故A正确;因为S1 000=a1+a2+…+a999+a1 000=a3-a2+a4-a3+…+a1 001-a1 000+a1 002-a1 001=a1 002-a2=a1 002-1,故B正确;因为2 022=(1+1+0)×1 011,1 011×3=3 033,且b3 031=1,b3 032=1,b3 033=0,所以
题型二 实际生活中的数列问题
实际生产生活中的许多问题都与数列问题紧密相关,解决这些问题的关键是弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,建立相应的数列模型,抽象出通项公式或递推关系式,然后利用数列知识解决问题.
例2(多选题)(2024·山东德州模拟)某企业为一个高科技项目注入了启动资金2 000万元,已知每年可获利20%,但由于竞争激烈,每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率.设经过n年之后,该项目的资金为an万元.(取lg 2≈0.30,lg 3≈0.48),则下列叙述正确的是( )A.a1=2 200B.数列{an}的递推关系是an+1=an×(1+20%)C.数列{an-1 000}为等比数列D.至少要经过6年,该项目的资金才可以达到或超过翻一番(即为原来的2倍)的目标
解析 根据题意,经过1年之后,该项目的资金为a1=2 000×(1+20%)-200=2 200万元,A正确;an+1=an×(1+20%)-200=1.2an-200,B不正确;an+1=1.2an-200,则an+1-1 000=1.2(an-1 000),又a1-1 000=1 200,所以数列{an-1 000}是首项为1 200,公比为1.2的等比数列,C正确;an-1 000=1 200×1.2n-1=1 000×1.2n,即an=1 000(1.2n+1),令an=1 000(1.2n+1)≥4 000,则n≥lg1.23= 6,至少要经过6年,该项目的资金才可以达到或超过翻一番(即为原来的2倍)的目标,D正确.故选ACD.
[对点训练2](2024·上海南洋模范中学模拟)某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床,A型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年).若第1年A型车床创造的价值是250万元,且第1年至第6年,每年A型车床创造的价值减少30万元;从第7年开始,每年A型车床创造的价值是上一年创造的价值的50%.现用an(n∈N*)表示A型车床在第n年创造的价值.(1)求数列{an}(n∈N*)的通项公式an;(2)记Sn为数列{an}的前n项的和,Tn= ,企业经过成本核算,若Tn>100万元,则继续使用A型车床,否则更换A型车床,试问该企业须在第几年年初更换A型车床?
解 (1)由题意得a1,a2,…,a6构成首项a1=250,公差d=-30的等差数列.故an=280-30n(n≤6,n∈N*).
(2)由(1)得{an}是递减数列,于是数列{Tn}也是递减数列.
当n=11时,T11>104;当n=12时,T12<96.所以当n≥12,n∈N*时,恒有Tn<96.故该企业需要在第12年年初更换A型车床.
题型三 数阵或图表中的数列问题
从数列到数阵或图表,尽管数的排列形式发生了变化,但问题的本质仍然是数列问题,只要抓住每行(每列)的首项,找准每行(每列)的变化规律,从数阵中构造出新数列(等差数列、等比数列、周期数列等),那么解决问题的思想和方法仍然不变.
例3(2024·江西五市九校第二次联考)如图为“杨辉三角”示意图,已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为Sn,设bn= ,将数列{bn}中的整数项依次取出组成新的数列记为{cn},则c2 023的值为( )A.5 052B.5 057C.5 058D.5 063
2,3,7,8,12,13,…,所以{cn}的奇数项是以2为首项,以5为公差的等差数列,则c2n-1=2+5(n-1)=5n-3;{cn}的偶数项是以3为首项,以5为公差的等差数列,则c2n=3+5(n-1)=5n-2.所以c2 023=5×1 012-3=5 057.
[对点训练3](2024·湖南雅礼中学模拟)已知数表如图,记第m行,第n列的数为a(m,n),如a(4,2)=8,记M=a(2 023,1)+a(2 023,2)+…+a(2 023,2 023),则lg2( -1 010)= .
基于问题情境的数列问题是高考的热点内容,通过具体的问题背景,考查数列的应用,以此来检验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识.解决情境下的数列问题,常用的解题思路是:审题、建立数列模型、研究模型、解决实际问题.建立数列模型时需注意分析:问题中有哪些量,这些量之间的关系和规律是什么,是否符合等差、等比数列的定义,它们之间的递推关系是什么等,有时还需要从特殊到一般进行归纳总结.只要建立起恰当的数列模型,就可运用数列的通项公式、前n项和公式以及相关的性质、方法解决问题.
题型一 数学文化中的数列问题
对于以数学文化为背景的数列问题,解题时常常受困于背景陌生,阅读受阻,无法获得解题思路.解题时应认真审题,从问题背景中提取相关信息并分析归纳,从中构建等差数列或等比数列模型,再根据等差数列或等比数列的有关公式求解作答,必要时进行检验.
例1(多选题)(2024·福建龙岩模拟)在《算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得到其关”,其大致意思是:“某人到某地需走378里路,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地”,则( )A.此人第二天走的路程占全程的B.此人第三天走了48里路C.此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里D.此人第五天和第六天共走了18里路
[对点训练1](多选题)(2024·江苏如皋中学模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,….该数列的特点如下:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{an}称为斐波那契数列.现将{an}中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为{bn},数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,下列说法正确的是( )A.T2 022=1 348B.S1 000=a1 002-1C.若Tn=2 022,则n=3 033
解析 根据斐波那契数列的特征可以看出,数列为依次连续两个奇数和一个偶数,所以数列{bn}为1,1,0,1,1,0,…,则数列{bn}为周期数列,且周期为3,所以T2 022=(1+1+0)×674=1 348,故A正确;因为S1 000=a1+a2+…+a999+a1 000=a3-a2+a4-a3+…+a1 001-a1 000+a1 002-a1 001=a1 002-a2=a1 002-1,故B正确;因为2 022=(1+1+0)×1 011,1 011×3=3 033,且b3 031=1,b3 032=1,b3 033=0,所以
题型二 实际生活中的数列问题
实际生产生活中的许多问题都与数列问题紧密相关,解决这些问题的关键是弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,建立相应的数列模型,抽象出通项公式或递推关系式,然后利用数列知识解决问题.
例2(多选题)(2024·山东德州模拟)某企业为一个高科技项目注入了启动资金2 000万元,已知每年可获利20%,但由于竞争激烈,每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率.设经过n年之后,该项目的资金为an万元.(取lg 2≈0.30,lg 3≈0.48),则下列叙述正确的是( )A.a1=2 200B.数列{an}的递推关系是an+1=an×(1+20%)C.数列{an-1 000}为等比数列D.至少要经过6年,该项目的资金才可以达到或超过翻一番(即为原来的2倍)的目标
解析 根据题意,经过1年之后,该项目的资金为a1=2 000×(1+20%)-200=2 200万元,A正确;an+1=an×(1+20%)-200=1.2an-200,B不正确;an+1=1.2an-200,则an+1-1 000=1.2(an-1 000),又a1-1 000=1 200,所以数列{an-1 000}是首项为1 200,公比为1.2的等比数列,C正确;an-1 000=1 200×1.2n-1=1 000×1.2n,即an=1 000(1.2n+1),令an=1 000(1.2n+1)≥4 000,则n≥lg1.23= 6,至少要经过6年,该项目的资金才可以达到或超过翻一番(即为原来的2倍)的目标,D正确.故选ACD.
[对点训练2](2024·上海南洋模范中学模拟)某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床,A型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年).若第1年A型车床创造的价值是250万元,且第1年至第6年,每年A型车床创造的价值减少30万元;从第7年开始,每年A型车床创造的价值是上一年创造的价值的50%.现用an(n∈N*)表示A型车床在第n年创造的价值.(1)求数列{an}(n∈N*)的通项公式an;(2)记Sn为数列{an}的前n项的和,Tn= ,企业经过成本核算,若Tn>100万元,则继续使用A型车床,否则更换A型车床,试问该企业须在第几年年初更换A型车床?
解 (1)由题意得a1,a2,…,a6构成首项a1=250,公差d=-30的等差数列.故an=280-30n(n≤6,n∈N*).
(2)由(1)得{an}是递减数列,于是数列{Tn}也是递减数列.
当n=11时,T11>104;当n=12时,T12<96.所以当n≥12,n∈N*时,恒有Tn<96.故该企业需要在第12年年初更换A型车床.
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从数列到数阵或图表,尽管数的排列形式发生了变化,但问题的本质仍然是数列问题,只要抓住每行(每列)的首项,找准每行(每列)的变化规律,从数阵中构造出新数列(等差数列、等比数列、周期数列等),那么解决问题的思想和方法仍然不变.
例3(2024·江西五市九校第二次联考)如图为“杨辉三角”示意图,已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为Sn,设bn= ,将数列{bn}中的整数项依次取出组成新的数列记为{cn},则c2 023的值为( )A.5 052B.5 057C.5 058D.5 063
2,3,7,8,12,13,…,所以{cn}的奇数项是以2为首项,以5为公差的等差数列,则c2n-1=2+5(n-1)=5n-3;{cn}的偶数项是以3为首项,以5为公差的等差数列,则c2n=3+5(n-1)=5n-2.所以c2 023=5×1 012-3=5 057.
[对点训练3](2024·湖南雅礼中学模拟)已知数表如图,记第m行,第n列的数为a(m,n),如a(4,2)=8,记M=a(2 023,1)+a(2 023,2)+…+a(2 023,2 023),则lg2( -1 010)= .
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