福建省2024春九年级数学下学期期末学情评估试卷（华东师大版）

这是一份福建省2024春九年级数学下学期期末学情评估试卷（华东师大版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数是二次函数的是( )
A.y＝2x＋1B.y＝2xC.y＝3x2＋1D.y＝1x2＋1
2.中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患.为了了解某中学2 500位学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查了400位家长，结果有360位家长持反对态度，则下列说法正确的是( )
A.调查方式是普查B.该校只有360位家长持反对态度
C.样本是360位家长D.该校约有90％的家长持反对态度
3.如图，点A，B，C在☉O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为( )
(第3题)
A.27°B.108°C.116°D.128°
4.把二次函数y＝x2－2x＋3化为顶点式，结果正确的是( )
A.y＝(x－1)2＋4 B.y＝(x＋1)2－4
C.y＝(x＋1)2＋2 D.y＝(x－1)2＋2
5.将抛物线y＝12(x－4)2＋5向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式是( )
A.y＝12(x－4)2＋7B.y＝12(x－2)2＋5
C.y＝12(x－6)2＋5D.y＝12(x－4)2＋3
6.小新家4月份前6天的用米量如下表：
估计小新家4月份的用米量为( )
A.24 kgB.25 kgC.26 kgD.27 kg
7.如图是一个石拱门的截面示意图，已知它是一段优弧，小松测得AB为8 m，石拱门的顶部C到地面AB的距离(即CD)也为8 m，则这个石拱门所在圆的半径为( )
(第7题)
A.4 mB.5 mC.6 mD.8 m
8.一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是( )
A.1003πB.2003πC.1005πD.2005π
9.在同一平面直角坐标系中，函数y＝12x2＋kx与y＝kx＋k(k≠0)的图象可以是( )
10.函数y＝x2＋2bx＋c的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2－x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b，c的关系式是( )
A.m＝1＋2b＋cB.m＝4＋4b＋c
C.m＝9＋6b＋cD.m＝－b2＋c
二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)
11.抛物线y＝x2＋3与y轴的交点坐标是 .
12.某校共有1 000名学生，为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图.根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是 .
(第12题)
13.如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 .
(第13题)
14.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD.设∠ABC＝α，则∠ADC＝ (用含α的代数式表示).
(第14题)
15.如图，☉O的半径是2，直线l与☉O相交于A，B两点，M，N是☉O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB的面积的最大值是 .
(第15题)
16.已知抛物线y＝－x2＋6x－5的顶点为P，对称轴l与x轴交于点A，N是PA的中点.M(m，n)在抛物线上，M关于直线l的对称点为B，M关于点N的对称点为C.当1≤m≤3时，线段BC的长随m的增大而发生的变化是： .(“变化”是指增减情况及相应m的取值范围)
三、解答题(本题共9小题，共86分)
17.(8分)一个二次函数的图象经过(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)三点，求这个二次函数的表达式.
18.(8分)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的一条弦，AB⊥CD于点M，且M是半径OB的中点，CD＝6，求直径AB的长.
(第18题)
19.(8分)某中学九年级部分同学参加全国初中数学竞赛，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都是整数，试题满分120分)，并且绘制了频数分布直方图(每组含前一个边界值，不含后一个边界值)，如图所示，请根据直方图回答下列问题：
(第19题)
(1)该中学参加本次数学竞赛的有多少名同学？
(2)如果成绩在90分以上(含90分)的同学获奖，那么该中学参赛同学的获奖率是多少？
(3)图中还提供了其他信息，例如该中学没有获得满分的同学等，请再写出两条信息.
20.(8分)如图，已知线段a及∠ACB.
求作：☉O，使☉O在∠ACB的内部，CO＝a，且☉O与∠ACB的两边均相切.
(第20题)
21.(8分)某超市茶叶专柜经销一种安溪铁观音茶叶，每千克成本为100元，市场调查发现，在一段时间内，每天的销售量y(kg)随销售单价x(元/kg)的变化而变化，具体的变化(一次函数关系)如下表：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设这种茶叶在这段时间内的销售利润为W元，那么当该茶叶的销售单价为多少元/kg时，可获得最大利润？最大利润为多少元？
22.(10分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连结BD，以点B为圆心，BA长为半径作☉B，交BD于点E.
(第22题)
(1)试判断CD与☉B的位置关系，并说明理由；
(2)若AB＝23，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积.
23.(10分)如图，已知△ABC内接于☉O，CO的延长线交AB于点D，交☉O于点E，交☉O的切线AF于点F，且AF∥BC.
(第23题)
(1)求证：AO∥BE；
(2)求证：AO平分∠BAC.
24.(12分)阅读下面的材料：
我们知道，一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，而y＝kx＋b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax＋By＋C＝0(A，B，C是常数，且A，B均不为0).如图①，点P(m，n)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离(d)计算公式是d＝｜A×m＋B×n＋C｜A2＋B2 .
例：求点P(1，2)到直线y＝512x－16的距离d'时，先将y＝512x－16化为5x－12y－2＝0，再由上述距离公式求得d'＝｜5×1+(-12)×2+(-2)|52＋(-12)2＝2113.
解答下列问题：
如图②，已知直线y＝－43x－4与x轴交于点E，与y轴交于点F，抛物线y＝x2－4x＋5上的一点M(3，2).
(1)求点M到直线EF的距离；
(2)点P是抛物线上一动点，求出使△PEF面积最小时点P的坐标及△PEF面积的最小值.
(第24题)
25.(14分)如图①，抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝－x与该抛物线交于E，F两点.
(1)求抛物线的表达式；
(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值；
(3)如图②，以点C为圆心，1为半径作圆，☉C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
(第25题)
参考答案
一、1.C 2.D 3.B 4.D 5.A 6.B 7.B 8.C 9.C 10.C
二、11.(0，3) 12.270
13.53－2π4
14.180°－α2 15.42
16.当1≤m≤3－2时，BC的长随m的增大而减小；
当3－2＜m≤3时，BC的长随m的增大而增大
三、17.解：设这个二次函数的表达式是y＝ax2＋bx＋c，
把(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)代入y＝ax2＋bx＋c，得9a－3b＋c=0，a－b＋c=0，c＝－3，解得a＝－1，b＝－4，c＝－3.
所以这个二次函数的表达式是y＝－x2－4x－3.
18.解：如图，连结OC.
(第18题)
∵AB⊥CD，∴CM＝DM＝12CD＝3.
∵M是OB的中点，
∴OM＝12OB＝12OC.
由勾股定理，得OC2＝OM2＋CM2，
∴OC2＝12OC2＋32，
∴OC＝23(负值舍去)，
∴直径AB的长为43.
19.解：(1)4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(名)，
所以该中学参加本次数学竞赛的有32名同学.
(2)由题图可知，该中学参赛同学的获奖率是
7+5+232×100％＝43.75％.
(3)该中学参赛同学的成绩均不低于60分；成绩在80～90分的人数最多.(答案不唯一，合理即可)
20.解：①作∠ACB的平分线CD，
②在CD上截取CO＝a，
③作OE⊥CA于点E，以O为圆心，OE的长为半径作圆.
如图所示，☉O即为所求.
(第20题)
21.解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将(120，120)，(140，100)代入，得120k＋b=120，140k＋b=100，
解得k＝－1，b=240.
所以y＝－x＋240.
(2)由题意得W＝(x－100)(－x＋240)，
整理，得
W＝－x2＋340x－24 000＝－(x－170)2＋4 900.
因为－1＜0，
所以当x＝170时，W可取得最大值，W最大＝4 900.
即当该茶叶的销售单价为170元/kg时，可获得最大利润，最大利润为4 900元.
22.解：(1)CD与☉B相切.
理由：如图，过点B作BF⊥CD于点F.
(第22题)
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD.
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB.
∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD.
又∵BF⊥CD，∴BF＝BA，
∴点F在☉B上，
∴CD与☉B相切.
(2)∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ABD＝90°－∠ADB＝30°.
∵AB＝23，
∴AD＝AB·tan∠ABD＝23×tan 30°＝2，
∴阴影部分的面积为S△ABD－S扇形ABE＝12×23×2－30×π×(23)2360＝23－π.
23.证明：(1)∵AF是☉O的切线，
∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°.
∵CE是☉O的直径，
∴∠CBE＝90°.
∴∠OAF＝∠CBE.
∵AF∥BC，
∴∠BAF＝∠ABC，
∴∠OAF－∠BAF＝∠CBE－∠ABC，
即∠OAB＝∠ABE，
∴AO∥BE.
(2)∵∠ABE与∠ACE都是AE所对的圆周角，
∴∠ABE＝∠ACE.
∵OA＝OC，
∴∠ACE＝∠OAC，
∴∠ABE＝∠OAC.
由(1)知∠OAB＝∠ABE，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AO平分∠BAC.
24.解：(1)将y＝－43x－4化为4x＋3y＋12＝0，
由题中距离公式可得点M到直线EF的距离为｜4×3+3×2+12｜42＋32＝6.
(2)设P(t，t2－4t＋5)，则点P到直线EF的距离
d″＝｜4t＋3(t2－4t+5)+12｜42＋32＝｜3t2－8t+27｜5
＝3t－432＋6535＝35t－432＋133.
∴当t＝43时，d″最小，为133.
当t＝43时，t2－4t＋5＝432－4×43＋5＝139，
此时P43，139.
在y＝－43x－4中，令x＝0，则y＝－4，
∴F(0，－4).
令y＝0，则x＝－3，
∴E(－3，0)，
∴EF＝32＋42＝5，
∴△PEF面积的最小值为12×5×133＝656.
25.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，
∴9a－3b－2=0，a＋b－2=0，
解得a＝23，b＝43，
∴抛物线的表达式为y＝23x2＋43x－2.
(2)将直线EF向左平移至直线l，使l与抛物线只有一个交点，记为P'，
当点P在点P'处时，PH最大，过点O作OD⊥l于点D，
设直线l交x轴于点G，则PH最大＝OD.
∵直线EF的表达式为y＝－x，
∴设直线l的表达式为y＝－x＋m①.
由(1)知抛物线的表达式为y＝23x2＋43x－2②，
联立①②，化简得23x2＋73x－2－m＝0，
∴Δ＝499－4×23×(－2－m)＝0，
解得m＝－9724，
∴直线l的表达式为y＝－x－9724.
令y＝0，得x＝－9724，
∴G－9724，0，
∴OG＝9724，
在Rt△ODG中，易得OD＝OG2＝97248，
∴PH最大＝97248.
(3)存在.
点M的坐标为－35，－65或(1，－2)或－255，55－2或255，－55－2.用米量(kg)
0.6
0.8
0.9
1.0
天数
1
2
2
1
销售单价x(元/kg)
120
140
160
180
销售量y(kg)
120
100
80
60