专题24 图形的相似-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（湖北专用）

这是一份专题24 图形的相似-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（湖北专用），文件包含专题24图形的相似原卷版docx、专题24图形的相似解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
1．（2022•十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（ ）
A．0.3cmB．0.5cmC．0.7cmD．1cm
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．
【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝3，
∵CD＝3cm，
∴AB＝9cm，
∵某零件的外径为10cm，
∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．
2．（2021•恩施州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）
A．CE≠12BDB．△ABC≌△CBDC．AC＝CDD．∠ABC＝∠CBD
【分析】根据勾股定理可以得到BC、CD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到△BCD的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到EF的长，然后即可得到CE的长，从而可以得到CE和BD的关系；根据图形，很容易判断△ABC≌△CBD和AC＝CD不成立；再根据锐角三角函数可以得到∠ABC和∠CBD的关系．
【解答】解：由图可得，
BC=42+22=25，CD=22+12=5，BD=32+42=5，
∴BC2+CD2＝（25）2+（5）2＝25＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∵EF∥GD，
∴△BFE∽△BGD，
∴EFDG=BFBG，
即EF3=24，
解得EF＝1.5，
∴CE＝CF﹣EF＝4﹣1.5＝2.5，
∴CEBD=2.55=12，故选项A错误；
由图可知，显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误；
∵AC＝2，CD=5，
∴AC≠CD，故选项C错误；
∵tan∠ABC=ACAB=12，tan∠CBD=CDBC=525=12，
∴∠ABC＝∠CBD，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理与勾股定理的逆定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二．填空题
3．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，则△ABC的周长为 53 ．
【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．
【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．
∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM＝FN，
∴S△ABFS△ADF=BFDF=12⋅AB⋅FM12⋅AD⋅FN=3，
∴AB＝3AD，
设AD＝DC＝a，则AB＝3a，
∵AD＝DC，DT∥AE，
∴ET＝CT，
∴BEET=BFDF=3，
设ET＝CT＝b，则BE＝3b，
∵AB+BE＝33，
∴3a+3b＝33，
∴a+b=3，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝53，
故答案为：53．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．（2021•孝感）人们把5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a=5−12，b=5+12，得ab＝1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，…，S10=11+a10+11+b10，则S1+S2+…+S10＝ 10 ．
【分析】利用分式的加减法则分别可求S1＝1，S2＝1，S10＝1，即可求解．
【解答】解：∵S1=11+a+11+b=1+b+1+a(1+a)(1+b)=2+a+b1+a+b+ab=2+a+b2+a+b=1，S2=11+a2+11+b2=1+b2+1+a21+a2+b2+a2b2=1，…，S10=11+a10+11+b10=1+a10+1+b101+a10+b10+a10b10=1，
∴S1+S2+…+S10＝1+1+…+1＝10，
故答案为10．
【点评】本题考查了分式的加减法，找出的规律是本题的关键．
5．（2022•仙桃）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为 25+2 ．
【分析】由图象可得AB＝BC＝4cm，通过证明△APC∽△BAC，可求AP的长，即可求解．
【解答】解：如图，连接AP，
由图2可得AB＝BC＝4cm，
∵∠B＝36°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝72°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，
∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，
∴AP＝AC＝BP，
∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴APAB=PCAC，
∴AP2＝AB•PC＝4（4﹣AP），
∴AP＝25−2＝BP，（负值舍去），
∴t=4+25−21=25+2，
故答案为：25+2．
【点评】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
6．（2022•随州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H．则∠BHD的度数为 90° ，DH的长为 455 ．
【分析】如图，设EF交AD于点J，AD交BH于点O，过点E作EK⊥AB于点K．证明△DAF∽△BAE，推出∠ADF＝∠ABE，可得∠DHO＝∠BAO＝90°，解直角三角形求出EF，AJ，EJ，再利用平行线分线段成比例定理求出OJ，再根据cs∠ODH＝cs∠ABO，可得DHOD=ABBO，求出DH．
【解答】解：如图，设EF交AD于点J，AD交BH于点O，过点E作EK⊥AB于点K．
∵∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
∵AFAD=AEAB=12，
∴AFAE=ADAB，
∴△DAF∽△BAE，
∴∠ADF＝∠ABE，
∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠DHO＝∠BAO＝90°，
∴∠BHD＝90°，
∵AF＝3，AE＝4，∠EAF＝90°，
∴EF=32+42=5，
∵EF⊥AD，
∴12•AE•AF=12•EF•AJ，
∴AJ=125，
∴EJ=AE2−AJ2=42−(125)2=165，
∵EJ∥AB，
∴OJOA=EJAB，
∴OJOJ+125=1658，
∴OJ=85，
∴OA＝AJ+OJ=125+85=4，
∴OB=AB2+AO2=42+82=45，OD＝AD﹣AO＝6﹣4＝2，
∵cs∠ODH＝cs∠ABO，
∴DHOD=ABBO，
∴DH2=845，
∴DH=455．
故答案为：90°，455．
【点评】本题考查矩形的性质，旋转变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．（2021•随州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD＝OA，BD分别与AC，OC交于点E，F，连接AD，CD，则OGBC的值为 12 ；若CE＝CF，则CFOF的值为 2 ．
【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得到OA＝OC，即三角形OAC是等腰三角形，又由“三线合一”的性质得到点G是AC的中点，可得OG是△ABC的中位线，可得OGBC=12；由CE＝CF，可得∠CEF＝∠CFE，再根据“对顶角相等”，“直角三角形两锐角互余”等可得∠OFB+∠OBD＝90°，即△OBC是等腰直角三角形，再由OG∥BC，得△BCF∽△DOF，则CFOF=BCOD=BCOB=2．
【解答】解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，
∴OA＝OC＝OB，
∵OD平分∠AOC，
∴OG⊥AC，且点G为AC的中点，
∴OG∥BC，且OG=12BC，即OGBC=12；
②∵OD＝OA，
∴OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵OG⊥AC，
∴∠DGE＝90°，
∴∠GDE+∠DEG＝90°，
∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∵∠CEF＝∠DEG，∠CFE＝∠OFB，∠ODB＝∠OBD，
∴∠OFB+∠OBD＝90°，
∴∠FOB＝90°，即CO⊥AB，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BC：OB=2：1；
由（1）知，OG∥BC
∴△BCF∽△DOF，
∴CFOF=BCOD=BCOB=2．
故答案为：12；2．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等内容，通过导角得到∠FOB＝90°是解题关键．也可得出点A，B，C，D四点共圆，借助圆证明△BCF∽△DOF．也可利用角平分线性质定理进行解答．
8．（2020•咸宁）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：
①△ABE∽△ECG；
②AE＝EF；
③∠DAF＝∠CFE；
④△CEF的面积的最大值为1．
其中正确结论的序号是 ①②③ ．（把正确结论的序号都填上）
【分析】①由∠AEB+∠CEG＝∠AEB+∠BAE得∠BAE＝∠CEG，再结合两直角相等得△ABE∽△ECG；
②在BA上截取BM＝BE，易得△BEM为等腰直角三角形，则∠BME＝45°，所以∠AME＝135°，再利用等角的余角相等得到∠BAE＝∠FEC，于是根据“ASA”可判断△AME≌△ECF，则根据全等三角形的性质可对②进行判断；
③由∠MAE+∠DAF＝45°，∠CEF+∠CFE＝45°，可得出∠DAF与∠CFE的大小关系，便可对③判断；
④设BE＝x，则BM＝x，AM＝AB﹣BM＝2﹣x，利用三角形面积公式得到S△AME=12•x•（2﹣x），则根据二次函数的性质可得S△AME的最大值，便可对④进行判断．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠ECG＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEG＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠CEG，
∴△ABE∽△ECG，
故①正确；
②在BA上截取BM＝BE，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，BA＝BC，
∴△BEM为等腰直角三角形，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵BA﹣BM＝BC﹣BE，
∴AM＝CE，
∵CF为正方形外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AME和△ECF中
∠MAE=∠CEFAM=EC∠AME=∠ECF，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF，
故②正确；
③∵AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∵∠BAE+∠CFE＝∠CEF+∠CFE＝45°，
∴∠DAF＝∠CFE，
故③正确；
④设BE＝x，则BM＝x，AM＝AB﹣BM＝2﹣x，
S△ECF＝S△AME=12•x•（2﹣x）=−12（x﹣1）2+12，
当x＝1时，S△ECF有最大值12，
故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和二次函数的性质；能灵活运用全等三角形的知识解决线段线段的问题．构建△AME与△EFC全等是关键．
9．（2020•随州）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：
①△MHN∽△BCF；
②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜154；
③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；
④若DF=13DC，则折叠后重叠部分的面积为5512．
其中正确的是 ①②③④ ．（写出所有正确判断的序号）
【分析】根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定①正确；
根据MN最大值和最小值时F的位置可判定②正确；
根据四边形CDMH为正方形和勾股定理分别求出各边的长，可判定③正确；
根据相似三角形的性质和勾股定理可得MN，OF，MQ和DF的长，利用面积和可判定④正确；从而求解．
【解答】解：①如图1，由折叠可知BF⊥MN，
∴∠BOM＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHP＝90°＝∠BOM，
∵∠BPH＝∠OPM，
∴∠CBF＝∠NMH，
∵∠MHN＝∠C＝90°，
∴△MHN∽△BCF，
故①正确；
②当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小，
当F与D重合时，如图2，此时MN最大，
由勾股定理得：BD＝5，
∵OB＝OD=52，
∵tan∠DBC=ONOB=CDBC，即ON52=34，
∴ON=158，
∵AD∥BC，
∴∠MDO＝∠OBN，
在△MOD和△NOB中，
∵∠MDO=∠OBNOD=OB∠DOM=∠BON，
∴△DOM≌△BON（ASA），
∴OM＝ON，
∴MN＝2ON=154，
∵点F在线段CD上（不与两端点重合），
∴折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜154；
故②正确；
③如图3，连接BM，FM，
当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3，
∵AD＝BC＝4，
∴AM＝BH＝1，
由勾股定理得：BM=32+12=10，
∴FM=10，
∴DF=FM2−DM2=(10)2−32=1，
∴CF＝3﹣1＝2，
设HN＝x，则BN＝FN＝x+1，
在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2，
∴（3﹣x）2+22＝（x+1）2，
解得：x=32，
∴HN=32，
∵CH＝3，
∴CN＝HN=32，
∴N为HC的中点；
故③正确；
④如图4，连接FM，
∵DF=13DC，CD＝3，
∴DF＝1，CF＝2，
∴BF=22+42=25，
∴OF=5，
设FN＝a，则BN＝a，CN＝4﹣a，
由勾股定理得：FN2＝CN2+CF2，
∴a2＝（4﹣a）2+22，
∴a=52，
∴BN＝FN=52，CN=32，
∵∠NFE＝∠CFN+∠DFQ＝90°，
∠CFN+∠CNF＝90°，
∴∠DFQ＝∠CNF，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△QDF∽△FCN，
∴QDFC=DFCN，即QD2=132，
∴QD=43，
∵tan∠HMN＝tan∠CBF=HNHM=CFBC，
∴HN3=24，
∴HN=32，
∴MN=32+(32)2=352，
∵CH＝MD＝HN+CN=32+32=3，
∴MQ＝3−43=53，
∴折叠后重叠部分的面积为：S△MNF+S△MQF=12⋅MN⋅OF+12⋅MQ⋅DF=12×352×5+12×53×1=5512；
法二：
折叠后重叠部分的面积为：
S△MNF+S△MQF
＝S正方形CDMH﹣S△QDF﹣S△NFC﹣S△MNH
＝3×3−12×43×1−12×32×2−12×32×3
=5512；
故④正确；
所以本题正确的结论有：①②③④；
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键．
三．解答题
10．（2022•仙桃）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若DG＝BC＝16，求AB的长．
【分析】（1）根据垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）根据相似三角形的判定定理，勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵EF是⊙O的切线，
∴DA⊥EF，
∵BC∥EF，
∴DA⊥BC，
∵DA是直径，
∴AB=AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC．
（2）解：连接DB，
∵BG⊥AD，
∴∠BGD＝∠BGA，
∵∠ABG+∠DBG＝90°，∠DBG+∠BDG＝90°，
∴∠ABG＝∠BDG，
∴△ABG∽△BDG，
∴AGBG=BGDG，
即BG2＝AG×DG，
∵BC＝16，BG＝GC，
∴BG＝8，
∴82＝16×AG，
解得：AG＝4，
在Rt△ABG中，BG＝8，AG＝4，
∴AB＝45．
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定定理，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键．
11．（2022•襄阳）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为BC的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC=BD，CG＝23，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，证明OD⊥DE即可；
（2）根据AC=BD相等，再由（1）中CD=BD可得，AC=CD=BD，从而得到∠CAD＝∠BAD＝∠ABC＝30°，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数求出AC、AG的长，从而求出△CAG的面积，在Rt△ABD中利用锐角三角函数求出AD的长，根据DE∥BC可得△ACG∽△AED，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示，
∵点D为BC的中点，
∴OD⊥BC
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接BD，如图所示，
∵AC=BD，
∴BD＝AC
∵点D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴AC=CD=BD，
∴AC的度数=CD的度数=BD的度数＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°．
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACG中，tan∠CAD=CGCA，sin∠CAD=CGAG
∴CA=CGtan30°，AG=CGsin30°
∵CG＝23，
∴CA＝23×3=6，AG＝43．
∴BD＝CA＝6，
∴S△ACG=12CG•AC＝63．
在Rt△ABD中，tan∠BAD=BDAD，
∴AD=BDtan30°=633=63．
∵DE∥BC，
∴△CAG∽△EAD，
∴S△CAGS△EAD=(AGAD)2，
即63S△EAD=49，
∴S△EAD=2732．
∴S阴影部分＝S△EAD﹣S△ACG=1532．
【点评】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，其中利用过圆心，平分弧然后根据垂径定理证明半径垂直于弦是解题的关键．
12．（2021•鄂州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若AGOG=23，AE＝4，求BC的长．
【分析】（1）利用∠ABE＝∠CDF以及平行四边形的性质，求证BE∥DF，AD∥BC即可判断四边形BEDF的形状；
（2）设AG＝2a，通过已知条件即可推出AGGC的值，再通过求证△AGE∽△CGB，利用相似比即可求出BC的长．
【解答】解：（1）四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠EBF＝∠EDF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，
∴BE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）设AG＝2a，∵AGOG=23，
∴OG＝3a，AO＝5a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，
∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，
∴AEBC=AGGC=14，
∵AE＝4，
∴BC＝16．
【点评】本题考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，根据题干条件熟练应用平行四边形的判定定理以及利用相似三角形的相似比去求线段的长是解题的关键．
13．（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DCDF=6，求cs∠ABD的值．
【分析】（1）连接OC交BD于点G，可证明四边形EDGC是矩形，可求得∠ECG＝90°，进而可求CE是⊙O的切线；
（2）连接BC，设FG＝x，OB＝r，利用DCDF=6，设DF＝t，DC=6t，利用Rt△BCG∽Rt△BFC的性质求出CG，OG，利用勾股定理求出半径，进而求解．
【解答】（1）证明：连接OC交BD于点G，
∵点C是BD的中点，
∴由圆的对称性得OC垂直平分BD，
∴∠DGC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EDB＝90°，
∵CE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∴四边形EDGC是矩形，
∴∠ECG＝90°，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，设FG＝x，OB＝r，
∵DCDF=6，
设DF＝t，DC=6t，
由（1）得，BC＝CD=6t，BG＝GD＝x+t，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠FCG＝90°，
∵∠DGC＝90°，
∴∠CFB+∠FCG＝90°，
∴∠BCG＝∠CFB，
∴Rt△BCG∽Rt△BFC，
∴BC2＝BG•BF，
∴（6t）2＝（x+t）（2x+t）
解得x1＝t，x2=−52t（不符合题意，舍去），
∴CG=BC2−BG2=(6t)2−(2t)2=2t，
∴OG＝r−2t，
在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG2＝OB2，
∴（r−2t）2+（2t）2＝r2，
解得r=322t，
∴cs∠ABD=BGOB=2t322t=223．
方法二、设CF＝n，
由△CBF∽△CAB，可得CB2＝CF•CA，
则AF=6t2n−n=6t2−n2n，
∵BF=BC2+CF2=6t2+n2，
∵△FDA∽△FCB，
∴FDFA=FCFB，
∴t6t2−n2n=n6t2+n2，
∴n=3t或10t（舍去），
∴BF＝3t，
∴BD＝4t，
∵△FDA∽△FCB，
∴BCAD=CFDF=3，
∴AD=2t，
∴AB＝32t，
∴cs∠ABD=DBAB=4t32t=223．
【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质等知识，解决本题的关键是能够利用圆的对称性，得到垂直平分，利用相似与勾股定理的性质求出边，即可解答．
14．（2021•仙桃）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．
【分析】（1）由两角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEC；
（2）由相似三角形的性质可得S△ABCS△DEC=（CBCE）2=49，即可求解．
【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC；
（2）∵△ABC∽△DEC；
∴S△ABCS△DEC=（CBCE）2=49，
又∵BC＝6，
∴CE＝9．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABC∽△DEC是本题的关键．
15．（2020•仙桃）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当CF＝2，BE＝3时，求AF的长．
【分析】（1）连接OD，AD，根据切线的判定即可求证．
（2）先证明△EOD∽△EAF，设OD＝x，根据相似三角形的性质列出关于x的方程从而可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BAC＝2∠BDE，
∴∠BDE＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠BDE+∠ODB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
即DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BO＝AO，
∴OD∥AC，
∴△EOD∽△EAF，
∴ODAF=EOEA，
设OD＝x，
∵CF＝2，BE＝3，
∴OA＝OB＝x，
AF＝AC﹣CF＝2x﹣2，
EO＝x+3，EA＝2x+3，
∴x2x−2=x+32x+3，
解得x＝6，
经检验，x＝6是分式方程的解，
∴AF＝2x﹣2＝10．
【点评】本题考查了圆的综合问题，涉及切线的判定，相似三角形的性质与判定，解方程等知识，需要学生灵活运用所学知识．
16．（2020•黄冈）已知：如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，点D是AE上一点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：AD2＝DF•DB．
【分析】（1）根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA＝90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE＝90°，则CB⊥AB，从而证得BC是⊙O的切线；
（2）通过证得△ADF∽△BDA，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∵∠CBE＝∠BDE，∠BDE＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠CBE，
∴∠EBA+∠CBE＝90°，即∠ABC＝90°，
∴CB⊥AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵∠DAF＝∠DBE，
∴∠DAF＝∠ABD，
∵∠ADB＝∠ADF，
∴△ADF∽△BDA，
∴ADBD=DFAD，
∴AD2＝DF•DB．
【点评】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
17．（2020•荆州）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，
（1）求证：△EGC∽△GFH；
（2）求AD的长；
（3）求tan∠GFH的值．
【分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠的性质得出∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，证得∠EGC＝∠GFH，则可得出结论；
（2）由面积关系可得出GH：AH＝2：3，由折叠的性质得出AG＝AB＝GH+AH＝20，求出GH＝8，AH＝12，则可得出答案；
（3）由勾股定理求出DG＝16，设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，由勾股定理得出方程82+x2＝（16﹣x）2，解出x＝6，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，
∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，
∴∠EGC＝∠GFH，
∴△EGC∽△GFH．
（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，
∴GH：AH＝2：3，
∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，
∴AG＝AB＝GH+AH＝20，
∴GH＝8，AH＝12，
∴AD＝AH＝12．
（3）解：在Rt△ADG中，DG=AG2−AD2=202−122=16，
由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，
∵GH2+HF2＝GF2，
∴82+x2＝（16﹣x）2，
解得：x＝6，
∴HF＝6，
在Rt△GFH中，tan∠GFH=GHHF=86=43．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
18．（2020•武汉）问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，ADBD=3，求DFCF的值；
拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝23，直接写出AD的长．
【分析】问题背景
由题意得出ABAD=ACAE，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝∠CAE，可证得结论；
尝试应用
连接EC，证明△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出AEEC=ADBD=3，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，可证明△ADF∽△ECF，得出DFCF=ADCE=3，则可求出答案．
拓展创新
过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质得出BDMD=DCDA，证明△BDM∽△CDA，得出BMCA=DMAD=3，求出BM＝6，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出AD的长．
【解答】问题背景
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴ABAD=ACAE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，ABAC=ADAE，
∴△ABD∽△ACE；
尝试应用
解：如图1，连接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴AECE=ADBD=3，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴ADAE=3，
∴ADEC=ADAE×AECE=3×3=3．
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴DFCF=ADCE=3．
拓展创新
解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴BDMD=DCDA，
又∠BDC＝∠MDA，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴BMCA=DMDA=3，
∵AC＝23，
∴BM＝23×3=6，
∴在Rt△ABM中，AM=BM2−AB2=62−42=25，
∴AD=12AM=5．
【点评】此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（2021•荆州）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．
【分析】（1）①由矩形的性质和同角的余角相等证明△CDG与△GAH的两组对应角相等，从而证明△CDG∽△GAH；
②由翻折得∠AGB＝∠DAC＝∠DCG，而tan∠DAC=12，可求出DG的长，进而求出GA的长，由tan∠GHC即∠GHC的对边与邻边的比恰好等于相似三角形△CDG与△GAH的一组对应边的比，由此可求出tan∠GHC的值；
（2）△GCF与△AEF都是直角三角形，由tan∠DAC=12可分别求出CG、AG、AE、EF、AF、CF的长，再由直角边的比不相等判断△GCF与△AEF不全等．
【解答】（1）如图1，
①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠GAH＝90°，
∴∠DCG+∠DGC＝90°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠AGH+∠DGC＝90°，
∴∠DCG＝∠AGH，
∴△CDG∽△GAH．
②由翻折得∠EGF＝∠EAF，
∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，
∵CD＝AB＝2，AD＝4，
∴DGCD=AHAG=CDAD=tan∠DAC=24=12，
∴DG=12CD=12×2＝1，
∴GA＝4﹣1＝3，
∵△CDG∽△GAH，
∴CGGH=CDGA，
∴tan∠GHC=CGGH=CDGA=23．
（2）不全等，理由如下：
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC=42+22=25，
∵∠GCF＝90°，
∴CGAC=tan∠DAC=12，
∴CG=12AC=12×25=5，
∴AG=(25)2+(5)2=5，
∴EA=12AG=52，
∴EF＝EA•tan∠DAC=52×12=54，
∴AF=(52)2+(54)2=554，
∴CF＝25−554=354，
∵∠GCF＝∠AEF＝90°，而CG≠EA，CF≠EF，
∴△GCF与△AEF不全等．
【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法，特别是第（2）题，使用计算说理的方法判定三角形不全等，内容和方法新颖独到，是很好的考题．
20．（2022•仙桃）问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证ABAC=BDCD．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明ABAC=BDCD．
尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：ABAC=BDCD；
应用拓展：
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．
【分析】（1）证明△CED∽△BAD，由相似三角形的性质得出CEAB=CDBD，证出CE＝CA，则可得出结论；
（2）①由折叠的性质可得出∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，ABAC=BDCD，由勾股定理求出BC=5，则可求出答案；
②由折叠的性质得出∠C＝∠AED＝α，则tan∠C＝tanα=ABAC，方法同①可求出CD=m1+tanα，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，
∴△CED∽△BAD，
∴CEAB=CDBD，
∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD，
∴∠E＝∠CAD，
∴CE＝CA，
∴ABAC=BDCD．
（2）解：①∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，
由（1）可知，ABAC=BDCD，
又∵AC＝1，AB＝2，
∴21=BDCD，
∴BD＝2CD，
∵∠BAC＝90°，
∴BC=AC2+AB2=12+22=5，
∴BD+CD=5，
∴3CD=5，
∴CD=53；
∴DE=53；
②∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α，
∴tan∠C＝tanα=ABAC，
由（1）可知，ABAC=BDCD，
∴tanα=BDCD，
∴BD＝CD•tanα，
又∵BC＝BD+CD＝m，
∴CD•tanα+CD＝m，
∴CD=m1+tanα，
∴DE=m1+tanα．
【点评】本题是相似形综合题，考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（2021•武汉）问题提出
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），则△CDE为等腰直角三角形，故DE＝EF=2CF，进而求解；
（2）由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），再证明△BCG≌△ACF（ASA），得到△GCF为等腰直角三角形，则GF=2CF，即可求解；
（3）证明△BCE∽△CAD和△BGC∽△AFC，得到BGAF=BCAC=k=GCCF，则BG＝kAF，GC＝kFC，进而求解．
【解答】解：（1）如图（2），∵∠ACD+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，
而点D、F重合，故BE＝AD＝AF，
而△CDE为等腰直角三角形，
故DE＝EF=2CF，
则BF＝BD＝BE+ED＝AF+2CF；
即BF﹣AF=2CF；
（2）如图（1），由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AD，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴GC＝FC，BG＝AF，
故△GCF为等腰直角三角形，则GF=2CF，
则BF＝BG+GF＝AF+2CF，
即BF﹣AF=2CF；
（3）由（2）知，∠BCE＝∠ACD，
而BC＝kAC，EC＝kDC，
即BCAC=ECCD=k，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
由（2）知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴BGAF=BCAC=k=GCCF，
则BG＝kAF，GC＝kFC，
在Rt△CGF中，GF=GC2+FC2=(kFC)2+FC2=k2+1•FC，
则BF＝BG+GF＝kAF+k2+1•FC，
即BF﹣kAF=k2+1•FC．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了三角形全等和相似、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中．