河南省五市2024届高三第一次联考数学试题

这是一份河南省五市2024届高三第一次联考数学试题，共10页。试卷主要包含了函数的部分图像如图所示，则等内容，欢迎下载使用。

数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟，考试结束后，将答题卡交回．
注意事项：
1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效，
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．R
2．以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则有（ ）
A．B．C．D．
3．平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球情况下，第三次又摸到白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ）
A．或B．C．或D．
6．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为20mm，卫生纸厚度约为0.1mm，若未使用时直径为80mm，则这个卷筒卫生纸总长度大约为（ ）（参考数据）
A．47mB．51mC．94mD．102m
7．已知P为棱长为的正四面体各面所围成的区域内部（不在表面上）一动点，记P到面，面，面，面的距离分别为，，，，若，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
8．抛物线在其上一点处的切线方程为，点A，B为C上两动点，且，则的中点M到y轴距离的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．新高考模式下，化学、生物等学科实施赋分制，即通过某种数学模型将原始分换算为标准分．某校在一次高三模拟考试中实施赋分制的方式，其中应用的换算模型为：，其中x为原始分，y为换算后的标准分．已知在本校2000名高三学生中某学科原始分最高得分为150分，最低得分为50分，经换算后最高分为150分，最低分为80分．则以下说法正确的是（ ）
A．若学生甲本学科考试换算后的标准分为115分，则其原始得分为100分
B．若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数
C．该校本学科高三全体学生得分的原始分与标准分的标准差相同
D．该校本学科高三全体学生得分的原始分的平均分低于标准分的平均分
10．函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．，
B．不等式的解集为，
C．为的一个零点
D．若A，B，C为内角，且，则或
11．对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”．如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ）
A．若数列是递减数列，则为常数列
B．若数列是递增数列，则有
C．满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8
D．若，记为的前n项和，则
12．定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，，则实数m的取值范围为
B．若，，则实数m的取值范围为
C．若，，则实数m的取值范围为
D．若，，则实数m的取值范围为
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．计算（i为虚数单位）的值为______．
14．的展开式中的常数项为______．
15．已知函数及其导函数的定义域均为R，记．且，，当，，则______．（用数字作答）
16．三棱锥中，，，，，点M，N分别在线段，上运动．若二面角的大小为，则的最小值为______．
四、解答题，本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若为锐角三角形，求的取值范围．
18．（12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若有两个零点，求实数a的取值范围．
19．（12分）
在等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若记为中落在区间内项的个数，求的前k项和．
20．（12分）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，．
（Ⅰ）若O为的中点，证明：；
（Ⅱ）若，，点M满足，求平面与平面所成角的余弦值．
21．（12分）
某档电视节目举行了关于“中国梦”的知识竞赛，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一方净胜2分结束，且多得2分的一方最终胜出．已知甲、乙两名选手分在同一组，两人都参与每一次抢题，且每次抢到题的概率都为．甲、乙两人每道题答对的概率分别为，，并且每道题两人答对与否相互独立．假设准备的竞赛题足够的多．
（Ⅰ）求第二题答完比赛结束的概率；
（Ⅱ）求知识竞赛结束时，抢答题目总数X的期望．
22．（12分）
已知椭圆的左右熊点分别为，，其长轴长为6，离心率为e且，点D为E上一动点，的面积的最大值为，过的直线，分别与椭圆E交于A，B两点（异于点P），与直线交于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之和为11．过坐标原点O作直线的垂线，垂足为H．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）问：平面内是否存在定点Q，使得为定值？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
2024年河南省五市高三第一次联考
（数学）参考答案
一、选择：
二、选择：
三、填空：
13．14．6015．101216．
四、解答题：
17．（Ⅰ）由条件，根据正弦定理可得
即
所以，也即
从而证得
（Ⅱ）若为锐角三角形，根据（Ⅰ）
则，得
式子
由
因此即为所求
18．（Ⅰ）根据条件则
当时，在定义域内恒成立，因此在递减；
当时，由，解得；，解得
因此：当时，的单调减区间为，无增区间；
时，的单调减区间为，增区间为；
注：区间端点处可以是闭的
（Ⅱ）若有两个零点，有（Ⅰ）可知且
则必有
即，解得
又因，
即
可得，
也即得在恒成立
从而可得在，区间上各有一个零点
综上所述，若有两个零点实数a的范围为
19．（Ⅰ）记等差数列的公差为d，则由条件得
从而
即为所求
（Ⅱ）对任意，由，即
整理得
故，
从而得
则的前k项和为
20．（Ⅰ）取中点为E，
由条件则为梯形的中位线，则
又，则
且，根据线面垂直的判定定理可得面
得．
又由，则，，为梯形的两腰，则与相交
即可得面，
又面，进而得
（Ⅱ）取的中点为Q，由，，
则，，
因此为等边三角形，
由（Ⅰ）知面，
如图，分别以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系
由，，则，
，，，，
又由
得，，，
设平面的一个法向量为
由
取，得，，得
同理可得平面的一个法向量为
记平面与平面所成的角的大小为，
则
21．（Ⅰ）由条件，每次抢题答题，甲得1分的概率为
每次抢答题乙得1分的概率为
若第二题答完比赛结束，则前两次答题甲得2分或者乙得2分，因此第二题答完比赛结束事件发生的概率
（Ⅱ）根据题意，竞赛结束时抢答题目的总数X的所有可能取值为
记
由（Ⅰ）知，当时，，且
则X的分布列可表示为：
解得
22．（Ⅰ）根据条件则，，
当点D位于短轴顶点时，面积的最大，且，
也即，
解得，或，
又，因此，，，
（Ⅱ）存在定点使得为定值
由题意过点P的直线与椭圆E交于A点，与直线交于M点，与椭圆E交于B点，与直线交于N点，设，，，．
根据条件则，且①
由条件则直线的斜率不为0，因此设直线的方程为
由①则
②
联立，整理得，该方程有两个不同的实数根，，则，由韦达定理可得，
代入②中
整理得，又，化简得
因此，即直线过定点
记直线过定点为
过原点O作直线的垂线，垂直为H，则点H在以为直径的圆上，则的中点到H的距离等于为定值，因此存在定点即为的中点使得为定值．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
C
B
D
A
B
A
题号
9
10
11
12
答案
ABD
BCD
AB
BD
X
2
4
6
……
2n
……
P
……
……