专题14 二次函数解答题-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（湖北专用）

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（1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为 y＝2x+20 ，x的取值范围为 1≤x≤12 ；
（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？
（3）求当天销售利润低于10800元的天数．
【分析】（1）根据题意确定一次函数的解析式，实际问题中x的取值范围要使实际问题有意义；
（2）求出当天利润与天数的函数解析式，确定其最大值即可；
（3）根据（2）中的函数解析式列出不等式即可解答．
【解答】解：（1）根据题意，得y与x的解析式为：y＝22+2（x﹣1）＝2x+20（1≤x≤12），
故答案为：y＝2x+20，1≤x≤12；
（2）设当天的销售利润为w元，
则当1≤x≤6时，
w＝（1200﹣800）（2x+20）＝800x+8000，
∵800＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝6时，w最大值＝800×6+8000＝12800．
当6＜x≤12时，
设m＝kx+b，将（6，800）和（10，1000）代入得：
，
解得：，
∴m与x的关系式为：m＝50x+500，
∴w＝[1200﹣（50x+500）]×（2x+20）
＝﹣100x2+400x+14000
＝﹣100（x﹣2）2+14400．
∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数，
∴当x＝7时，w有最大值，为11900元，
∵12800＞11900，
∴当x＝6时，w最大，且w最大值＝12800元，
答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元．
（3）由（2）可得，
1≤x≤6时，800x+8000＜10800，
解得：x＜3.5
则第1﹣3天当天利润低于10800元，
当6＜x≤12时，﹣100（x﹣2）2+14400＜10800，
解得x＜﹣4（舍去），或x＞8，
∴第9﹣12天当天利润低于10800元，
故当天销售利润低于10800元的天数有7天．
【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键在于理解题意、利用待定系数法确定函数的解析式并分类讨论．
2．（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；
（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
【分析】（1）利用待定系数法，对称轴公式构建方程组求出a，b即可，再求出点A点C的坐标即可得出结论．
（2）如图1中，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥AB于F．利用全等三角形的性质求出点F的坐标，再利用待定系数法求解即可．
（3）分6种情形首先确定点P的坐标，再利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1，
令y＝0，可得x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，得到y＝1，
∴C（0，1），
∴OA＝OC＝1，
∴∠CAO＝45°．
（2）如图1中，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥AB于F．
∵∠NEM＝∠DFM＝∠NMD＝90°，
∴∠NME+∠DMF＝90°，∠DMF+∠MDF＝90°，
∴∠NME＝∠MDF，
∵NM＝DM，
∴△MEN≌△DFM（AAS），
∴NE＝MF，EM＝DF，
∵∠CAO＝45°，AN＝t，AM＝3t，
∴AE＝EN＝t，
∴EM＝AM﹣AE＝2t，
∴DF＝2t，MF＝t，OF＝4t﹣1，
∴D（4t﹣1，2t），
∴﹣（4t﹣1）2+（4t﹣1）+1＝2t，
∵t＞0，故可以解得t＝，
经检验，t＝时，M，N均没有达到终点，符合题意，
∴D（2，）．
（3）如图3﹣1中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠MDB时，
取E（，0），连接EC，过点E作EG⊥EC交PC于G，
∵M（，0），D（2，），B（4，0）
∴FM＝2﹣＝，DM＝，BM＝，BD＝，
∴DF＝2MF，
∵OC＝2OE，
∴tan∠OCE＝tan∠MDF＝，
∴∠OCE＝∠MDF，
∴∠OCP＝∠MDB，
∴∠ECG＝∠FDB，
∴tan∠ECG＝tan∠FDB＝，
∵EC＝，
∴EG＝，可得G（，），
∴直线CP的解析式为y＝﹣x+1，
由，解得或，
∴P（，），C（0，1），
∴PC＝，
当＝或＝时，△QCP与△MDB相似，可得CQ＝或，
∴Q（0，﹣）或（0，﹣）．
如图3﹣2中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DMB时，设PC交x轴于k．
∵tan∠OCK＝tan∠DMB＝2，
∴OK＝2OC＝2，
∴点K与F重合，
∴直线PC的解析式为y＝﹣x+1，
由，解得或，
∴P（5，﹣），
∴PC＝，
当＝或＝时，△QCP与△MDB相似，可得CQ＝或，
∴Q（0，﹣）或（0，﹣）．
当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DBM时，同法可得P（，﹣），Q（0，﹣）或（0，），
当点Q在点C上方，∠QCP＝∠DMB时，同法可得P（1，），Q（0，）或（0，），
当点Q在点C上方，∠QCP＝∠MDB时，同法可得P（，），Q（0，）或（0，），
当点Q在点C下方，点P在y轴的左侧时，∠QCP＝∠DBM时，同法可得P（﹣，﹣），Q（0，﹣）或（0，﹣）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
3．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．
（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C坐标；
（3）已知点M（2﹣，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN＝60°时，求抛物线的解析式．
【分析】（1）把A（﹣3.1）代入y＝﹣x2+kx﹣2k即可求解．
（2）根据题意作图，求出直线AB的解析式，再表示出E点坐标，代入直线AB的解析式可求解．
（3）先求出定点H，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI＝30°，再根据题意分情况即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣3.1）代入y＝﹣x2+kx﹣2k，
得﹣9﹣3k﹣2k＝1．
解得k＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；
（2）如图1，设C（t，﹣t2﹣2t+4），则E（t，﹣﹣t+2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（﹣3，1），（0，4）代入得到，
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+4，
∵E（t，﹣﹣t+2）在直线AB上，
∴﹣﹣t+2＝t+4，
解得t1＝t2＝﹣2，
∴C（﹣2，4）．
（3）由y＝﹣x2+kx﹣2k＝k（x﹣2）﹣x2，
当x﹣2＝0时，x＝2，y＝﹣4，
∴无论k取何值，抛物线都经过定点H（2，﹣4），
二次函数的顶点N（，﹣2k），
①如图2中，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，若＞2时，则k＞4，
∵M（2﹣，0），H（2，﹣4），
∴MI＝，HI＝4，
∴tan∠MHI＝＝，
∴∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴∠NHI＝30°，
即∠GNH＝30°，
由图可知，tan∠GNH＝＝＝，
解得k＝4+2或4（不合题意舍弃）．
②如图3中，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G．
若＜2，则k＜4，
同理可得，∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴NH⊥HI，
即﹣2k＝﹣4，
解得k＝4（不符合题意舍弃）．
③若＝2，则N，H重合，不符合题意舍弃，
综上所述，抛物线的解析式为y＝﹣x2+（4+2）x﹣（8+4）．
【点评】本题考查二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
4．（2020•随州）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200（6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为 m≥ ．
【分析】（1）根据表格数据可得前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系；
（2）当1≤x≤5且x为整数时，W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）＝5x2+x+；当6≤x≤30且x为整数时，W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）＝﹣x2+40x﹣100．再根据二次函数的性质即可求出第5天时利润最大为495元；
（3）根据题意可得，获得的正常利润之外的非法所得部分为：（2﹣0.5﹣0.5）×70+（3﹣1）×75+（4﹣1）×80+（5﹣1）×85+（6﹣1）×90＝1250（元），再根据罚款金额不低于2000元，即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）根据表格数据可知：
前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系为：
p＝x+1，1≤x≤5且x为整数；
q＝5x+65，1≤x≤5且x为整数；
（2）当1≤x≤5且x为整数时，
W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）
＝5x2+x+；
当6≤x≤30且x为整数时，
W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）
＝﹣x2+40x﹣100．
即有W＝，
当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，
故当x＝5时，W有最大值为：495元；
当6≤x≤30且x为整数时，
W＝﹣x2+40x﹣100＝﹣（x﹣20）2+300，
故当x＝20时，W有最大值为：300元；
由495＞300，可知：
第5天时利润最大为495元．
（3）根据题意可知：
获得的正常利润之外的非法所得部分为：
（2﹣1）×70+（3﹣1）×75+（4﹣1）×80+（5﹣1）×85+（6﹣1）×90＝1250（元），
∴1250m≥2000，
解得m≥．
则m的取值范围为m≥．
故答案为：m≥．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意找等量关系．
5．（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；
（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．
①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）如图1，设AB与y轴交于M，先证明OE是△ABC的中位线，得BC＝2OE，E（，﹣1），利用勾股定理计算OE的长，可得BC的长，根据勾股定理的逆定理计算AC2+BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，可得结论；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明OD与BC平行且相等，可得四边形OBCD是平行四边形；
（3）①作辅助线，构建平行线，利用平行线分线段成比例定理列比例式可得D的坐标，利用顶点E的坐标设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣）2﹣1，把点D的坐标代入可得结论；
②以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，存在两种情况，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，根据S△EPQ＝S△OAB，列方程可得x的值．
【解答】（1）证明：如图1，设AB与y轴交于M，
∵A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），
∴AB∥x轴，且AM＝2，OM＝1，AB＝5，
∴OA＝OC＝，
∵DE∥BC，O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AE＝AB，BC＝2OE，
∴E（，﹣1），
∴EM＝，
∴OE＝＝＝，
∴BC＝2OE＝，
在△ABC中，∵＝25，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∵AC为半圆O的直径，
∴BC是半圆O的切线；
（2）解：四边形OBCD是平行四边形，理由是：
如图1，由（1）得：BC＝OD＝OA＝，
∵OD∥BC，
∴四边形OBCD是平行四边形；
（3）解：①如图2，由（1）知：OD＝OA＝，E是AB的中点，且E（，﹣1），OE＝，
过D作DN⊥y轴于N，则DN∥EM，
∴△ODN∽△OEM，
∴，即，
∴ON＝2，DN＝1，
∴D（﹣1，2），
设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣）2﹣1，
把D（﹣1，2）代入得：2＝a（﹣1﹣）2﹣1，
解得：a＝，
∴此抛物线的解析式为：y＝（x﹣）2﹣1，即y＝；
②存在，
过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，
∵DG＝1+＝，EG＝2+1＝3，
∴DE＝＝＝，
tan∠DEG＝＝，
∵tan∠OAM＝，且∠DEG和∠OAM都是锐角，
∴∠DEG＝∠OAM，
如图3，当△EPD∽△AOB时，，即，
∴EP＝，
∵S△AOB＝＝，
∵S△EPQ＝S△OAB，
∴＝，
即，
解得：x＝或﹣；
如图4，当△OAB∽△DEP时，，即，
∴EP＝，
同理得：，
解得：x＝或﹣；
综上，存在符合条件的点Q，Q点的横坐标为或﹣或或﹣．
【点评】本题考查二次函数综合题，平行四边形的判定和性质、锐角三角函数，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
6．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点B，C坐标，再代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（2）①先表示出点M，D，P坐标，再分三种情况利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论；
②先判断出△AOC∽△COB，得出∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，
Ⅰ、当△PNC∽△AOC，得出∠PCN＝∠ACO，进而得出CP∥OB，即可得出结论；
Ⅱ、当△PNC∽△COA时，得出∠PCN＝∠CAO，进而得出PC＝PD，即可得出结论．
【解答】解：（1）针对于直线y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
令y＝0，则0＝x﹣2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）①∵PM⊥x轴，M（m，0），
∴P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），
∵P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，
∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，（0+m2﹣m﹣2）＝m﹣2，
∴m＝1或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
Ⅱ、当点P是DM的中点时，（0+m﹣2）＝m2﹣m﹣2，
∴m＝﹣或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
Ⅲ、当点M是DP的中点时，（m2﹣m﹣2+m﹣2）＝0，
∴m＝﹣2或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
即满足条件的m的值为﹣或1或﹣2；
②存在，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，
令y＝0，则0＝x2﹣x﹣2，
∴x＝﹣1或x＝4，
∴点A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴OB＝4，OC＝2，
∴，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，
∵△PNC与△AOC相似，
∴Ⅰ、当△PNC∽△AOC，
∴∠PCN＝∠ACO，
∴∠PCN＝∠OBC，
∴CP∥OB，
∴点P的纵坐标为﹣2，
∴m2﹣m﹣2＝﹣2，
∴m＝0（舍）或m＝3，
∴P（3，﹣2）；
Ⅱ、当△PNC∽△COA时，
∴∠PCN＝∠CAO，
∴∠OCB＝∠PCD，
∵PD∥OC，
∴∠OCB＝∠CDP，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴PC＝PD，
由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），
∵C（0，﹣2），
∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝，
∴2m﹣m2＝，
∴m＝或m＝0（舍），
∴P（，﹣）．
即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
7．（2020•黄冈）网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）．
（1）请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当w≥40000元时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
【分析】（1）分两种情况讨论，由日获利＝（销售单价﹣成本）×日销售量，可求解；
（2）分两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出6≤x≤10和10＜x≤30时的最大利润，即可求解；
（3）由w≥40000元，可得w与x的关系式为w＝﹣100x2+5600x﹣32000，可求当20≤x≤36时，w≥40000，可得日获利w1＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣5000a，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，
∴x≤10，
∴当6≤x≤10时，w＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，
当10＜x≤30时，w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，
综上所述：w＝；
（2）当6≤x≤10时，w＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣）2+48625，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝，
∴当6≤x≤10时，w随x的增大而增大，即当x＝10时，w最大值＝18000元，
当10＜x≤30时，w＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，
∴当x＝28时，w有最大值为46400元，
∵46400＞18000，
∴当销售单价定为28元/kg时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元；
（3）∵40000＞18000，
∴10＜x≤30，
∴w＝﹣100x2+5600x﹣32000，
当w＝40000元时，40000＝﹣100x2+5600x﹣32000，
∴x1＝20，x2＝36，
∴当20≤x≤36时，w≥40000，
又∵10＜x≤30，
∴20≤x≤30，
此时：日获利w1＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣5000a，
∴对称轴为直线x＝﹣＝28+a，
∵a＜4，
∴28+a＜30，
∴当x＝28+a时，日获利的最大值为42100元，
∴（28+a﹣6﹣a）[﹣100×（28+a）+5000]﹣2000＝42100，
∴a1＝2，a2＝86，
∵a＜4，
∴a＝2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
8．（2020•恩施州）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y＝﹣x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．
（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC＝（如图2）．
①求证：EA＝ED．
②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．
【分析】（1）根据点C在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；
（2）根据抛物线的解析式求出点B及已知点C的坐标，证明△ABC是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF与x轴的夹角为45°，因此设直线EF的解析式为y＝x+b，设点M的坐标为（m，0），推出点F（m，6﹣m），直线EF与抛物线只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m的方程，解方程得点M的坐标．注意有两种情况，均需讨论．
（3）①过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，设点M的坐标为（m，0），由及旋转的性质，证明△EHM≌△MGP，得到点E的坐标为（m﹣1，5﹣m），再根据两点距离公式证明EA＝ED，注意分两种情况，均需讨论；②把E（m﹣1，5﹣m）代入抛物线解析式，解出m的值，进而求出CM的长．
【解答】解：（1）∵点C（6，0）在抛物线上，
∴，
得到6b+c＝9，
又∵对称轴为x＝2，
∴，
解得b＝1，
∴c＝3，
∴二次函数的解析式为；
（2）当点M在点C的左侧时，如图2﹣1中：
∵抛物线的解析式为，对称轴为x＝2，C（6，0）
∴点A（2，0），顶点B（2，4），
∴AB＝AC＝4，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠1＝45°；
∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF，
∴FM＝CM，∠2＝∠1＝45°，
设点M的坐标为（m，0），
∴点F（m，6﹣m），
又∵∠2＝45°，
∴直线EF与x轴的夹角为45°，
∴设直线EF的解析式为y＝x+d，
把点F（m，6﹣m）代入得：6﹣m＝m+b，解得：d＝6﹣2m，
直线EF的解析式为y＝x+6﹣2m，
∵直线EF与抛物线只有一个交点，
∴，
整理得：，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，解得m＝，
点M的坐标为（，0）．
当点M在点C的右侧时，如下图：
由图可知，直线EF与x轴的夹角仍是45°，因此直线EF与抛物线不可能只有一个交点．
综上，点M的坐标为（，0）．
（3）①当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵，由（2）知∠BCA＝45°，
∴PG＝GC＝1，
∴点G（5，0），
设点M的坐标为（m，0），
∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF，
∴EM＝PM，
∵∠HEM+∠EMH＝∠GMP+∠EMH＝90°，
∴∠HEM＝∠GMP，
在△EHM和△MGP中，，
∴△EHM≌△MGP（AAS），
∴EH＝MG＝5﹣m，HM＝PG＝1，
∴点H（m﹣1，0），
∴点E的坐标为（m﹣1，5﹣m）；
∴EA＝＝，
又∵D为线段BC的中点，B（2，4），C（6，0），
∴点D（4，2），
∴ED＝＝，
∴EA＝ED．
当点M在点C的右侧时，如下图：
同理，点E的坐标仍为（m﹣1，5﹣m），因此EA＝ED．
②当点E在（1）所求的抛物线上时，
把E（m﹣1，5﹣m）代入，整理得：m2﹣10m+13＝0，
解得：m＝或m＝，
∴CM＝或CM＝．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，旋转的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
9．（2020•黄冈）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（4）已知点H（0，），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）因为抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），利用待定系数法解决问题即可．
（2）求出点E的坐标即可解决问题．
（3）分点P在x轴的上方或下方，点P的纵坐标为1或﹣1，利用待定系数法求解即可．
（4）如图3中，连接BH交对称轴于F，连接AF，此时AF+FH的值最小．求出直线HB的解析式，可得点F的坐标，设K（x，y），作直线y＝，过点K作KM⊥直线y＝于M．证明KF＝KM，利用垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：（1）因为抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入，可得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
（2）如图1中，连接AC，BC．
∵S△ACE：S△CEB＝3：5，
∴AE：EB＝3：5，
∵AB＝4，
∴AE＝4×＝，
∴OE＝0.5，
设直线CE的解析式为y＝kx+b′，则有，
解得，
∴直线EC的解析式为y＝﹣6x+3．
（3）由题意C（0，3），D（1，4）．
观察图象可知CD只能说平行四边形的边，不可能是对角线，
当四边形P1Q1CD，四边形P2Q2CD是平行四边形时，点P的纵坐标为1，
当y＝1时，﹣x2+2x+3＝1，
解得x＝1±，
∴P1（1+，1），P2（1﹣，1），
当四边形P3Q3DC，四边形P4Q4DC是平行四边形时，点P的纵坐标为﹣1，
当y＝﹣1时，﹣x2+2x+3＝﹣1，
解得x＝1±，
∴P1（1+，﹣1），P2（1﹣，﹣1），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1﹣，﹣1）或（1+，﹣1）．
（4）如图3中，连接BH交对称轴于F，连接AF，此时AF+FH的值最小．
∵H（0，），B（3，0），
∴直线BH的解析式为y＝﹣x+，
∵x＝1时，y＝，
∴F（1，），
设K（x，y），作直线y＝，过点K作KM⊥直线y＝于M．
∵KF＝，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴（x﹣1）2＝4﹣y，
∴KF＝＝＝|y﹣|，
∵KM＝|y﹣|，
∴KF＝KM，
∴KG+KF＝KG+KM，
根据垂线段最短可知，当G，K，M共线，且垂直直线y＝时，GK+KM的值最小，最小值为，
此时K（2，3）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，第四个问题的关键是学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，属于中考压轴题．
10．（2020•十堰）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；
（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；
（2）先求出BC的解析式y＝﹣x+3，再设直线EF的解析式为y＝x+b，设点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），联立方程求出点F，G的坐标，根据BG2＝CF2列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）过点A作AN⊥HB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到∠H＝45°，设点P（n，﹣n2+2n+3），过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS＝PR，证明△OPS∽△OBP，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求解后即可得到点P的坐标．
【解答】（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2﹣2ax+c中，，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
当时，y＝4，
∴D（1，4）；
（2）如图1，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，
∴x＝﹣1，或x＝3，
∴B（3，0）．
设BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点C（0，3），B（3，0）代入，得，
解得，
∴y＝﹣x+3．
∵EF⊥CB．
设直线EF的解析式为y＝x+b，设点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
将点E坐标代入y＝x+b中，得b＝﹣m2+m+3，
∴y＝x﹣m2+m+3，联立得．
∴．
∴．
把x＝m代入y＝﹣x+3，得y＝﹣m+3，
∴G（m，﹣m+3）．
∵BG＝CF．
∴BG2＝CF2，即．
解得m＝2或m＝﹣3．
∵点E是BC上方抛物线上的点，
∴m＝﹣3，（舍去）．
∴点E（2，3），F（1，2），G（2，1），，，
∴；
（3）如图2，过点A作AN⊥HB于N，
∵点D（1，4），B（3，0），
∴yDB＝﹣2x+6．
∵点A（﹣1，0），点C（0，3），
∴yAC＝3x+3，联立得，
∴，
∴．
设，把（﹣1，0）代入，得b＝，
∴，联立得，
∴，
∴，
∴＝，，
∴AN＝HN．
∴∠H＝45°．
设点P（n，﹣n2+2n+3）．
过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS＝PR，
∴∠RSP＝45°且点S的坐标为（﹣n2+3n+3，0）．
若∠OPB＝∠AHB＝45°
在△OPS和△OPB中，∠POS＝∠POB，∠OSP＝∠OPB，
∴△OPS∽△OBP．
∴．
∴OP2＝OB•OS．
∴n2+（n+1）2（n﹣3）2＝3•（﹣n2+3n+3）．
∴n＝0或或n＝3（舍去）．
∴P1（0，3），，．
【点评】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解．
11．（2020•仙桃）把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；
（2）根据二次函数的最小值即可判断；
（3）根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．
（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：
∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴函数的最小值为﹣3，
∵﹣6＜﹣3，
∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；
（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，
∴y1＞y2．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；也考查函数图象的平移的规律．
12．（2020•荆门）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为p＝，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到销售额与x之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．
【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，
解得，
即当0＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80，
当20＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，
，
解得，
即当20＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝4x﹣40，
由上可得，y与x的函数关系式为y＝；
（2）设当月第x天的销售额为w元，
当0＜x≤20时，w＝（x+4）×（﹣2x+80）＝（x﹣15）2+500，
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，
当20＜x≤30时，w＝（x+12）×（4x﹣40）＝（x﹣35）2+500，
∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝480，
由上可得，当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，
答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
13．（2020•荆门）如图，抛物线L：y＝x2﹣x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线L：y＝x2﹣x﹣3向右平移得到抛物线L'，直线AB与抛物线L'交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L'的解析式．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式，通过配方法可求顶点坐标；
（2）设点P（x，x2﹣x﹣3）（＜x＜4），则点D（x，x﹣3），由两点距离公式可求PD，BD的长，可得PD+BD＝﹣x2+2x+x＝﹣（x﹣）2+，由二次函数的性质可求解；
（3）设平移后的抛物线L'解析式为y＝（x﹣m）2﹣，联立方程组可得x2﹣2（m+）x+m2﹣＝0，设点M（x1，y1），点N（x2，y2），可得x1+x2＝2（m+），由中点坐标公式可得x1+x2＝8，可求m的值，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2﹣x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣3），
设直线AB解析式为：y＝kx﹣3，
∴0＝4k﹣3，
∴k＝，
∴直线AB解析式为：y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线顶点坐标为（，﹣）；
（2）∵点A（4，0），点B（0，﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝＝5，
设点P（x，x2﹣x﹣3）（＜x＜4），则点D（x，x﹣3），
∴BD＝＝x，
PD＝（x﹣3）﹣（x2﹣x﹣3）＝﹣x2+2x，
∴PD+BD＝﹣x2+2x+x＝﹣（x﹣）2+，
∵＜x＜4，﹣＜0，
∴当x＝时，PD+BD有最大值为，
此时，点P（，﹣）；
（3）设平移后的抛物线L'解析式为y＝（x﹣m）2﹣，
联立方程组可得：，
∴x2﹣2（m+）x+m2﹣＝0，
设点M（x1，y1），点N（x2，y2），
∵直线AB与抛物线L'交于M，N两点，
∴x1，x2是方程x2﹣2（m+）x+m2﹣＝0的两根，
∴x1+x2＝2（m+），
∵点A是MN的中点，
∴x1+x2＝8，
∴2（m+）＝8，
∴m＝，
∴平移后的抛物线L'解析式为y＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x+．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平移的性质，根与系数关系，中点坐标公式等知识，利用参数m列出方程组是本题的关键．
14．（2020•武汉）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求a，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出a，b的值；
（2）先根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案；
（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，从而可得关于n的不等式组，解得n的范围，然后根据运费信息可得P关于n的一次函数，最后根据一次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：．
∴a＝1，b＝30；
（2）由（1）得：y＝x2+30x，
设A，B两城生产这批产品的总成本为w，
则w＝x2+30x+70（100﹣x）
＝x2﹣40x+7000，
＝（x﹣20）2+6600，
∵a＝1＞0，
由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．
答：A城生产20件，B城生产80件；
（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，
则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，
由题意得：，
解得10≤n≤20，
∴P＝mn+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n），
整理得：P＝（m﹣2）n+130，
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当0＜m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，
则n＝20时，P取最小值，最小值为20（m﹣2）+130＝20m+90；
②当m＞2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，
则n＝10时，P取最小值，最小值为10（m﹣2）+130＝10m+110．
答：0＜m≤2时，A，B两城总运费的和为（20m+90）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和为（10m+110）万元．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数及一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．
15．（2020•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO＝∠BAO时，求点P的坐标；
（3）点N（n，0）（0＜n＜）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC＝90°．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）如图1，作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′交抛物线于点P（P′），则∠PAO＝∠BAO，即可求解，另外当点P与B，C重合时也满足条件．
（3）①证明tan∠MNO＝tan∠NCH，即，即，即可求解；②m＝﹣n2+n，当n＝时，m的最大值为，即可求解．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①；
（2）如图1，作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′交抛物线于点P（P′），则∠PAO＝∠BAO，
设直线AB'的解析式为y＝kx+m，
∴，
∴，
直线AB′的表达式为：y＝x﹣2②，
联立①②并解得：x＝3或﹣2，
故点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3），
当点P与B，C重合时，也满足条件，此时P（0，2）或（，），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（，）．
（3）①过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠MNC＝90°，
∴∠MNO+∠CNH＝90°，
又∵∠CNH+∠NCH＝90°，
∴∠MNO＝∠NCH，
∴tan∠MNO＝tan∠NCH，即，即，
解得：m＝﹣n2+n；
②m＝﹣n2+n，
∵＜0，故m有最大值，当n＝时，m的最大值为，
而m＞0，
故0＜m＜时，符合条件的N点的个数有2个．
备注：设MC中点为K，当以K为圆心MC为半径的圆与x轴相切时，有K的纵坐标为（m+），
则MC2＝（m﹣）2+（）2，当MC＞（m+）时满足N有两个点，
解得：m＜．
又因为m＞0，
所以0＜m＜．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形等，综合性强，难度适中．
16．（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w＝（x﹣3）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；
（3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，
，
解得，，
∴y＝﹣500x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，3≤x≤12，
设利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，
∵3≤x≤12，且x为正整数
∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，
∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
又∵x为整数，
∴对称轴在x＝14.5的右侧时，当x≤15（x为整数）时，w都随x的增大而增大，
∴14.5＜13.5+0.5m，解得m＞2，
∵1≤m≤6，
∴2＜m≤6．
【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．容易出错的地方是第（3）问，当x为不大于15的整数时，w随x的增大而增大，则14.5＜13.5+0.5m；若x不为整数时，w随x的增大而增大，则15≤13.5+0.5m．往往容易把本题错解为第二种情况．
17．（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：
A （﹣3，0） ，B （﹣1，0） ，C （0，18） ，D （﹣2，﹣6） ；
（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED＝，求a的值和CE的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．
①用含t的代数式表示f；
②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．
【分析】（1）当a＝6时，抛物线的表达式为：y＝6x2+24x+18，即可求解；
（2）由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝2ax+4a﹣6，进而求出点E（﹣2，0），利用tan∠AED＝＝，即可求解；
（3）①证明△FJH∽△ECO，故，则FH＝，即可求解；
②f＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0），即可求解．
【解答】解：（1）当a＝6时，抛物线的表达式为：y＝6x2+24x+18，
令y＝0，则x＝﹣1或﹣3；当x＝0时，y＝18，函数的对称轴为x＝﹣2，
故点A、B、C、D的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；
故答案为：（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；
（2）y＝ax2+4ax+4a﹣6，令x＝0，则y＝4a﹣6，则点C（0，4a﹣6），
函数的对称轴为x＝﹣2，故点D的坐标为（﹣2，﹣6），
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝2ax+4a﹣6，
令y＝0，则x＝﹣2，故点E（﹣2，0），则OE＝﹣2，
tan∠AED＝＝＝，解得：a＝，
故点C、E的坐标分别为（0，﹣）、（，0），
则CE＝＝；
（3）①如图，作PF与ED的延长线交于点J，
由（2）知，抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣，
故点A、C的坐标分别为（﹣5，0）、（0，﹣），则点N（0，﹣），
由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y＝﹣x﹣；
设点P（t，t2+t﹣），则点F（t，﹣t﹣）；
则PF＝﹣t2﹣3t+，
由点E（，0）、C的坐标得，直线CE的表达式为：y＝x﹣，
则点J（t，t﹣），故FJ＝﹣t+，
∵FH⊥DE，JF∥y轴，
故∠FHJ＝∠EOC＝90°，∠FJH＝∠ECO，
∴△FJH∽△ECO，故，
则FH＝，
f＝PF+FH＝﹣t2﹣3t++（﹣t+1）＝﹣t2﹣4t+；
②f＝﹣t2﹣4t+＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0）；
∴当﹣5＜m＜﹣3时，fmax＝﹣m2﹣4m+；
当﹣3≤m＜0时，fmax＝．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似的判定与性质等，综合性较强，难度较大．
18．（2020•武汉）将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；
（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；
（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y＝﹣x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．
【分析】（1）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，再证明△ABD≌△OAC，由全等三角形的性质得a的方程求得a便可得A的坐标；
（3）由两直线解析式分别与抛物线的解析式联立方程组，求出M、N点的坐标，进而求得MN的解析式，再根据解析式的特征得出MN经过一个定点．
【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，
∴C1：y＝（x﹣2）2﹣6，
∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．
∴C2：y＝（x﹣2+2）2﹣6，即y＝x2﹣6；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，
设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，
∵∠BAO＝∠ACO＝90°，
∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，
∴∠BAD＝∠AOC，
∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，
∴△ABD≌△OAC（AAS），
∴BD＝AC，
∴a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|，
解得，a＝4，或a＝﹣1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，
∴A（4，﹣2）或（5，3）；
（3）把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，
∴xE+xF＝k，
∴M（），
把y＝﹣x代入y＝x2﹣6中得，x2+x﹣6＝0，
∴，
∴N（，），
设MN的解析式为y＝mx+n（m≠0），则
，解得，，
∴直线MN的解析式为：，
当x＝0时，y＝2，
∴直线MN：经过定点（0，2），
即直线MN经过一个定点．
【点评】本题是一个二次函数综合题，主要考查了平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法，求函数图象的交点问题，第（2）小题关键是证明三角形全等，第（3）题关键是求出M、N点的坐标及直线MN的解析式．
19．（2020•襄阳）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
【分析】（1）令x＝0，由y＝﹣x+2，得A点坐标，令y＝0，由y＝﹣x+2，得C点坐标，将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令y＝0，便可求得B点坐标；
（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，设M（a，），则N（a，），由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；
（3）根据旋转性质，求得O′点和A′点的坐标，令O′点和A′点在抛物线上时，求出m的最大和最小值便可．
【解答】解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，
∴A（0，2），
令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得，x＝4，
∴C（4，0），
把A、C两点代入y＝﹣x2+bx+c得，
，解得，
∴抛物线的解析式为，
令y＝0，得＝0，
解得，x＝4，或x＝﹣2，
∴B（﹣2，0）；
（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，
设M（a，），则N（a，），
∴＝，
∵，
∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，
此时M的坐标为（2，2）；
方法二：连接OM，如图2，
设M（a，），
S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△OCM
＝
＝，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，
此时M的坐标为（2，2）；
（3）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图3
∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，
∴O′（m，m），A′（m+2，m），
当A′（m+2，m）在抛物线上时，有，
解得，m＝﹣3，
当点O′（m，m）在抛物线上时，有，
解得，m＝﹣4或2，
∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．
【点评】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）题关键在求函数的解析式，第（3）关键是确定O′，A′点的坐标与位置．
20．（2021•黄石）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；
（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）．
【分析】（1）由题意得：，即可求解；
（2）△DEF是等腰直角三角形，故DE＝DF且∠EDF＝90°，故设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m，故点F（3+m，m），则△DEF的面积＝EF•m＝2m•m＝m2，进而求解；
（3）设点Q的坐标为（p，q）（q≤6），由PQ2＝q2﹣（2t+1）q+t2+6，利用二次函数的性质分三种情形求解．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣3；
（2）∵△DEF是等腰直角三角形，
故DE＝DF且∠EDF＝90°，
故设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m，
故点F（3+m，m），
则△DEF的面积＝EF•m＝2m•m＝m2，
将点F的坐标代入抛物线表达式得：m＝﹣（m+3）2+6（m+3）﹣3，
解得m＝﹣3（舍去）或2，
则△DEF的面积＝m2＝4；
（3）∵y＝﹣x2+6x﹣3＝﹣（x﹣3）2+6，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣3的顶点为（3，6）．
设点Q的坐标为（p，q）（q≤6），
∵点Q在抛物线y＝﹣x2+6x﹣3上，
∴q＝﹣p2+6p﹣3
则PQ2＝（p﹣3）2+（q﹣t）2＝p2﹣6p+9+q2﹣2tq+t2，
将q＝﹣p2+6p﹣3代入上式得：
PQ2＝q2﹣（2t+1）q+t2+6．
∵二次项系数为1＞0，
∴PQ2有最小值，
当t＞时，＞6，
∴q＝6时，PQ2最小，即PQ最小．
≤36﹣12t﹣6+t2+6＝t2﹣12t+36＝（t﹣6）2，
∴PQ＝|t﹣6|＝．
当t≤时，≤6，
∴q＝时，PQ2最小，即PQ最小．
∴PQ2＝，
∴PQ的最小值为．
综上所述PQ的最小值＝．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，其中（3），利用函数思想求解PQ的最值，是本题解题的关键．
21．（2021•襄阳）如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．
（1）求出点A，B的坐标及c的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．
【分析】（1）先求出点A（0，1），点B（﹣2，0），将点A坐标代入解析式可求c的值；
（2）分a＞0，a＜0两种情况讨论，由二次函数的性质可求解；
（3）①分四种情况讨论，由“AAS”可证△AOM≌△PNA，可得OM＝AN，由三角形的面积公式可求解；
②分三种情况讨论，解不等式可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，
∴点A（0，1），点B（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A，
∴c＝1；
（2）∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴对称轴为直线x＝1，
当a＞0，3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y有最大值，
∴9a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝；
当a＜0，3≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y有最大值，
∴4a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝（不合题意舍去），
综上所述：a＝；
（3）①当a＜0时，则1﹣a＞1，
如图1，过点P作PN⊥y轴于N，
∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴点P坐标为（1，1﹣a），
∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣1＝﹣a，
∵AM⊥AP，PN⊥y轴，
∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，
∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，
∴∠PAN＝∠AMO，
∴△AOM≌△PNA（AAS），
∴OM＝AN＝﹣a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，1﹣a＞0时，即0＜a＜1，
如图2，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣（1﹣a）＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，﹣1＜1﹣a＜0时，即1＜a＜2，
如图3，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（a﹣1）＝﹣a2+a﹣1；
当a＝2时，点B与点M重合，不合题意，
当a＞0，1﹣a＜﹣1时，即a＞2，
如图4，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝a﹣2，
∴S＝×（a﹣2）（a﹣1）＝a2﹣a+1；
综上所述：S＝．
②当1＜a＜2时，S＝﹣a2+a﹣1＝﹣（a﹣）2+≤，
∴当1＜a＜2时，不存在a的值使S＞；
当a＜1且a≠0时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜或a＞（不合题意舍去）；
当a＞2时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜（不合题意舍去）或a＞，
综上所述：a＜且a≠0或a＞．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
22．（2021•仙桃）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：a＝20%（10﹣x），下表是某4个月的销售记录，每月销售量y（万件）与该月销售价x（元/件）之间成一次函数关系（6≤x＜9）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？
（纯收入＝销售总金额﹣成本+政府当月补贴）
【分析】（1）设出一次函数解析式，用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出x＝3时，销售量y的值，再求政府补贴；
（3）纯收入＝销售总金额﹣成本+政府当月补贴列出函数解析式，根据二次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）∵每月销售量y与该月销售价x之间成一次函数关系，
∴设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴y与x的函数关系式y＝﹣10x+90（6≤x＜9）；
（2）当x＝8时，y＝﹣10×8+90＝10（万件），
∵a与x之间满足关系式：a＝20%（10﹣x），
∴当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴为：10a＝10×20%（10﹣8）＝4（万元），
答：当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴4万元；
（3）设该月的纯收入w万元，
则w＝y[（x﹣6）+0.2（10﹣x）]＝（﹣10x+90）（0.8x﹣4）＝﹣8x2+112x﹣360＝﹣8（x﹣7）2+32，
∵﹣8＜0，6≤x＜9
∴当x＝7时，w最大，最大值为32万元，
答：当销售价定为7时，该月纯收入最大．
【点评】本题考查二次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是根据纯收入＝销售总金额﹣成本+政府当月补贴列出函数解析式．
23．（2021•鄂州）如图，直线y＝﹣x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段AB的中点，点Q是线段OA上一动点（不与点O、A重合）．
（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；
（2）连接PQ，在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，点O的对应点为点E．若∠OQE＝90°，求线段AQ的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0）的顶点为点C．
①若点C在△PQE内部（不包括边），求a的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点C，使|CQ﹣CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由中点坐标公式可求点P坐标；
（2）过点P作PF⊥OA于F，由折叠的性质可得∠OQP＝∠OQE＝45°，可得QF＝PF＝2，即可求解；
（3）①先求出顶点C的坐标为（a，a+1），可得点C是直线y＝x+1（x≠0）上一点，即可求解；
②作点E关于直线y＝x+1的对称点E'（4，6），连接QE'交直线y＝x+1于点C，此时|CQ﹣CE|最大，利用待定系数法求出QC的解析式，联立方程组可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴点A（0，6），点B（4，0），
∵点P是线段AB中点，
∴点P（2，3）；
（2）过点P作PF⊥OA于F，
∵将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，∠OQE＝90°，
∴∠OQP＝∠OQE＝45°，OQ＝QE，
∴QF＝PF，
∵点P（2，3），
∴QF＝PF＝2，OF＝3，
∴OQ＝5，
∵点A（0，6），
∴AO＝6，
∴AQ＝6﹣5＝1，
即AQ的长为1；
（3）①y＝a（x2﹣2ax+a2）+a+1＝a（x﹣a）2+a+1，
∴顶点C的坐标为（a，a+1），
∴点C是直线y＝x+1（x≠0）上一点，
∵∠OQE＝90°，OQ＝5，
∴当y＝5时，x＝4，
又∵点P（2，3）在直线y＝x+1上，
∴当点C在△PQE内部（不含边）时，a的取值范围是2＜a＜4；
②存在点C使|CQ﹣CE|最大，
理由如下：∵OQ＝QE＝5，∠OQE＝90°，
∴点E（5，5），
如图3，作点E关于直线y＝x+1的对称点E'（4，6），连接QE'交直线y＝x+1于点C，此时|CQ﹣CE|最大，
设直线QC的解析式为y＝kx+5，
∴6＝4k+5，
∴k＝，
∴直线QC的解析式为y＝x+5，
联立方程组可得，
解得：，
∴点C坐标为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法可求解析式，轴对称的性质等知识，求出点C所在直线解析式是解题的关键．
24．（2021•鄂州）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩）之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？
（每亩种植利润＝每亩销售额﹣每亩种植成本+每亩种植补贴）
【分析】（1）根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）根据题意写出利润关于种植面积的解析式，然后根据x≤240，根据二次函数的性质求出利润的最大值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b（k≠0），
依题意得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝4x+200；
（2）设老张明年种植该作物的总利润为W元，
依题意得：W＝[2160﹣（4x+200）+120]⋅x＝﹣4x2+2080x＝﹣4（x﹣260）2+270400，
∵﹣4＜0，
∴当x＜260时，W随x的增大而增大，
由题意知：x≤240，
∴当x＝240时，W最大，最大值为﹣4（240﹣260）2+270400＝268800（元），
答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．
【点评】本题考查二次函数在实际生活中的应用以及用待定系数法求一次函数的解析式，关键是根据题意列出二次函数的解析式．
25．（2021•荆门）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
【分析】（1）设y＝kx+b，把x＝40，y＝180和x＝70，y＝90，代入可得解析式．
（2）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝（﹣3x+300）（x﹣a），把x＝40，W＝3600，代入上式可得关系式W＝﹣3（x﹣60）2+4800，顶点的纵坐标是有最大值．
（3）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），其对称轴x＝60+＞60，0＜x≤55时，函数单调递增，只有x＝55时周销售利润最大，即可得m＝5．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，由题意有：
，
解得，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；
（2）由（1）W＝（﹣3x+300）（x﹣a），
又由表知，把x＝40，W＝3600，代入上式可得关系式
得：3600＝（﹣3×40+300）（40﹣a），
∴a＝20，
∴W＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣3x2+360x﹣6000＝﹣3（x﹣60）2+4800，
所以售价x＝60时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），
其对称轴x＝60+＞60，
∴0＜x≤55时，W的值随x增大而增大，
∴只有x＝55时周销售利润最大，
∴4050＝﹣3（55﹣100）（55﹣20﹣m），
∴m＝5．
【点评】本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式，
26．（2021•荆州）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： 函数图象关于y轴对称 ；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为： x＝﹣2或x＝0或x＝2 ；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 ﹣1＜a＜0 ．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据图象即可求得；
（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象，根据图象即可得到结论．
【解答】解：（1）观察探究：
①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．
故答案为函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜a＜0．
（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象，
当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4且x≠2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．
27．（2021•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点Q为线段BC上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求|QO|+|QA|的最小值；
（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．
【分析】（1）运用待定系数法设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入，即可求得答案；
（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，由O、O′关于直线BC对称，得出四边形BOCO′是正方形，根据|QA|+|QO′|≥|AO′|，|QO′|＝|QO|，得出答案；
（3）运用待定系数法求出直线BC的解析式，由PQ∥AC，则S△PAQ＝S△PCQ，可得S＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PBC，设P（m，m2﹣2m﹣3），则H（m，m﹣3），可得PH＝﹣m2+3m，再由S＝OB•PH＝﹣（m﹣）2+，再运用二次函数最值求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入，
得：﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵O、O′关于直线BC对称，
∴BC垂直平分OO′，
∴OO′垂直平分BC，
∴四边形BOCO′是正方形，
∴O′（3，﹣3），
在Rt△ABO′中，|AO′|＝＝＝5，
∵|QA|+|QO′|≥|AO′|，|QO′|＝|QO|，
∴|QO|+|QA|＝|QA|+|QO′|≥|AO′|＝5，即点Q位于直线AO′与直线BC交点时，|QO|+|QA|有最小值5；
（3）如图2，连接CP，过点P作PH∥y轴交BC于点H，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∵PQ∥AC，
∴S△PAQ＝S△PCQ，
∴S＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PBC，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则H（m，m﹣3），
∴PH＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S＝OB•PH＝×3（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
由题意，得0＜m＜3，
∴m＝时，S最大，
即P（，﹣）时，S有最大值．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，将军饮马的最值问题，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用数形结合思想是解题关键．
28．（2021•荆州）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t．
（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；
（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，△POA的面积为，当t＝时，求抛物线的解析式．
【分析】（1）证明△OAC≌△OBE（SAS），则∠OBE＝∠OAC＝45°，进而求解；
（2）∠EBH＝45°，则BH＝EH＝BE＝t，即可求解；
（3）由△POA的面积＝×AO×yP＝×1×yP＝＝，求出yP＝1＝c﹣，而抛物线过点A（1，0），故a+b+c＝0，进而求解．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，
则点A、B的坐标分别为（1，0）、（0，1），
则∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOC+∠BOE＝90°，
∴∠AOC＝∠BOE，
∵AO＝BO，OC＝OE，
∴△OAC≌△OBE（SAS），
∴∠OBE＝∠OAC＝45°，AC＝BE＝t，
∴∠EBA＝∠EBO+∠OBA＝∠OAC+∠OBA＝45°+45°＝90°，
∴BE⊥AB；
（2）①当点C在线段AB上时，如图1﹣1，
过点E作EH⊥OB于点H，
∵∠EBH＝45°，
∴BH＝EH＝BE＝t，
故点E的坐标为（﹣t，1﹣t）；
②当点C在线段BA的延长线上时，如图1﹣2，
同理可得，点E的坐标为（t，1+t）；
综上，点E的坐标为（﹣t，1﹣t）或（t，1+t）；
（3）①当点C线段AB上时，如题图1﹣1，
过点C作CN⊥OA于点N，
当t＝时，即AC＝t＝，
则CN＝AN＝t＝，
则ON＝OA﹣NA＝1﹣＝CN，
故tan∠AOC＝＝1＝k，
∵△POA的面积＝×AO×yP＝×1×yP＝＝，
解得yP＝1＝c﹣①，
∵抛物线过点A（1，0），故a+b+c＝0②，
而6a+3b+2c＝0③，
联立①②③并解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3；
②抛物线过点A，则a+b+c＝0，
而6a+3b+2c＝0，
联立上述两式并解得：，
故抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2﹣a（a＜0），
则点P的坐标为（2，﹣a），
则AC＝BE＝t＝，
则tan∠AOC＝k＝＝，
故a＝﹣3，
故y＝﹣3x2+12x﹣9．
综上，y＝﹣3x2+12x﹣9或y＝﹣x2+4x﹣3．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的性质、三角形全等、解直角三角形、面积的计算等，其中（1），确定△OAC≌△OBE是解题的关键．
29．（2021•随州）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y＝﹣x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
（1）直接写出b，c的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
【分析】（1）根据题意可推出点A坐标为（0，1），点B坐标为（6，2），将这两点坐标代入二次函数表达式即可求得b、c的值；
（2）将二次函数一般式化为顶点式，即可求得大棚的最高点；
（3）先求出大棚内可以搭建支架土地的宽，再求需要搭建支架部分的面积，进而求得需要准备的竹竿．
【解答】解：（1）b＝，c＝1．
（2）由y＝＝，
可知当x＝时，y有最大值，
故大棚最高处到地面的距离为米；
（3）令y＝，则有＝，
解得x1＝，x2＝，
又∵0≤x≤6，
∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为6﹣＝（米），
又大棚的长为16米，
∴需要搭建支架部分的土地面积为16×＝88（平方米），
故共需要88×4＝352（根）竹竿，
答：共需要准备352根竹竿．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，不仅要求对二次函数的相关性质很熟练，还要结合具体的实际意义解此类题目．
30．（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
（1）填空：m与x的函数关系为 m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数） ；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【分析】（1）根据题意建立一次函数模型，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意找到等量关系式：日销售利润＝（销售单价﹣单件成本）×销售量，列出方程，再分情况进行讨论总结即可；
（3）根据题意列出方程，根据二次函数的图象与性质进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m＝kx+b（k≠0），
将（1，142）和（3，138）代入m＝kx+b，有：，
解得k＝﹣2，b＝144，
故m与x的函数关系为：m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；
（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：
当1≤x≤20且x为整数时，W＝（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，
此时当x＝16时，取得最大日销售利润为1568元，
当20＜x≤40且x为整数时，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，
此时当x＝21时，取得最大日销售利润W＝﹣30×21+2160＝1530（元），
综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，根据题意可得：
P＝﹣0.5x2+16x+1440﹣n（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+（16+2n）x+1440﹣144n，其对称轴为直线x＝16+2n，
∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，且x只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，即对称轴要大于19.5
∴16+2n＞19.5，求得n＞1.75，
又∵n＜4，
∴n的取值范围是：1.75＜n＜4，
答：n的取值范围是1.75＜n＜4．
【点评】本题考查二次函数的应用，解此类型题目首先要根据题意找到等量关系式，列出方程，再结合实际和二次函数的图象与性质进行逐步的分析．
31．（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD＝MN，求N点的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法将点A（﹣1，0）和B（﹣5，0）代入y＝ax2+bx﹣5，解方程组即可得出答案；
（2）如图1，过点A作AF⊥AC交直线CM于点F，过点F作FE⊥x轴于点E，通过△AEF∽△CAO，得出F（﹣7，﹣2），运用待定系数法求出直线CF解析式为y＝﹣x﹣5，再结合抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5，即可求得答案；
（3）设N（﹣3，n），利用待定系数法求出直线AN解析式为y＝nxn，再结合抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5，求得M（n﹣5，﹣n2+2n），根据MD＝MN，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）在y＝﹣x2﹣6x﹣5中，令x＝0，则y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
∴OC＝5，
如图1，过点A作AF⊥AC交直线CM于点F，过点F作FE⊥x轴于点E，
∴∠AEF＝∠CAF＝∠AOC＝90°，
∴∠EAF+∠CAO＝∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠EAF＝∠ACO，
∴△AEF∽△COA，
∴＝＝＝tan∠ACM＝2，
∴EF＝2OA＝2，AE＝2OC＝10，
∴OE＝OA+AE＝1+10＝11，
∴F（﹣11，﹣2），
设直线CF解析式为y＝kx+c，
∵C（0，﹣5），F（﹣11，﹣2），
∴，
解得：，
∴直线CF解析式为y＝﹣x﹣5，
结合抛物线：y＝﹣x2﹣6x﹣5，得：﹣x2﹣6x﹣5＝﹣x﹣5，
解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，
∴点M的横坐标为﹣；
（3）∵y＝﹣x2﹣6x﹣5＝﹣（x+3）2+4，
∴顶点P（﹣3，4），
设N（﹣3，n），直线AN解析式为y＝k1x+c1，
∵A（﹣1，0），N（﹣3，n），
∴，
解得：，
∴直线AN解析式为y＝nxn，
结合抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5，得：﹣x2﹣6x﹣5＝nxn，
解得：x1＝﹣1（舍），x2＝n﹣5，
当x＝n﹣5时，y＝n×（n﹣5）n＝﹣n2+2n，
∴M（n﹣5，﹣n2+2n），
∵PD∥x轴，MD⊥PD，
∴D（n﹣5，4），
∴MD＝4﹣（﹣n2+2n）＝n2﹣2n+4，
如图2，过点M作MG⊥PN于点G，
则MG＝﹣3﹣（n﹣5）＝2﹣n，NG＝n﹣（﹣n2+2n）＝n2﹣n，
∵∠MGN＝90°，
∴MN2＝MG2+NG2＝（2﹣n）2+（n2﹣n）2＝（n2+4）（n﹣4）2，
∵MD＝MN，
∴MD2＝3MN2，
∴（n2﹣2n+4）2＝3×（n2+4）（n﹣4）2，
∴（n﹣4）4＝（n2+4）（n﹣4）2，
∵点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，
∴n＜0，
∴n﹣4＜0，
∴（n﹣4）2＞0，
∴（n﹣4）2＝3（n2+4），
解得：n1＝﹣2（舍），n2＝﹣﹣2，
∴N（﹣3，﹣﹣2）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，根据抛物线解析式求顶点坐标，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等，熟练掌握待定系数法、相似三角形的判定和性质等相关知识，运用数形结合思想及方程思想，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
32．（2021•随州）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；
（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．
【分析】（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，求出a即可得出答案；
（2）利用待定系数法求出直线BD解析式为y＝2x﹣6，分两种情况：①当点P在直线BC的上方时，如图1，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，再运用待定系数法求出直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，联立方程组即可求出P1（4，5），②当点P在直线BC的下方时，方法一：如图1，过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，证明△OCE≌△GCF（ASA），运用待定系数法求出直线CF解析式为y＝x﹣3，即可求出P2（，﹣）；方法二：如图1′，连接CD，取BD的中点F，连接CF并延长交抛物线于点P，过点D作DT⊥y轴于点T，先证明∠BCD＝90°，再运用直角三角形斜边上中线等于斜边一半，可得∠PCB＝∠CBD，求出点F的坐标，再得出直线CF的解析式，联立解方程即可求得点P的坐标．
（3）利用待定系数法求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BC解析式为y＝x﹣3，再分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．
【解答】解：（1）∵顶点D的坐标为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，
得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），
∴B（3，0），
设直线BD解析式为y＝kx+e，
∵B（3，0），D（1，﹣4），
∴，
解得：，
∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，
①当点P在直线BC的上方时，如图1，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，
设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，
得﹣3＝2×0+d，
解得：d＝﹣3，
∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，
结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，
解得：x1＝0（舍），x2＝4，
故P1（4，5）；
②当点P在直线BC的下方时，
方法一：如图1，过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，
∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，
∴四边形OBGC是正方形，
设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，
解得：x＝，
∴E（，0），
在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，
∵四边形OBGC是正方形，
∴OC＝CG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，
∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，
即∠OCE＝∠GCF，
∴△OCE≌△GCF（ASA），
∴FG＝OE＝，
∴BF＝BG﹣FG＝3﹣＝，
∴F（3，﹣），
设直线CF解析式为y＝k1x+e1，
∵C（0，﹣3），F（3，﹣），
∴，
解得：，
∴直线CF解析式为y＝x﹣3，
结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝x﹣3，
解得：x1＝0（舍），x2＝，
∴P2（，﹣），
方法二：如图1′，连接CD，取BD的中点F，连接CF并延长交抛物线于点P，过点D作DT⊥y轴于点T，
∵B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），
∴OB＝OC＝3，CT＝DT＝1，
∵∠BOC＝∠CTD＝90°，
∴△BOC和△CDT均为等腰直角三角形，
∴∠BCO＝∠DCT＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BF＝DF，
∴∠PCB＝∠CBD，
∵F（，），即F（2，﹣2），
设直线CF的解析式为y＝k2x+e2，则，
解得：，
∴直线CF的解析式为y＝x﹣3，
由x2﹣2x﹣3＝x﹣3，解得：x＝0（舍去）或x＝，
∴P（，﹣）；
综上所述，符合条件的P点坐标为：P1（4，5），P2（，﹣）；
（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，
设M（t，t﹣3），则N（t，t2﹣2t﹣3），
∴MN＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，
①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，
∵MQ∥x轴，
∴Q（﹣t，t﹣3），
∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣t）|，
∴t2﹣3t＝±t，
解得：t＝0（舍）或t＝或t＝，
∴M1（，﹣），Q1（﹣，﹣）；M2（，），Q2（﹣，）；
②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，
∵NQ∥x轴，
∴Q（，t2﹣2t﹣3），
∴NQ＝|t﹣|＝|t2+t|，
∴|t2﹣3t|＝|t2+t|，
解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，
∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；
③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，
此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，
过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，
∴H（t，），
∴Q（，），
∴QH＝|t﹣|＝|t2+5t|，
∵MQ＝NQ，
∴MN＝2QH，
∴|t2﹣3t|＝2×|t2+5t|，
解得：t＝7或1，
∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；
综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：
M1（，），Q1（﹣，）；M2（，﹣），Q2（﹣，﹣）；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，求一次函数与二次函数图象交点坐标，全等三角形判定和性质，正方形判定和性质，等腰直角三角形性质等，本题属于中考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形性质等相关知识，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．
33．（2021•宜昌）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为（h1，k1）．抛物线y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）．
（1）写出A点坐标；
（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）
（3）当﹣4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；
（4）经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n），y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．
【分析】（1）令y1＝0，得到x值即为A、B的横坐标，
（2）由顶点坐标公式可得顶点的纵坐标．
（3）讨论k1﹣k2＝n2﹣5与0比较大小得n的取值范围，即在不同的取值范围内得k1、k2大小．
（4）两点确定一条直线的解析式，直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+9．①当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时，联立抛物线y1与y2得解析式（5n﹣4）x＝﹣5n2﹣2n+9①，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y2得解析式x2+（4n﹣1）x＝0，解得n＝，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，即（5n﹣4）（1﹣4n）＝﹣5n2﹣2n+9，该方程判别式Δ＜0，②当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时，当直线MN与抛物线y1只有一个公共点时，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y＝﹣x2+（n﹣4）x+4n可得，﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，解得∴n＝，由①而知直线MN与抛物线y2公共点的横坐标为x1＝0，x2＝1﹣4n，x1≠x2，所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y1得：﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，△＝21n2+2n﹣27，当n＝时，Δ＜0，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点只有一个，n≠．
【解答】解：（1）∵y1＝﹣（x+4）（x﹣n），
令y1＝0，﹣（x+4）（x﹣n）＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝n，
∴A（﹣4，0）；
（2）y1＝﹣（x+4）（x﹣n）＝﹣x2+（n﹣4）x+4n，
∴k1＝n2+2n+4，
∵y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9，
∴k2＝﹣n2+2n+9，
（3）k1﹣k2＝n2﹣5，
①当n2﹣5＞0时，可得n＞2或n＜﹣2，
即当﹣4≤n＜﹣2或2＜n≤4时，k1＞k2；
②当n2﹣5＜0时，可得﹣2＜n＜2，
即当﹣2＜n＜2时，k1＜k2；
③当n2﹣5＝0，可得n＝2或n＝﹣2，
即当n＝2或n＝﹣2时，k1＝k2；
（4）设直线MN的解析式为：y＝kx+b，
则，
由①﹣②得，k＝﹣1，
∴b＝﹣5n2+2n+9，
直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+9．
①如图：
当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时，
联立抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n与y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：
（5n﹣4）x＝﹣5n2﹣2n+9①，
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：
x2+（4n﹣1）x＝0，
则x1＝0，x2＝1﹣4n②，
当x1＝0时，把x1＝0代入y1得：y＝4n，
把x1＝0，y＝4n代入直线的解析式得：
4n＝﹣5n2+2n+9，
∴5n2+2n﹣9＝0，
∴n＝，
此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，
当x2＝1﹣4n时，把x2＝1﹣4n代入①得：
（5n﹣4）（1﹣4n）＝﹣5n2﹣2n+9，
该方程判别式Δ＜0，
所以该方程没有实数根；
②如图：
当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时，
当直线MN与抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n只有一个公共点时，
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y＝﹣x2+（n﹣4）x+4n可得，
﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，
此时Δ＝0，即（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝0，
∴21n2+2n﹣27＝0，
∴n＝，
由①而知直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9公共点的横坐标为x1＝0，x2＝1﹣4n，
当n＝时，1﹣4n≠0，
∴x1≠x2，
所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，
③如图：
当直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9只有一个公共点，
∵x1＝0，x2＝1﹣4n，
∴n＝，
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n，
﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，
△＝（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝21n2+2n﹣27，
当n＝时，Δ＜0，
此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点只有一个，
∴n≠，
综上所述：n1＝，n2＝，n3＝，n4＝．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解本题的关键掌握二次函数的性质顶点坐标和一元二次方程的解．
34．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出点B的坐标为（1，0），再用待定系数法即可求解；
（2）以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），即可求解；
（3）由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，进而求解．
【解答】解：（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，
则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0），
则，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）存在，理由：
∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2，5），
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为（﹣1，m），
由点B、E的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26，
设点Q的坐标为（s，t），
∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，
故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），
则或，
解得或，
故点F的坐标为（﹣1，5+）或（﹣1，5﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）；
（3）存在，理由：
由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），
连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，
理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四边形B″B′PM为平行四边形，则B″M＝B′P＝BP，
则EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E+1为最小，
由点B″、E的坐标得，直线B″E的表达式为y＝（x+2），
当x＝﹣1时，y＝（x+2）＝，故点M的坐标为（﹣1，），
则EM+MP+PB的最小值B″E+1＝1+＝+1．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
35．（2021•仙桃）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元），月销售量为y（单位：万件）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元，月销售最大利润是78万元，求a的值．
【分析】（1）根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可；
（2）根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可；
（3）根据（2）中的函数和月销售单价不高于70元/件的取值范围，确定a值即可．
【解答】解：（1）由题知，①当40≤x≤50时，y＝5，
②当50＜x≤100时，y＝5﹣（x﹣50）×0.1＝10﹣0.1x，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝；
（2）设月销售利润为z，由题知，
①当40≤x≤50时，x＝50时利润最大，
此时z＝（50﹣40）×5＝50（万元），
②当50＜x≤100时，z＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（10﹣0.1x）＝﹣0.1x2+14x﹣400＝﹣0.1（x﹣70）2+90，
∴当x＝70时，z有最大值为90万元，
即当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元；
（3）由题知，利润z＝（x﹣40﹣a）（10﹣0.1x）＝﹣0.1x2+（14+0.1a）x﹣400﹣10a，
此函数的对称轴为：直线x＝﹣＝70+0.5a＞70，
∴当月销售单价是70元时，月销售利润最大，
即（70﹣40﹣a）×（10﹣0.1×70）＝78，
解得a＝4，
∴a的值为4．
【点评】本题主要考查一次函数性质和二次函数的性质及方程的应用，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．
36．（2021•武汉）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
【分析】（1）根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费+其他成本计算每盒产品的成本即可；
（2）根据利润等于售价减去成本列出函数关系式即可；
（3）根据（2）中的函数关系式，利用函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得﹣＝100，
解得m＝3，
经检验m＝3是方程的解，
∴1.5m＝4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），
答：每盒产品的成本为30元；
（2）根据题意，得w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+1400x﹣33000；
（3）由（2）知w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，
∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，
当60＜a＜70时，每天的最大利润为（﹣10a2+1400a﹣33000）元．
【点评】本题主要考查二次函数的性质和分式方程，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．
37．（2021•武汉）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．
（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；
①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标．
②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．
（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．
【分析】（1）①点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C，而四边形ACDE为平行四边形，故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D，即可求解；
②利用S△ACE＝S梯形CNMA﹣S△CEN﹣S△AEM＝6，求出m＝﹣5（舍去）或2，即可求解；
（2）由FG+FH＝+＝（xH﹣xG）＝（﹣）＝，即可求解．
【解答】解：（1）对于y＝x2﹣1，令y＝x2﹣1＝0，解得x＝±1，令x＝0，则y＝﹣1，
故点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（1，0），顶点坐标为（0，﹣1），
①当x＝时，y＝x2﹣1＝，
由点A、C的坐标知，点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C，
∵四边形ACDE为平行四边形，
故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D，
则+1＝，+3＝，
故点D的坐标为（，）；
②设点C（0，n），点E的坐标为（m，m2﹣1），
同理可得，点D的坐标为（m+1，m2﹣1+n），
将点D的坐标代入抛物线表达式得：m2﹣1+n＝（m+1）2﹣1，
解得n＝2m+1，
故点C的坐标为（0，2m+1）；
连接CE，过点E作y轴的平行线交x轴于点M，交过点C与x轴的平行线与点N，
则S△ACE＝S梯形CNMA﹣S△AEM﹣S△CEN＝（m+1+m）（2m+1）﹣×（m+1）（m2﹣1）﹣m[2m+1﹣（m2﹣1）]＝S▱ACDE＝6，
解得m＝﹣5（舍去）或2，
故点E的坐标为（2，3）；
（2）∵F是原点O关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为（0，﹣2），
由点B、F的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣2①，
同理可得，直线AF的表达式为y＝﹣2x﹣2②，
设直线l的表达式为y＝tx+n，
联立y＝tx+n和y＝x2﹣1并整理得：x2﹣tx﹣n﹣1＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故△＝（﹣t）2﹣4（﹣n﹣1）＝0，解得n＝﹣t2﹣1，
故直线l的表达式为y＝tx﹣t2﹣1③，
联立①③并解得xH＝，
同理可得，xG＝，
∵射线FA、FB关于y轴对称，则∠AFO＝∠BFO，设∠AFO＝∠BFO＝α，
则sin∠AFO＝sin∠BFO＝＝＝＝sinα，
则FG+FH＝+＝（xH﹣xG）＝（﹣）＝为常数．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
38．（2021•孝感）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点N（n，0）是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若n＜3，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G．过点P作PD⊥BC于点D，当n为何值时，△PDG≌△BNG；
（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线OB1．
①tan∠BOB1＝ ；
②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时，求点N的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△PDG≌△BNG，得到PG＝BG＝（3﹣n），求出P的坐标为（n，﹣（3﹣n）（1+）），即可求解；
（3）①由函数的平移得到函数的表达式为y＝x，即可求解；
②求出直线NN1的表达式为y＝﹣2（x﹣n），得到点H的坐标为（，），由点H是NN1的中点，求出点N1的坐标为（，），即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3①；
（2）①当点N在y轴右侧时，
由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），
故OB＝OC＝3，则∠OBC＝∠OCB＝45°，
则NB＝3﹣n＝NG，则BG＝（3﹣n），
∵△PDG≌△BNG，
故PG＝BG＝（3﹣n），
则PN＝3﹣n+（3﹣n）＝（3﹣n）（1+），
故点P的坐标为（n，﹣（3﹣n）（1+）），
将点P的坐标代入抛物线表达式得：（n﹣3）（+1）＝n2﹣2n﹣3，
解得n＝3（舍去）或，
故n＝；
②当点N在y轴左侧时，
同理可得：n＝﹣，
综上，n＝；
（3）①设OC的中点为R（0，﹣），
由B、R的坐标得，直线BR的表达式为y＝x﹣，
则将它向上平移个单位长度，得到直线OB1，
此时函数的表达式为y＝x，
设B（m，m）
故tan∠BOB1＝＝，
故答案为；
②设线段NN1交OB1于点H，则OB1是NN1的中垂线，
∵tan∠BOB1＝，则tan∠N1NB＝2，
∵NN1⊥OB1，
∴tan∠HON＝＝，
∵ON＝n，
∴HN＝n，OH＝n，
作HT⊥ON于点T，则HT＝＝n，
∴OT＝n，
∴H（n，n），
∵点H是NN1的中点，
由中点坐标公式得：点N1的坐标为（，），
将点N1的坐标代入抛物线表达式得：＝（）2﹣2×﹣3，
解得n＝，
故点N的坐标为（，0）或（，0）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
39．（2022•黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y＝，数据如表．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数＝累计人数﹣已检测人数）；
（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可得到答案；
（2）根据排队人数＝累计人数﹣已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数和一次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人；8分钟后入校园人数不再增加，检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，根据不等关系“要在20分钟内让全部学生完成核酸检测”，建立关于m的一元一次不等式，结合m为整数可得到结果．
【解答】解：（1）由题意，，
解得，；
（2）设第x分钟时的排队人数为W，
根据题意得：W＝y﹣20x，
∴W＝，
当0≤x≤8时，
W＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，
∴当x＝7时，W最大＝490，
当x＞8时，W＝640﹣20x，
∵k＝﹣20＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴W＜480，
故排队人数最多时有490人；
（3）要全部学生都完成核酸检测，根据题意得：640﹣20x＝0，
解得：x＝32，
所以全部学生都完成核酸检测要32分钟；
开始就应该至少增加m个检测点，根据题意得：
5×20（m+4）≥640，
解得：m≥2.4，
∵m为整数，
∴m＝3，
答：从一开始就应该至少增加3个检测点．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．
40．（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 （﹣2，0） ， （3，0） ， （0，4） ．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，所以x＝﹣2或x＝3，由此可得结论；
（2）①由题意可知，P（1，4），所以CP＝1，AB＝5，由平行线分线段成比例可知，＝＝．
②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，所以直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．所以PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，因为PQ∥AB，所以＝＝＝﹣（m﹣）2+，由二次函数的性质可得结论；
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，由∠BCO+2∠PCB＝90°，可知CP平分∠BCF，延长CP交x轴于点M，易证△CBM为等腰三角形，所以M（8，0），所以直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，令﹣x2+x+4＝﹣x+4，可得结论．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x轴，
∴＝＝．
②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．
设点P的横坐标为m，
则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．
∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，
∵PQ∥AB，
∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，的最大值为．
另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．
过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，
∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°，
∴∠MCF＝∠BCP，
延长CP交x轴于点M，
∵CF∥x轴，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM为等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，
令﹣x2+x+4＝﹣x+4，
解得x＝或x＝0（舍），
∴存在点P满足题意，此时m＝．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点P的坐标．
41．（2022•襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C，D的坐标；①当m＝2时，代入上述坐标即可得出结论；
②过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，所以P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．根据三角形的面积公式可得△PAB的面积，再利用二次函数的性质可得出结论；
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时，分别得出m的取值范围即可；
②根据①中的条件可知，分两种情况，分别得出BC的长度，利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，﹣2m）；
∵y＝﹣（x﹣m）2+2，
∴抛物线的顶点为D（m，2），
令x＝0，则y＝﹣m2+2，
∴C（0，﹣m2+2）．
①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，
∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．
②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．
如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，
设点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．
∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，
∴△PAB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，
∵﹣1＜0，
∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．
此时P（1，1）．
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），
①∵y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，
∴需要分两种情况：
当m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得≤m≤1+，
当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣，
∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．
②当≤m≤1+时，
∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，BC的最大值为3；
当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣，
∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，
当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．
∴当m＝﹣3时，BC的最大值为13．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数上点的坐标特点，三角形的面积，不等式的应用，分类讨论思想等相关内容，第二问注意需要分类讨论．
42．（2022•荆门）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．
（1）求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
（2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？
【分析】（1）根据总利润＝单价利润×销量﹣50，可得z与x的函数解析式，再求出x＝﹣＝60时，z最大，代入即可；
（2）当z＝17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出x的范围，结合y与x的函数关系式，从而解决问题．
【解答】解：（1）z＝y（x﹣30）﹣50
＝（﹣）（x﹣30）﹣50
＝﹣+12x﹣320，
当x＝﹣＝60时，z最大，最大利润为﹣＝40；
（2）当z＝17.5时，17.5＝﹣+12x﹣320，
解得x1＝45，x2＝75，
∵净利润预期不低于17.5万元，且a＜0，
∴45≤x≤75，
∵y＝﹣x+9．y随x的增大而减小，
∴x＝45时，销售量最大．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出z关于x的函数的解析式是解题的关键．
43．（2022•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；
（2）如图，抛物线y＝ax2+bx+c向上平移，使顶点E落在x轴上的P点，此时的抛物线记为C，过P作两条互相垂直的直线与抛物线C交于不同于P的M，N两点（M位于N的右侧），过M，N分别作x轴的垂线交x轴于点M1，N1．
①求证：△PMM1∽△NPN1；
②设直线MN的方程为y＝kx+m，求证：k+m为常数．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①利用一线三垂直即可证明；
②先求平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2，设N（x1，kx1+m），M（x2，kx2+m），联立方程组y＝，整理得x2﹣（2+k）x+1﹣m＝0，由根与系数的关系可得x1+x2＝2+k，x1•x2＝1﹣m，再由△PMM1∽△NPN1，可得＝，整理后可求k+m＝1或k+m＝0（舍）．
【解答】（1）解：将A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴E（1，﹣9）；
（2）①证明：∵PN⊥PM，
∴∠MPN＝90°，
∴∠NPN1+∠MPM1＝90°，
∵NN1⊥x轴，MM1⊥x轴，
∴∠NN1P＝∠MM1P＝90°，
∴∠N1PN+∠PNN1＝90°，
∴∠MPM1＝∠PNN1，
∴△PMM1∽△NPN1；
②证明：由题意可知平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2，
设N（x1，kx1+m），M（x2，kx2+m），
联立方程组y＝，
整理得x2﹣（2+k）x+1﹣m＝0，
∴x1+x2＝2+k，x1•x2＝1﹣m，
∵△PMM1∽△NPN1，
∴＝，即＝，
∴k+m＝（k+m）2，
∴k+m＝1或k+m＝0，
∵M、N与P不重合，
∴k+m＝1，
∴k+m为常数．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
44．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4）．
（1）直接写出抛物线的解析式．
（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
【分析】（1）把点P（0，4）代入y＝﹣x2+c，即可求得答案；
（2）根据题意平移后的新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），再求出C（0，3），B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，可推出：△CPQ是等腰直角三角形，△BOC是等腰直角三角形，即可证得△BCQ是直角三角形．
（3）设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，利用待定系数法得出直线BC的解析式为y＝x+3，联立方程组求得：M（﹣，），N（，），进而可得BN＝，再分两种情况：①当△NBT∽△CBA时，则＝，②当△NBT∽△ABC时，则＝，分别建立方程求解即可得出答案．
（4）由于直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），可得y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，联立得x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，运用根的判别式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），
∴c＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；
（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：
将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，
∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），
令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，0），A（1，0），
如图1，连接BQ，CQ，PQ，
∵P（0，4），Q（﹣1，4），
∴PQ⊥y轴，PQ＝1，
∵CP＝4﹣3＝1，
∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，
∴△CPQ是等腰直角三角形，
∴∠PCQ＝45°，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△BCQ是直角三角形．
（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．
∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，
∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，
即点T在y轴的右侧，
设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，
∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），
∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
由，
解得：，，
∴M（﹣，），N（，），
∴BN＝×＝，
①当△NBT∽△CBA时，则＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴T（，0）；
②当△NBT∽△ABC时，则＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴T（，0）；
综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．
（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），
∵直线BC的解析式为y＝x+3，
∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，
设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），
则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，
由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，
整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，
∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，
∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，
解得：t＝，
∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的平移变换，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式的应用等，熟练掌握二次函数的图象及性质、数形结合、分类讨论是解题的关键．
45．（2022•仙桃）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．
【分析】（1）描点，用平滑曲线连接这些点即可得出函数图象是一次函数，待定系数法求解可得；
（2）①根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
②根据题意列方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，
设y＝kx+b，
把（20，30）和（25，25）代入y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+50；
（2）①w＝（x﹣18）（﹣x+50）＝﹣x2+68x﹣900＝﹣（x﹣34）2+256，
∵﹣1＜0，
∴当x＝34时，w有最大值，
即超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为34元；
②当w＝240时，﹣（x﹣34）2+256＝240，
（x﹣34）2＝16，
∴x1＝38，x2＝30，
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
∴x＝30．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
46．（2022•仙桃）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；
（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；
（2）分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；
（3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，由Δ＝0时，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线经过点A时，（1﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣4，解得k＝0（舍）或k＝1，当抛物线的顶点为（2，﹣5）时，平移后的抛物线与射线BA有一个公共点．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点A（1，﹣4），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵CB∥x轴，
∴B（2，﹣3），
设直线AC解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝﹣x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
①当m＞1时，
x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，
解得m＝（舍）；
②当m+2＜1，即m＜﹣1，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，
解得m＝﹣（舍）；
③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，
解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；
④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，
解得m＝1+（舍）或m＝1﹣，
综上所述：m的值﹣1或1﹣；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，
设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣5，
联立方程组，
整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，
当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，
解得h＝，
此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；
②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，
当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，
解得k＝0（舍）或k＝3，
此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，
当抛物线经过点A时，（1﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣4，
解得k＝0（舍）或k＝1，
当抛物线的顶点为（2，﹣5）时，平移后的抛物线与射线BA有一个公共点，
∴综上所述：2≤n≤4或n＝．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
47．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．
例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： （0，） ， y＝﹣ ．
【技能训练】
（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
【拓展升华】
（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
【分析】（1）根据焦点的坐标公式和准线l的方程直接得出结论即可；
（2）可求出点P的纵坐标，从而确定P点的横坐标；
（3）作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，由BK∥FH∥AG得△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，从而，，进一步求得结果；
（4）设点M（m，m2），根据＝2列出方程，求得m的值，进一步求得结果．
【解答】解：（1）∵a＝2，
∴＝，
故答案为：（0，），y＝﹣；
（2）∵a＝，
∴﹣＝﹣2，
∴准线为：y＝﹣2，
∴点P的纵坐标为：4，
∴＝4，
∴x＝±4，
∴P（4，4）或（﹣4，4）；
（3）如图，
作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，
∴AG＝AF＝4，BK＝BF，FH＝，
∵BK∥FH∥AG，
∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，
∴，，
∴＝＝，，
∴a＝；
（4）设点M（m，m2），
∵＝，
∴＝2，
∴＝2，
∴m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
∴M（﹣2，1），
∵E为线段HF的黄金分割点，
∴EH＝＝﹣1或EH＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
当EH＝﹣1时，S△HME＝＝＝﹣1，
当EH＝3﹣时，S△HME＝3﹣，
∴△HME的面积是﹣1或3﹣．
【点评】本题考查了阅读运用新知识能力，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．
48．（2022•荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24﹣x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．
①求该产品第一年的售价；
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
（2）①构建方程即可求出该产品第一年的售价；
②根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质即可解决问题；
【解答】解：（1）根据题意得：w＝（x﹣8）（24﹣x）﹣60＝﹣x2+32x﹣252；
（2）①∵该产品第一年利润为4万元，
∴4＝﹣x2+32x﹣252，
解得：x＝16，
答：该产品第一年的售价是16元/件．
②∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，
∴，
解得11≤x≤16，
设第二年利润是w'万元，
w'＝（x﹣6）（24﹣x）﹣4＝﹣x2+30x﹣148，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝15，又11≤x≤16，
∴x＝11时，w'有最小值，最小值为（11﹣6）×（24﹣11）﹣4＝61（万元），
答：第二年的利润至少为61万元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型．
49．（2022•十堰）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长．
【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，c，进而求得结果；
（2）①可推出△COE为等腰直角三角形，进而求得点E坐标，从而求出PC的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果；
②可推出四边形PECE′是菱形，从而得出PE＝CE，分别表示出PE和CE，从而列出方程，进一步求得结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2+x﹣3；
（2）①如图1，
设直线PC交x轴于E，
∵PD∥OC，
∴∠OCE＝∠CPD＝45°，
∵∠COE＝90°，
∴∠CEO＝90°﹣∠ECO＝45°，
∴∠CEO＝∠OCE，
∴OE＝OC＝3，
∴点E（3，0），
∴直线PC的解析式为：y＝x﹣3，
由x2+x﹣3＝x﹣3得，
∴x1＝﹣，x2＝0（舍去），
当x＝﹣时，y＝﹣﹣3＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
②如图2，
设点P（m，m2+m﹣3），四边形PECE′的周长记作l，
点P在第三象限时，作EF⊥y轴于F，
∵点E与E′关于PC对称，
∴∠ECP＝∠E′PC，CE＝CE′，
∵PE∥y轴，
∴∠EPC＝∠PCE′，
∴∠ECP＝∠EPC，
∴PE＝CE，
∴PE＝CE′，
∴四边形PECE′为平行四边形，
∴▱PECE′为菱形，
∴CE＝PE，
∵EF∥OA，
∴，
∴，
∴CE＝﹣m，
∵PE＝﹣（﹣）﹣（+﹣3）＝﹣﹣3m，
∴﹣＝﹣m2﹣3m，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣，
∴CE＝，
∴l＝4CE＝4×＝，
当点P在第二象限时，
同理可得：
﹣m＝+3m，
∴m3＝0（舍去），m4＝﹣，
∴l＝4×＝，
综上所述：四边形PECE′的周长为：或．
【点评】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量．
50．（2022•随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（1≤x≤15，且x为正整数）的供应量y1（单位：个）和需求量y2（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量y2与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）
（1）直接写出y1与x和y2与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）
（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）
（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．
【分析】（1）由已知直接可得y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，设y2＝ax2+bx+c，用待定系数法可得y2＝﹣x2+12x+209；
（2）求出前9天的总供应量为（1350+36m）个，前10天的供应量为（1500+45m）个，根据前9天的总需求量为2136个，前10天的总需求量为2136+229＝2365（个），可得，而m为正整数，即可解得m的值为20或21；
（3）m最小值为20，从而第4天的销售量即供应量为y1＝210，销售额为21000元，第12天的销售量即需求量为y2＝209，销售额为20900元．
【解答】解：（1）根据题意得：y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，
设y2＝ax2+bx+c，将（1，220），（2，229），（6，245）代入得：
，
解得，
∴y2＝﹣x2+12x+209；
（2）前9天的总供应量为150+（150+m）+（150+2m）++（150+8m）＝（1350+36m）个，
前10天的供应量为1350+36m+（150+9m）＝（1500+45m）个，
在y2＝﹣x2+12x+209中，令x＝10得y＝﹣102+12×10+209＝229，
∵前9天的总需求量为2136个，
∴前10天的总需求量为2136+229＝2365（个），
∵前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量，
∴，
解得19≤m＜21，
∵m为正整数，
∴m的值为20或21；
（3）由（2）知，m最小值为20，
∴第4天的销售量即供应量为y1＝4×20+150﹣20＝210，
∴第4天的销售额为210×100＝21000（元），
而第12天的销售量即需求量为y2＝﹣122+12×12+209＝209，
∴第12天的销售额为209×100＝20900（元），
答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元．
【点评】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组解决问题．
51．（2022•武汉）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．
小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．
（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
【分析】（1）设v＝mt+n，代入（0，10），（2，9），利用待定系数法可求出m和n；设y＝at2+bt+c，代入（0，0），（2，19），（4，36），利用待定系数法求解即可；
（2）令y＝64，代入（1）中关系式，可先求出t，再求出v的值即可；
（3）设黑白两球的距离为wcm，根据题意可知w＝70+2t﹣y，化简，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设v＝mt+n，将（0，10），（2，9）代入，得，
解得，，
∴v＝﹣t+10；
设y＝at2+bt+c，将（0，0），（2，19），（4，36）代入，得，
解得，
∴y＝﹣t2+10t．
（2）令y＝64，即﹣t2+10t＝64，
解得t＝8或t＝32，
当t＝8时，v＝6；
当t＝32时，v＝﹣6（舍）；
（3）设黑白两球的距离为wcm，
根据题意可知，w＝70+2t﹣y
＝t2﹣8t+70
＝（t﹣16）2+6，
∵＞0，
∴当t＝16时，w的最小值为6，
∴黑白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．
另解1：当w＝0时，t2﹣8t+70＝0，判定方程无解．
另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距离之差小于70 cm．
【点评】本题属于函数综合应用，主要考查待定系数法求函数解析式，函数上的坐标特点等知识，（3）关键是弄明白如何判断黑白两球是否碰到．
52．（2022•仙桃）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．
【分析】（1）分段利用图象的特点，利用待定系数法，即可求出答案；
（2）先求出x的范围；
①分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出答案案；
②分两段利用w≤6000，建立不等式求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）当0＜x≤40时，y＝30；
当40＜x≤100时，
设函数关系式为y＝kx+b，
∵线段过点（40，30），（100，15），
∴，
∴，
∴y＝﹣x+40，
即y＝；
（2）∵甲种花卉种植面积不少于30m2，
∴x≥30，
∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴360﹣x≥3x，
∴x≤90，
即30≤x≤90；
①当30≤x≤40时，
由（1）知，y＝30，
∵乙种花卉种植费用为15元/m2．
∴w＝yx+15（360﹣x）＝30x+15（360﹣x）＝15x+5400，
当x＝30时，wmin＝5850；
当40＜x≤90时，
由（1）知，y＝﹣x+40，
∴w＝yx+15（360﹣x）＝﹣（x﹣50）2+6025，
∴当x＝90时，wmin＝﹣（90﹣50）2+6025＝5625，
∵5850＞5625，
∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；
②当30≤x≤40时，
由①知，w＝15x+5400，
∵种植总费用不超过6000元，
∴15x+5400≤6000，
∴x≤40，
即满足条件的x的范围为30≤x≤40，
当40＜x≤90时，
由①知，w＝﹣（x﹣50）2+6025，
∵种植总费用不超过6000元，
∴﹣（x﹣50）2+6025≤6000，
∴x≤40（不符合题意，舍去）或x≥60，
即满足条件的x的范围为60≤x≤90，
综上，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，用分段讨论的思想解决问题是解本题的关键．
53．（2022•仙桃）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
【分析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，求出x的值即可得出点B的坐标，将函数y＝x2﹣4x化作顶点式可得出点D的坐标；
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，易得tan∠DOE＝，因为tan∠PDO＝，所以ODG＝∠DOE，分两种情况进行讨论，当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，当点P在线段OD左侧时，设直线DO与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，分别求出点P的坐标即可．
（3）分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，则S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），由点Q的横坐标为m，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）令y＝x2﹣4x＝x，
解得x＝0或x＝5，
∴B（5，5）；
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点D（2，﹣4）．
（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴DE＝2，OE＝4，
∴tan∠DOE＝，
∵tan∠PDO＝，
∴∠DOE＝∠PDO，
①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，如图，
∴P（2，0）；
②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，
∴OG＝DG，
设OG＝t，则DG＝t，GE＝4﹣t，
在Rt△DGE中，t2＝22+（4﹣t）2，
解得t＝，
∴G（0，﹣），
∴直线DG的解析式为：y＝﹣x﹣，
令y＝0，则﹣x﹣＝0，
解得x＝﹣，
∴P（﹣，0）．
综上，点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）．
（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，
∴M（﹣1，5）．
如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，
∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，
∵点Q横坐标为m，
∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），
∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．
∵S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），
∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，的最大值为．
提示：本题也可分别过点M，Q作BO的垂线，用m分别表示高线，再求比，也可得出结论．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和三角形相似的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．
54．（2022•宜昌）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E（0，n）．四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（m+1，m+3），N（m+1，m），P（m+5，m），Q（m+5，m+3）．
（1）填空：a＝ ，b＝ ﹣ ；
（2）若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y＝有且只有一个交点，求n2的最大值；
（3）当直线l与四边形MNPQ、抛物线y＝ax2+bx﹣2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y＝ax2+bx﹣2的交点的纵坐标．
①当m＝﹣3时，直接写出n的取值范围；
②求m的取值范围．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，即可求解；
（2）求出直线BC的解析式为y＝x﹣2，直线l的解析式为y＝x+n，再由双曲线y＝经过点M（m+1，m+3），可得y＝，再联立方程组，整理得x2+2nx﹣2m2﹣8m﹣6＝0，由题意可得Δ＝0，整理得n2＝﹣2（m+2）2+2，根据点M的坐标位置，求出﹣3＜m＜﹣1，则当m＝﹣2时，n2可以取得最大值2；
（3）联立方程组，由Δ≥0，可得n≥﹣4，当n＝﹣4时，直线y＝x﹣4与抛物线的交点为F（2，﹣3）；①当m＝﹣3时，四边形NMPQ的顶点分别为M（﹣2，0），N（﹣2，﹣3），P（2，﹣3），Q（2，0），当直线l经过点P（2，﹣3）时，此时P点与F点重合，n＝﹣4时，符合题意；当直线l经过点A时，n＝，当直线l经过点M时，n＝1，可得≤n≤1，由此可求解；
②当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M（m+1，m+3）在直线y＝x﹣4上时，由m+3＝（m+1）﹣4，解得m＝﹣13；当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M（m+1，m+3）在这条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，由（m+1）2﹣（m+1）﹣2＝m+3，解得m＝（舍）或m＝，即可求m的取值范围为﹣13≤m≤．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，
∴，
解得，
故答案为：，﹣；
（2）设直线BC的解析式为y＝dx+e，
∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
∵直线BC平移得到直线l，直线l与y轴交于点E（0，n），
∴直线l的解析式为y＝x+n，
∵双曲线y＝经过点M（m+1，m+3），
∴k＝（m+1）（m+3），
∴y＝，
∵直线l与双曲线y＝有且只有一个交点，
联立方程组，
整理得x2+2nx﹣2m2﹣8m﹣6＝0，
∴Δ＝0，即4n2﹣4（﹣2m2﹣8m﹣6）＝0，
∴n2+2m2+8m+6＝0，
∴n2＝﹣2m2﹣8m﹣6＝﹣2（m+2）2+2，
∵M点在第二象限，
∴m+1＜0，m+3＞0，
∴﹣3＜m＜﹣1，
∴当m＝﹣2时，n2可以取得最大值2；
（3）如图1，当直线l与抛物线有交点时，联立方程组，
整理得，x2﹣4x﹣4﹣2n＝0，
∵Δ≥0，即8n+16≥0，
∴n≥﹣4，
当n＝﹣4时，直线y＝x﹣4与抛物线的交点为F（2，﹣3）；
①当m＝﹣3时，四边形NMPQ的顶点分别为M（﹣2，0），N（﹣2，﹣3），P（2，﹣3），Q（2，0），
如图2，当直线l经过点P（2，﹣3）时，此时P点与F点重合，
∴n＝﹣4时，直线l与四边形MNPQ、抛物线都有交点，且满足直线l与矩形MNPQ的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标；
如图3，当直线l经过点A时，n＝，
当直线l经过点M时，如图4，n＝1，
∴≤n≤1，
综上所述：n的取值范围为：≤n≤1或n＝﹣4；
②当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M（m+1，m+3）在直线y＝x﹣4上时，直线l与四边形MNPQ、抛物线同时有交点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标，
∴m+3＝（m+1）﹣4，
解得m＝﹣13；
如图5，当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M（m+1，m+3）在这条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线l（即经过此时点M的直线l）与四边形MNPQ、平行同时有交点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，
∴（m+1）2﹣（m+1）﹣2＝m+3，
解得m＝（舍）或m＝，
综上所述：m的取值范围为﹣13≤m≤．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，矩形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
55．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．
【分析】（1）令y＝0，解方程可得结论；
（2）分两种情形：①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．构建方程组分别求解即可；
（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，推出xA•xC＝xB•xE＝﹣3﹣b可得n＝﹣1﹣，设直线CE的解析式为y＝px+q，同法可得mn＝﹣3﹣q推出q＝﹣mn﹣3，推出q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，推出OF＝b2+b，可得结论．
【解答】解：（1）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵OP＝OA＝1，
∴P（0，1），
∴直线AC的解析式为y＝x+1．
①若点D在AC的下方时，
过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．
∵B（3，0），BD1∥AC，
∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3，
由，解得或，
∴D1（0，﹣3），
∴D1的横坐标为0．
②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（0，5），
过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．
直线l的解析式为y＝x+5，
由，可得x2﹣3x﹣8＝0，
解得x＝或，
∴D2，D3的横坐标为，，
综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，．
（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，
由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，
设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，
∴xA•xC＝xB•xE＝﹣3﹣b
∵xA＝﹣1，
∴xC＝3+b，
∴m＝3+b，
∵xB＝3，
∴xE＝﹣1﹣，
∴n＝﹣1﹣，
设直线CE的解析式为y＝px+q，
同法可得mn＝﹣3﹣q
∴q＝﹣mn﹣3，
∴q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，
∴OF＝b2+2b，
∴＝b+1＝（m﹣3）+1＝m．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
56．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）判断出A，B两点坐标，可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把（0，3）代入抛物线的解析式，得a＝﹣1，可得结论；
（2）如图（2）中，连接OP．设P（m，﹣m2﹣2m+3），构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分两种情形，点N在y轴上，点N在x轴上，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，抛物线交x轴于点A，B（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，
∴C（0，3），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把（0，3）代入抛物线的解析式，得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图（2）中，连接OP．设P（m，﹣m2﹣2m+3），
S＝S△PAO+S△POC+S△OBC，
＝×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）+×1×3
＝（﹣m2﹣3m+4）
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S的值最大，最大值为，此时P（﹣，）；
（3）存在，理由如下：
如图3﹣1中，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P（﹣1，4），N（0，4）；
如图3﹣2中，当四边形PMCN是矩形时，设M（﹣1，n），P（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t+1，0），
由题意，，
解得，消去n得，3t2+5t﹣10＝0，
解得t＝，
∴P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
综上所述，满足条件的点P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．第x天
1
2
3
4
5
销售价格p（元/只）
2
3
4
5
6
销量q（只）
70
75
80
85
90
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价
x（元/件）
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量
y（万件）
…
30
20
14
5
…
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量m（kg）
142
138
132
124
…
时间x（分钟）
0
1
2
3
…
8
x＞8
累计人数y（人）
0
150
280
390
…
640
640
销售单价x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…
第x天
1
2
…
6
…
11
…
15
供应量y1（个）
150
150+m
…
150+5m
…
150+10m
…
150+14m
需求量y2（个）
220
229
…
245
…
220
…
164
运动时间t/s
0
1
2
3
4
运动速度v/cm/s
10
9.5
9
8.5
8
运动距离y/cm
0
9.75
19
27.75
36