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适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第4章一元函数的导数及其应用素能培优四破解“双变量问题”的基本策略课件新人教A版
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在近几年的高考试题中,常常涉及“双变量”的相关问题,以求参数的取值范围和证明不等式为主,这类问题难度较大,对能力要求较高.破解这类问题的关键:一是可将双变量的问题转化为某函数的单调性问题,或者利用换元法转为一个变量;二是若两个变量可以互相表示,消去一个变量,化为一个变量的问题;三是两个变量不能互相表示,属于极值点偏移问题,可直接构造函数讨论单调性.
一、转化为函数单调性问题求解
在双变量问题中,如果已知函数的两个自变量x1,x2及其对应的函数值f(x1),f(x2)所满足的一个不等关系,则可根据函数单调性的定义,转化为与f(x)相关的函数的单调性问题,然后利用导数进行求解.
例1(2024·天津南开模拟)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若对任意的两个不相等的正数x1,x2,总有 >2,求实数a的取值范围.
[对点训练1](2024·山东聊城模拟)已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)设a≤-2,证明:对任意的x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.
(1)解 当a=2时,f(x)=3ln x+2x2+1,所以f(1)=3,即切点为(1,3).又f'(x)= +4x,所以切线斜率为f'(1)=7,因此曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=7x-4.
因为a≤-2,且x>0,所以g'(x)≤0.从而g(x)在(0,+∞)上单调递减,故g(x1)≤g(x2),即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1,故对任意的x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.
二、转化单变量问题求解
在双变量问题中,如果能够依据题目条件得出双变量所满足的等量关系式,则可转化为含单变量的问题,然后再构造函数,利用导数研究该函数的单调性、极值,进而解决问题.
例2(2024·青海西宁模拟)已知函数f(x)= -x+aln x存在两个极值点x1,x2.(1)求a的取值范围;(2)求f(x1)+f(x2)-3a的最小值.
(2)由(1)知a>4,x1,x2是g(x)=0的两个实数根,则x1+x2=x1x2=a.
令h(a)=aln a-3a(a>4),则h'(a)=ln a-2,∴当a∈(4,e2)时,h'(a)<0;当a∈(e2,+∞)时,h'(a)>0.∴h(a)在(4,e2)内单调递减,在(e2,+∞)上单调递增.∴h(a)min=h(e2)=2e2-3e2=-e2,即f(x1)+f(x2)-3a的最小值为-e2.
[对点训练2](2024·江苏宿迁模拟)已知函数f(x)= x2-2ax+ln x(a为常数).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)设函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2(x1
如果双变量问题是证明与函数的两个零点之和(之差)有关的不等式,可以利用构造对称和(差)的方法证明不等式,一般步骤如下:
例3已知函数f(x)=(1-x)ex-a(x2+1)(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有两个不同的零点x1,x2,证明:x1+x2<0.
(1)解 因为f(x)=(1-x)ex-a(x2+1)(a∈R),所以f'(x)=-xex-2ax=-x(ex+2a),当a≥0时,令f'(x)>0,解得x<0,令f'(x)<0,解得x>0,所以f(x)的单调递减区间为(0,+∞),f(x)的单调递增区间为(-∞,0).
令h(x)=(1-x)e2x-x-1,x∈(0,1),所以h'(x)=(1-2x)e2x-1,令u(x)=h'(x),所以u'(x)=-4xe2x<0在(0,1)上恒成立,所以u(x)在(0,1)上单调递减,即h'(x)在(0,1)上单调递减,所以h'(x)
(1)解 因为f(x)=mx-ex-m,则f'(x)=m-ex,若m≤0,则对任意的x∈R,f'(x)<0,所以函数f(x)的单调递减区间为R;若m>0,令f'(x)=m-ex=0,得x=ln m,当x0,当x>ln m时,f'(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,ln m),单调递减区间为(ln m,+∞).综上所述,当m≤0时,函数f(x)的单调递减区间为R;当m>0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,ln m),单调递减区间为(ln m,+∞).
四、构造“根商”证明双变量不等式
在解决双变量问题中,还可以引入变量t= ,直接消掉两个变量,巧妙构造关于变量t的函数解决问题,一般步骤如下:(1)巧妙消参:利用方程f(x1)=f(x2)=0消掉解析式中的参数;(2)抓商构元:令t= ,消掉变量x1,x2,构造关于t的函数h(t);(3)用导求解:利用导数研究函数h(t)的单调性、极值和最值,即可证得结论.
例4(2024·河北唐山模拟)设λ为实数,函数f(x)=ln x+λ(x-1).(1)判断函数f(x)在定义域上的单调性;(2)若方程f(x)=(λ+1)x+m(m∈R)有两个实数根x1,x2(x1e(e=2.718 28…是自然对数的底数).
在近几年的高考试题中,常常涉及“双变量”的相关问题,以求参数的取值范围和证明不等式为主,这类问题难度较大,对能力要求较高.破解这类问题的关键:一是可将双变量的问题转化为某函数的单调性问题,或者利用换元法转为一个变量;二是若两个变量可以互相表示,消去一个变量,化为一个变量的问题;三是两个变量不能互相表示,属于极值点偏移问题,可直接构造函数讨论单调性.
一、转化为函数单调性问题求解
在双变量问题中,如果已知函数的两个自变量x1,x2及其对应的函数值f(x1),f(x2)所满足的一个不等关系,则可根据函数单调性的定义,转化为与f(x)相关的函数的单调性问题,然后利用导数进行求解.
例1(2024·天津南开模拟)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若对任意的两个不相等的正数x1,x2,总有 >2,求实数a的取值范围.
[对点训练1](2024·山东聊城模拟)已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)设a≤-2,证明:对任意的x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.
(1)解 当a=2时,f(x)=3ln x+2x2+1,所以f(1)=3,即切点为(1,3).又f'(x)= +4x,所以切线斜率为f'(1)=7,因此曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=7x-4.
因为a≤-2,且x>0,所以g'(x)≤0.从而g(x)在(0,+∞)上单调递减,故g(x1)≤g(x2),即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1,故对任意的x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.
二、转化单变量问题求解
在双变量问题中,如果能够依据题目条件得出双变量所满足的等量关系式,则可转化为含单变量的问题,然后再构造函数,利用导数研究该函数的单调性、极值,进而解决问题.
例2(2024·青海西宁模拟)已知函数f(x)= -x+aln x存在两个极值点x1,x2.(1)求a的取值范围;(2)求f(x1)+f(x2)-3a的最小值.
(2)由(1)知a>4,x1,x2是g(x)=0的两个实数根,则x1+x2=x1x2=a.
令h(a)=aln a-3a(a>4),则h'(a)=ln a-2,∴当a∈(4,e2)时,h'(a)<0;当a∈(e2,+∞)时,h'(a)>0.∴h(a)在(4,e2)内单调递减,在(e2,+∞)上单调递增.∴h(a)min=h(e2)=2e2-3e2=-e2,即f(x1)+f(x2)-3a的最小值为-e2.
[对点训练2](2024·江苏宿迁模拟)已知函数f(x)= x2-2ax+ln x(a为常数).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)设函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2(x1
如果双变量问题是证明与函数的两个零点之和(之差)有关的不等式,可以利用构造对称和(差)的方法证明不等式,一般步骤如下:
例3已知函数f(x)=(1-x)ex-a(x2+1)(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有两个不同的零点x1,x2,证明:x1+x2<0.
(1)解 因为f(x)=(1-x)ex-a(x2+1)(a∈R),所以f'(x)=-xex-2ax=-x(ex+2a),当a≥0时,令f'(x)>0,解得x<0,令f'(x)<0,解得x>0,所以f(x)的单调递减区间为(0,+∞),f(x)的单调递增区间为(-∞,0).
令h(x)=(1-x)e2x-x-1,x∈(0,1),所以h'(x)=(1-2x)e2x-1,令u(x)=h'(x),所以u'(x)=-4xe2x<0在(0,1)上恒成立,所以u(x)在(0,1)上单调递减,即h'(x)在(0,1)上单调递减,所以h'(x)
(1)解 因为f(x)=mx-ex-m,则f'(x)=m-ex,若m≤0,则对任意的x∈R,f'(x)<0,所以函数f(x)的单调递减区间为R;若m>0,令f'(x)=m-ex=0,得x=ln m,当x
四、构造“根商”证明双变量不等式
在解决双变量问题中,还可以引入变量t= ,直接消掉两个变量,巧妙构造关于变量t的函数解决问题,一般步骤如下:(1)巧妙消参:利用方程f(x1)=f(x2)=0消掉解析式中的参数;(2)抓商构元:令t= ,消掉变量x1,x2,构造关于t的函数h(t);(3)用导求解:利用导数研究函数h(t)的单调性、极值和最值,即可证得结论.
例4(2024·河北唐山模拟)设λ为实数,函数f(x)=ln x+λ(x-1).(1)判断函数f(x)在定义域上的单调性;(2)若方程f(x)=(λ+1)x+m(m∈R)有两个实数根x1,x2(x1
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