适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第4章一元函数的导数及其应用课时规范练26破解“双变量问题”的基本策略课件新人教A版

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1.(2024·四川宜宾高三模拟)已知函数f(x)=ax+1-xln x的图象在x=1处的切线与直线x-y=0平行.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若∀x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2时,f(x1)-f(x2)>m( ),求实数m的取值范围.
解 (1)f'(x)=a-1-ln x,所以f(x)的图象在(1,f(1))处的切线斜率为a-1,由切线与直线x-y=0平行,可得a-1=1,即a=2,因此f(x)=2x+1-xln x,f'(x)=1-ln x.由f'(x)>0,可得0e,则f(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减.
2.(2024·山东日照高三期末)已知函数f(x)=ln x+ -2a(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈[e,e2],求f(x1)-f(x2)的取值范围.
令f'(x)=0,得x2+(2-a)x+1=0.当a≤2,x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>2时,方程x2+(2-a)x+1=0的Δ=a2-4a=a(a-4),①当2(ⅱ)若a-1<1,即10,故f(x)在(a-1,1)内单调递减,在(0,a-1)和(1,+∞)上单调递增.(ⅲ)若a-1>1,即a>2,同理可得f(x)在(1,a-1)内单调递减,在(0,1)和(a-1,+∞)上单调递增.
4.(2024·江西临川高三模拟)设m为实数,函数f(x)=ln x+2mx.(1)当m=-1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若方程f(x)=(2m+1)x+n-2(n∈R)有两个实数根x1,x2(x1e.(注:e=2.718 28…是自然对数的底数)