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适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第3章函数与基本初等函数素能培优二巧用函数性质的二级结论解客观题课件新人教A版
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这是一份适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第3章函数与基本初等函数素能培优二巧用函数性质的二级结论解客观题课件新人教A版，共22页。
关于函数的奇偶性、周期性、对称性,有很多重要的二级结论,运用这些结论解决客观题非常简洁、高效,举例说明如下.
一、应用奇函数的二级结论解题
结论1:如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有意义,那么f(0)=0.结论2:若奇函数f(x)在关于原点对称的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=0.结论3:若函数f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,则必有g(-x)+g(x)=2c.结论4:若函数f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,g(x)在定义域上有最值,则必有g(x)max+g(x)min=2c.
例1(2024·云南楚雄模拟)已知奇函数f(x)=ax+b·a-x在区间[-1,1]上的最大值
解析 由于函数为奇函数且在x=0有定义,所以f(0)=1+b=0,解得b=-1,即f(x)=ax-a-x.
[对点训练1](2024·四川成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)的周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2+a,则f(2 023)=( )A.3B.-3C.1D.-1
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=(0-1)2+a=0,所以a=-1,又因为函数f(x)的周期为4,所以f(2 023)=f(-1)=-f(1)=-a=1,故选C.
例2已知函数f(x)=aln(x+ )+bsin x+2,若f(-3)=7,则f(3)的值为( )A.-7B.-5C.-3D.无法确定
[对点训练2]已知函数f(x),g(x)分别是定义域为R的奇函数和偶函数,若F(x)=f(x)g(x)-3,且F(2)=1,则F(-2)= .
解析 因为f(x),g(x)分别是奇函数和偶函数,所以f(x)g(x)是奇函数,又F(x)=f(x)g(x)-3,所以F(2)+F(-2)=-6,而F(2)=1,所以F(-2)=-7.
例3(2024·宁夏银川模拟)设函数f(x)= 的最大值为a,最小值为b,则a+b= .
[对点训练3]已知函数f(x)= +8(a>0,a≠1)在区间[a,b]上的最小值为-10,则函数f(x)在区间[-b,-a]上的最大值为( )A.10D.与a有关
解析 令g(x)= (a>0,a≠1),则g(x)为奇函数,因为f(x)=g(x)+8在区间[a,b]上的最小值为-10,所以函数f(x)在区间[-b,-a]上的最大值为2×8-(-10)=26,故选B.
二、应用周期性的二级结论解题
对f(x)定义域内任一自变量的值x(a,b为非零常数),结论1:若f(x+a)=f(x-a),则f(x)的一个周期为2a;结论2:若f(x+a)+f(x)=c(c∈R),则f(x)的一个周期为2a;结论3:若f(x)=f(x+a)+f(x-a),则f(x)的一个周期为6a;结论4:若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,则f(x)的一个周期为2|b-a|(b≠a).结论5:若函数f(x)的图象关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为2|b-a|(b≠a).结论6:若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为4|b-a|(b≠a).(注意:结论4—结论6的记忆:两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心四倍差)
例4(2024·陕西汉中模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-2)=f(-x),若
[对点训练4]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,f(x-2)=f(x+2),当x∈[-2,0]时,f(x)=( )x+b,则f(lg3162)= .
解析 由题意知f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=b+1=0,即b=-1.因为f(x+2-2)=f(x+2+2),所以f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4,则f(lg3162)=f(lg3(162-4×40))=f(lg32).因为lg32∈(0,1),f(x)为奇函数,所以
例5(2024·辽宁沈阳模拟)已知函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称,函数y=f(x+1)的图象关于点(1,0)对称,则下列说法一定正确的是( )A.f(1)=0B.f(1-x)=f(1+x)C.f(x)的周期为2
解析 因为函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称,所以f(2(1+x)+1)=f(2(1-x)+1),即f(2x+3)=f(3-2x).用x代换上式中的2x,即可得到f(x+3)=f(3-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=3对称.函数y=f(x+1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(1+x+1)+f(1-x+1)=0,即f(2+x)+f(2-x)=0,所以f(x)的图象关于点(2,0)对称.对于f(x+3)=f(3-x),令x取x+1,可得f(x+4)=f(2-x).对于f(2+x)+f(2-x)=0,令x取x+2,可得f(x+4)=-f(-x).所以f(2-x)=-f(-x),令x取-x,可得f(2+x)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x),令x取x+2,可得f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4,故C错误;对于f(x+3)=f(3-x),令x取x-3,可得f(x)=f(6-x).因为f(x)的最小正周期为4,所以f(6-x)=f(2-x),所以f(x)=f(2-x),令x取x+1,可得f(x+1)=f(1-x),故B正确,D错误;由f(x+1)=f(1-x),可得直线x=1为函数f(x)的图象的对称轴,但不能确定f(1)=0是否成立,故A错误.
[对点训练5](2024·广东佛山检测)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=0,f(2-x)=f(x),且f(x)在区间(-1,1)内单调递增,则( )A.f(-5.3)
结论1:若函数f(x+a)是偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.结论2:若函数f(x+a)是奇函数,则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.
例6(多选题)(2024·广东深圳检测)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为偶函数,f(3x+2)为奇函数,则( )A.f(x)的图象关于直线x=1对称B.f(x)的图象关于(1,0)对称C.f(x+4)=f(x)
解析 ∵f(x+1)为偶函数,∴f(x+1)的图象关于直线x=0对称,因此f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确;∵f(3x+2)为奇函数,∴f(3x+2)关于点(0,0)中心对称,因此f(x)关于(2,0)中心对称,故B错误;由以上分析得f(x)的周期为4×(2-1)=4,即f(x+4)=f(x),故C正确;又f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,∴f(2)=0, f(1)+f(3)=0,∵f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(0)=f(2)=0,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,∵f(x)是周期为4的函数,
[对点训练6](2024·江西临川模拟)若函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)是偶函数,f(x+1)关于点(2,0)成中心对称,则函数f(x)的一条对称轴方程为( )A.x=2 023B.x=2 022C.x=2 021D.x=2 020
解析 因为f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),因此f(x)的图象关于直线x=1对称,即f(x)=f(2-x),因为f(x+1)的图象关于点(2,0)成中心对称,且f(x)的图象向左平移1个单位长度之后得到f(x+1)的图象,所以f(x)的图象关于点(3,0)对称,所以f(x)+f(6-x)=0,因为f(x)=f(2-x),f(x)+f(6-x)=0,所以-f(6-x)=f(2-x),故f(x)=-f(x+4)=f(x+8),故f(x)的周期为8,因为f(x)的图象关于直线x=1对称,关于点(3,0)对称,所以f(x)的图象关于直线x=5对称,所以f(x)图象的对称轴为直线x=1+4k,k∈Z,因为2 020=505×4,2 021=505×4+1,2 022=505×4+2,2 023=505×4+3,所以函数f(x)图象的一条对称轴方程为x=2 021,故选C.
例7(2024·江苏扬州模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,f(5.5)=2,g(x)=(x-1)f(x).若g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)=( )A.-3B.-2C.2D.3
解析 ∵g(x+1)为偶函数,∴g(x)的图象关于直线x=1对称,即g(x)=g(2-x),即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x),即f(x)+f(2-x)=0,∴f(x)的图象关于点(1,0)对称.又f(x)是定义域为R的偶函数,∴f(x)=-f(2-x)=-f(x-2),∴f(x-4)=f[(x-2)-2]=-f(x-2)=-[-f(x)]=f(x),即f(x-4)=f(x),∴f(x)的周期为4,∴f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2, ∴g(-0.5)=g(2.5)=1.5×f(2.5)=3.
关于函数的奇偶性、周期性、对称性,有很多重要的二级结论,运用这些结论解决客观题非常简洁、高效,举例说明如下.
一、应用奇函数的二级结论解题
结论1:如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有意义,那么f(0)=0.结论2:若奇函数f(x)在关于原点对称的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=0.结论3:若函数f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,则必有g(-x)+g(x)=2c.结论4:若函数f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,g(x)在定义域上有最值,则必有g(x)max+g(x)min=2c.
例1(2024·云南楚雄模拟)已知奇函数f(x)=ax+b·a-x在区间[-1,1]上的最大值
解析 由于函数为奇函数且在x=0有定义,所以f(0)=1+b=0,解得b=-1,即f(x)=ax-a-x.
[对点训练1](2024·四川成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)的周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2+a,则f(2 023)=( )A.3B.-3C.1D.-1
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=(0-1)2+a=0,所以a=-1,又因为函数f(x)的周期为4,所以f(2 023)=f(-1)=-f(1)=-a=1,故选C.
例2已知函数f(x)=aln(x+ )+bsin x+2,若f(-3)=7,则f(3)的值为( )A.-7B.-5C.-3D.无法确定
[对点训练2]已知函数f(x),g(x)分别是定义域为R的奇函数和偶函数,若F(x)=f(x)g(x)-3,且F(2)=1,则F(-2)= .
解析 因为f(x),g(x)分别是奇函数和偶函数,所以f(x)g(x)是奇函数,又F(x)=f(x)g(x)-3,所以F(2)+F(-2)=-6,而F(2)=1,所以F(-2)=-7.
例3(2024·宁夏银川模拟)设函数f(x)= 的最大值为a,最小值为b,则a+b= .
[对点训练3]已知函数f(x)= +8(a>0,a≠1)在区间[a,b]上的最小值为-10,则函数f(x)在区间[-b,-a]上的最大值为( )A.10D.与a有关
解析 令g(x)= (a>0,a≠1),则g(x)为奇函数,因为f(x)=g(x)+8在区间[a,b]上的最小值为-10,所以函数f(x)在区间[-b,-a]上的最大值为2×8-(-10)=26,故选B.
二、应用周期性的二级结论解题
对f(x)定义域内任一自变量的值x(a,b为非零常数),结论1:若f(x+a)=f(x-a),则f(x)的一个周期为2a;结论2:若f(x+a)+f(x)=c(c∈R),则f(x)的一个周期为2a;结论3:若f(x)=f(x+a)+f(x-a),则f(x)的一个周期为6a;结论4:若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,则f(x)的一个周期为2|b-a|(b≠a).结论5:若函数f(x)的图象关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为2|b-a|(b≠a).结论6:若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为4|b-a|(b≠a).(注意:结论4—结论6的记忆:两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心四倍差)
例4(2024·陕西汉中模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-2)=f(-x),若
[对点训练4]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,f(x-2)=f(x+2),当x∈[-2,0]时,f(x)=( )x+b,则f(lg3162)= .
解析 由题意知f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=b+1=0,即b=-1.因为f(x+2-2)=f(x+2+2),所以f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4,则f(lg3162)=f(lg3(162-4×40))=f(lg32).因为lg32∈(0,1),f(x)为奇函数,所以
例5(2024·辽宁沈阳模拟)已知函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称,函数y=f(x+1)的图象关于点(1,0)对称,则下列说法一定正确的是( )A.f(1)=0B.f(1-x)=f(1+x)C.f(x)的周期为2
解析 因为函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称,所以f(2(1+x)+1)=f(2(1-x)+1),即f(2x+3)=f(3-2x).用x代换上式中的2x,即可得到f(x+3)=f(3-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=3对称.函数y=f(x+1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(1+x+1)+f(1-x+1)=0,即f(2+x)+f(2-x)=0,所以f(x)的图象关于点(2,0)对称.对于f(x+3)=f(3-x),令x取x+1,可得f(x+4)=f(2-x).对于f(2+x)+f(2-x)=0,令x取x+2,可得f(x+4)=-f(-x).所以f(2-x)=-f(-x),令x取-x,可得f(2+x)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x),令x取x+2,可得f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4,故C错误;对于f(x+3)=f(3-x),令x取x-3,可得f(x)=f(6-x).因为f(x)的最小正周期为4,所以f(6-x)=f(2-x),所以f(x)=f(2-x),令x取x+1,可得f(x+1)=f(1-x),故B正确,D错误;由f(x+1)=f(1-x),可得直线x=1为函数f(x)的图象的对称轴,但不能确定f(1)=0是否成立,故A错误.
[对点训练5](2024·广东佛山检测)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=0,f(2-x)=f(x),且f(x)在区间(-1,1)内单调递增,则( )A.f(-5.3)
结论1:若函数f(x+a)是偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.结论2:若函数f(x+a)是奇函数,则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.
例6(多选题)(2024·广东深圳检测)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为偶函数,f(3x+2)为奇函数,则( )A.f(x)的图象关于直线x=1对称B.f(x)的图象关于(1,0)对称C.f(x+4)=f(x)
解析 ∵f(x+1)为偶函数,∴f(x+1)的图象关于直线x=0对称,因此f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确;∵f(3x+2)为奇函数,∴f(3x+2)关于点(0,0)中心对称,因此f(x)关于(2,0)中心对称,故B错误;由以上分析得f(x)的周期为4×(2-1)=4,即f(x+4)=f(x),故C正确;又f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,∴f(2)=0, f(1)+f(3)=0,∵f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(0)=f(2)=0,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,∵f(x)是周期为4的函数,
[对点训练6](2024·江西临川模拟)若函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)是偶函数,f(x+1)关于点(2,0)成中心对称,则函数f(x)的一条对称轴方程为( )A.x=2 023B.x=2 022C.x=2 021D.x=2 020
解析 因为f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),因此f(x)的图象关于直线x=1对称,即f(x)=f(2-x),因为f(x+1)的图象关于点(2,0)成中心对称,且f(x)的图象向左平移1个单位长度之后得到f(x+1)的图象,所以f(x)的图象关于点(3,0)对称,所以f(x)+f(6-x)=0,因为f(x)=f(2-x),f(x)+f(6-x)=0,所以-f(6-x)=f(2-x),故f(x)=-f(x+4)=f(x+8),故f(x)的周期为8,因为f(x)的图象关于直线x=1对称,关于点(3,0)对称,所以f(x)的图象关于直线x=5对称,所以f(x)图象的对称轴为直线x=1+4k,k∈Z,因为2 020=505×4,2 021=505×4+1,2 022=505×4+2,2 023=505×4+3,所以函数f(x)图象的一条对称轴方程为x=2 021,故选C.
例7(2024·江苏扬州模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,f(5.5)=2,g(x)=(x-1)f(x).若g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)=( )A.-3B.-2C.2D.3
解析 ∵g(x+1)为偶函数,∴g(x)的图象关于直线x=1对称,即g(x)=g(2-x),即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x),即f(x)+f(2-x)=0,∴f(x)的图象关于点(1,0)对称.又f(x)是定义域为R的偶函数,∴f(x)=-f(2-x)=-f(x-2),∴f(x-4)=f[(x-2)-2]=-f(x-2)=-[-f(x)]=f(x),即f(x-4)=f(x),∴f(x)的周期为4,∴f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2, ∴g(-0.5)=g(2.5)=1.5×f(2.5)=3.
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