河北省邯郸市2024届高三第三次调研考试考试数学试题

这是一份河北省邯郸市2024届高三第三次调研考试考试数学试题，共13页。试卷主要包含了在的展开式中，的系数为，已知双曲线，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数为纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．D．2
3．已知向量与共线，则（ ）
A．B．C．D．
4．在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．6D．192
5．已知等比数列的各项互不相等，且，，成等差数列，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一动点，点，则周长的最小值为（ ）
A．13B．14C．15D．16
7．已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知在四面体中，，二面角的大小为，且点A，B，C，D都在球的球面上，为棱上一点，为棱的中点．若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知双曲线，则（ ）
A．的取值范围是B．的焦点可在轴上也可在轴上
C．的焦距为6D．的离心率的取值范围为
10．“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ）
A．共有18个顶点B．共有36条棱
C．表面积为D．体积为
11．已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．写出一个，使得函数的图象关于点对称，则可以为__________．
13．从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为，则__________．
14．记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列．
（I）求的通项公式；
（II）设，求数列的前项和．
16．（15分）
某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
（I）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
（II）求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
17．（15分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点，且．
（I）求四棱锥的高；
（II）求二面角的正弦值．
18．（17分）
已知椭圆经过，两点．
（I）求的方程；
（II）若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．
19．（17分）
已知函数，．
（I）求曲线在点处的切线方程．
（II）已知关于的方程恰有4个不同的实数根，其中，．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
邯郸市2024届高三年级第三次调研考试
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案C
命题意图本题考查集合的表示与运算．
解析，，所以．
2．答案C
命题意图本题考查复数的相关概念和运算．
解析，因为为纯虚数，所以解得．
3．答案B
命题意图本题考查平面向量的性质．
解析因为，所以，解得，所以．
4．答案A
命题意图本题考查二项式定理的应用．
解析的展开式的通项为，令，得，所以的系数为．
5．答案D
命题意图本题考查等比数列与等差数列的性质．
解析设的公比为．因为，，成等差数列，所以，所以，解得舍去），从而．
6．答案A
命题意图本题考查抛物线的性质．
解析由题知，准线方程为．如图，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，所以的周长，当为与抛物线的交点时等号成立，即周长的最小值为13．
7．答案B
命题意图本题考查函数的综合性质．
解析因为是偶函数，，在上单调递减，所以在上单调递减．，，因为，，所以，，所以，所以，故．
8．答案C
命题意图本题考查几何体的结构特征．
解析由题意知与均为等边三角形，连接，，则，，是二面角的平面角，所以，又易知，所以是等边三角形．设为的外心，为的中点，连接，则点O，P，Q都在平面内，建立平面直角坐标系如图．设，则，，所以．又，所以，因为，所以，则可得，，从而，．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．答案AC
命题意图本题考查双曲线的方程与性质．
解析对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；
对于B，由，可知，的焦点只能在轴上，故B错误；
对于C，设的半焦距为，则，，焦距为，故C正确；
对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误．
10．答案BD
命题意图本题考查空间几何体的结构特征以及相关计算．
解析由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确；该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，故该多面体的表面积为，故C错误；正八面体的体积为，切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为，所以该阿基米德多面体的体积为，故D正确．
11．答案ABC
命题意图本题考查正弦定理、余弦定理和三角恒等变换的综合应用．
解析由题意知，整理得，由余弦定理知，，，．
对于A，，，，，的取值范围为，故A正确；
对于B，为边的中点，，则，，当且仅当时，等号成立，，故B正确；
对于C，，是锐角三角形，，，，故C正确；
对于D，由题意得，即，整理得，即，，当且仅当时，等号成立，故D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．答案（答案不唯一，，等也正确）
命题意图本题考查三角函数的性质．
解析由题意知，所以，又，所以，，，…．
13．答案8
命题意图本题考查随机变量的分布列与期望．
解析任取2张卡片的所有10种结果中，每个数字各出现了4次，故．
14．答案2
命题意图本题考查不等式的性质．
解析若，则，此时，因为，所以和中至少有一个小于等于2，所以，又当，时，，所以的最大值为2．若，则，此时，因为，所以和中至少有一个小于2，所以．综上，的最大值为2．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．命题意图本题考查数列的性质与数列求和．
解析（I）因为，所以，
所以，即．
当时，，
又适合上式，所以．
（II），
故
．
16．命题意图本题考查线性回归分析的应用．
解析（I）由题意知，，
所以，
因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系．
（II），，
所以关于的回归直线方程为．
当时，，
由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人．
17．命题意图本题考查空间垂直关系以及空间向量的应用．
解析（I）如图，过作的平行线，与的延长线交于点，连接，．
由已知得，因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以．
由已知可得四边形为矩形，所以，
因为为棱的中点，所以，从而．
又因为，，所以平面，从而．
因为，所以平面．
所以四棱锥的高即．
（II）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设是平面的法向量，
则可取
设是平面的法向量，
则可取．
所以，
所以二面角的正弦值为．
18．命题意图本题考查椭圆的方程、椭圆与直线的位置关系．
解析（I）因为过点，，
所以解得
故的方程为．
（II）由题知的斜率存在且不为0．
设．
因为与圆相切，所以，得．
联立与的方程，可得，
设，，则，．
所以，
将代入，可得．
用替换，可得．
四边形的面积．
令，则，可得，
再令，，则，可得，
即四边形面积的最小值为．
19．命题意图本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数性质．
解析（I），
所以，
又，所以曲线在点处的切线方程为．
（II）（i）由，得，该方程有一根为，且，
所以即有3个不同的实数根，且这3个实数根均不为．
令，则，
所以当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，且当无限趋近于时，且趋近于0，当从0的左侧无限趋近于0时，趋近于，当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于，当无限趋近于时，的增速远大于的增速，所以趋近于．
故的大致图象如图所示：
又，所以当时，直线与曲线有3个不同的交点，且这3个交点的横坐标均不为，所以的取值范围为．
（ii）由（i）知，，所以，，
所以，则，
要证，只需证，
不妨设，所以，所以，则只需证．
令，则，令，
则当时，，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，恒成立，所以原不等式得证．
年份序号x
1
2
3
4
5
招生人数y/千人
0.8
1
1.3
1.7
2.2