吉林省2024春九年级数学下册第27章圆学情评估试卷（华东师大版）

这是一份吉林省2024春九年级数学下册第27章圆学情评估试卷（华东师大版），共10页。

第27章学情评估一、选择题(每题3分，共24分)1．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为(　　)A．80° B．76° C．62° D．52°2．如图，在⊙O中，若C是eq \o(AB,\s\up8(︵))的中点，∠AOB＝80°，则∠AOC的度数为(　　)A．40° B．45° C．50° D．60°3．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连结OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数是(　　)A．40° B．50° C．55° D．60°4．如图，P是⊙O的直径CD的延长线上一点，∠P＝30°，若直线PA是⊙O的切线，则∠ACP的度数为(　　)A．20° B．30° C．15° D．25°5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为(　　)A．4 B．2 eq \r(2) C.eq \r(3) D．4 eq \r(2)6．如图，已知A、B、C是⊙O上三点，OC＝2，∠ABC＝30°，切线AP交OC的延长线于点P，则AP的长为(　　)A．2 B．2 eq \r(3) C．4 D．4 eq \r(3)7．如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为(　　) A.eq \r(2) B．2 C．4＋2 eq \r(2) D．4－2 eq \r(2) 8．如图，AB为⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PC、PD与⊙O相切，切点分别为C、D，若AB＝4，PC＝4，则sin∠CBD等于(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(2 \r(5),5) D.eq \f(\r(5),4)二、填空题(每题3分，共18分)9．若⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为d，且直线l与⊙O相交，则d________5.(填“＞”“＜”或“＝”)10．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________．11．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5 m，地面入口宽为1 m，则该门洞的半径为________m.12．若圆锥的底面半径为5，高为12，则圆锥的侧面展开图的面积是________．13．扇子古称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装．来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为135°，AB的长为30 cm, 扇面BD的长为20 cm，则扇面面积为________cm2.14．如图，正方形ABCD的边长为6，G为边CD的中点，动点E，F分别从B，C同时出发，以相同速度沿直线向各自终点A，B移动，连结CE，DF交于点P，连结BP，则BP的长度的最小值为________．三、解答题(第15，16题每题6分，第17～19题每题9分，第20，21题每题12分，第22题15分，共78分)15．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D.若⊙O的半径为6，求OD的长．16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为eq \o(CD,\s\up8(︵))的中点，连结AM，BM，OA，OM.(1)求证：AM＝BM；(2)求∠AOM的度数．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E.(1)求证：BE＝CE；(2)若AB＝6，∠BAC＝54°，求eq \o(AD,\s\up8(︵))的长．18．如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC.(1)求证：DE⊥AC；(2)若BC＝4，AD＝3，求AE的长．19．如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E.(1)求证：∠D＝∠ABC；(2)若OE＝CE，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．20．【探究】小明遇到这样一个问题：如图①，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在eq \o(AC,\s\up8(︵))上(点P不与点A、C重合)，连结PA、PB、PC.求证：PB＝PA＋PC.小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连结BE，通过证明△PBC≌△EBA，可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连结BE，如图①.∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP＋∠BCP＝180°.∵∠BAP＋∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE.∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△PBC≌△EBA.请你补全余下的证明过程．【应用】如图②，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连结PA、PB、PC.若PB＝2 eq \r(2)PA，则eq \f(PB,PC)的值为______．21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(BD,\s\up8(︵))，BE⊥DC交DC的延长线于点E.(1)求证：∠1＝∠BCE；(2)求证：BE是⊙O的切线；(3)若EC＝2，CD＝8，求cos∠DBA.22．如图①，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O与内心I之间的距离OI＝d，则有d2＝R2－2Rr.下面是上述结论的证明过程(部分)：连结AI并延长交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连结DM、AN.∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI，∴△MDI∽△ANI，∴eq \f(IM,IA)＝eq \f(ID,IN)，∴IA·ID＝IM·IN.(a)如图②，在图①(隐去MD、AN)的基础上作⊙O的直径DE，连结BE、BD、BI、IF.∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°.∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IFA.∵∠BAD＝∠E，∴△AIF∽△EDB，∴eq \f(IA,DE)＝eq \f(IF,BD)，∴IA·BD＝DE·IF.(b)(1)观察发现：IM＝R＋d，IN＝________(用含R，d的代数式表示)；(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子(a)和式子(b)，并利用(1)(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该结论证明的剩余部分；(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5 cm，内切圆的半径为2 cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为________cm.答案一、1.B　2.A　3.B　4.B　5.B　6.B　7.D　8.C二、9.＜　10.1　11.1.3　12.65π　13.300π14．3 eq \r(5)－3　点拨：由题意得BE＝CF，∠EBC＝∠FCD，BC＝CD，∴△EBC≌△FCD，∴∠ECB＝∠FDC，∵∠ECB＋∠DCP＝90°，∴∠FDC＋∠DCP＝90°，∴∠DPC＝90°，∴点P在以DC为直径的圆上运动．连结BG，易知当点P在线段BG上时BP的长最短，GP＝eq \f(1,2)CD＝3，由勾股定理，得BG＝3 eq \r(5)，∴BP的长度的最小值为3 eq \r(5)－3.三、15.解：∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝6.∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝3.在Rt△ODB中，OD＝eq \r(OB2－BD2)＝3 eq \r(3).16．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵)).∵M为eq \o(CD,\s\up8(︵))的中点，∴eq \o(DM,\s\up8(︵))＝eq \o(CM,\s\up8(︵))，∴eq \o(AD,\s\up8(︵))＋eq \o(DM,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵))＋eq \o(CM,\s\up8(︵))，∴eq \o(AM,\s\up8(︵))＝eq \o(BM,\s\up8(︵))，∴AM＝BM.(2)解：连结OB.∵正方形ABCD内接于⊙O，∴易得∠AOB＝90°.∵eq \o(AM,\s\up8(︵))＝eq \o(BM,\s\up8(︵))，∴∠AOM＝∠BOM＝eq \f(1,2)×(360°－90°)＝135°.17．(1)证明：连结AE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC.又∵AB＝AC，∴BE＝CE.(2)解：连结OD.∵AB＝6，∴OA＝3.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAC＝54°，∴∠AOD＝180°－2×54°＝72°，∴eq \o(AD,\s\up8(︵))的长为 eq \f(72×π×3,180)＝eq \f(6π,5).18．(1)证明：如图，连结OD.∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B.∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，∴∠ODB＝∠A，∴OD∥AC，∴DE⊥AC.(2)解：如图，连结CD.∵AC＝BC，BC＝4，∴AC＝4.∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴易得∠AED＝∠ADC，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴eq \f(AE,AD)＝eq \f(AD,AC)，即eq \f(AE,3)＝eq \f(3,4)，解得AE＝eq \f(9,4).19．(1)证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°.∵DO⊥AB，∴∠A＋∠D＝90°，∴∠D＝∠ABC.(2)解：设∠B＝α，则易得∠BCO＝α，∵OE＝CE，∴∠EOC＝∠BCO＝α.在△BCO中，α＋α＋90°＋α＝180°，∴α＝30°，∴∠D＝∠ABC＝∠EOC＝30°， ∴CA＝eq \f(1,2)AB＝3，∴CA＝OA＝3.∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD＝90°，∴△ACB≌△AOD，∴S△ABC＝S△ADO，AD＝AB＝6.∵AO＝BO＝3，∴S△AOC＝eq \f(1,2)S△ABC，OD＝eq \r(AD2－AO2)＝3 eq \r(3)，∴S阴影＝eq \f(1,2)×3×3 eq \r(3)－eq \f(30×π×32,360)－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×3×3 eq \r(3)＝eq \f(9 \r(3),4)－eq \f(3π,4).20．解：【探究】余下的证明过程如下：∴PB＝EB，∠PBC＝∠EBA，∴∠EBA＋∠ABP＝∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝60°，即∠EBP＝60°，∴△PBE是等边三角形，∴PB＝PE＝PA＋AE＝PA＋PC.【应用】eq \f(2 \r(2),3)　点拨：延长PA至点E，使AE＝PC，连结BE，如图．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP＋∠BCP＝180°.∵∠BAP＋∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE.∵AB＝CB，∴△PBC≌△EBA.∴PB＝EB，∠PBC＝∠EBA，∴∠EBA＋∠ABP＝∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝90°，即∠EBP＝90°，∴△PBE是等腰直角三角形，∴PB2＋BE2＝PE2，∴2PB2＝PE2，即PE＝eq \r(2)PB.∵PE＝PA＋AE＝ PA＋PC，∴PA＋PC＝eq \r(2)PB.∵PB＝2 eq \r(2)PA，∴PA＋PC＝eq \r(2)×2 eq \r(2)PA＝4PA，∴PC＝3PA，∴eq \f(PB,PC)＝eq \f(2 \r(2)PA,3PA)＝eq \f(2 \r(2),3).21．(1)证明：过点B作BF⊥AC于点F.∵eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(BD,\s\up8(︵))，∴AB＝BD.在△ABF与△DBE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFB＝∠DEB＝90°，,∠BAF＝∠BDE，,AB＝DB，))∴△ABF≌△DBE，∴BF＝BE，∴∠1＝∠BCE.(2)证明：连结OB.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠1＋∠BAC＝90°.∵BE⊥DC，∴∠BCE＋∠EBC＝90°，又∵∠1＝∠BCE，∴∠BAC＝∠EBC.∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∴∠EBC＝∠OBA，∴∠OBE＝∠EBC＋∠CBO＝∠OBA＋∠CBO＝∠ABC＝90°，∴BE是⊙O的切线．(3)解：由(1)易得Rt△EBC≌Rt△FBC，∴CF＝CE＝2.∵△ABF≌△DBE，∴AF＝DE＝2＋8＝10，∴AC＝CF＋AF＝2＋10＝12.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∵∠DBA＝∠DCA，∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝eq \f(CD,CA)＝eq \f(2,3).22．解：(1)R－d(2)BD＝ID，理由：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI.∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD＋∠ABI，∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝ID.(3)由(2)知，BD＝ID，∴IA·ID＝DE·IF.又∵IA·ID＝IM·IN，∴DE·IF＝IM·IN，∴2R·r＝(R＋d)(R－d)，∴2Rr＝R2－d2，∴d2＝R2－2Rr.(4)eq \r(5)