第八章 幂的运算 【过关测试提优】-2023-2024学年七年级数学下册单元复习过过过（苏科版）

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幂的运算（提优）一．选择题（共7小题）1．计算22021×（14）1010的值为（　　）A．22021 B．12 C．2 D．（12）2021【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据积的乘方进行计算，最后求出答案即可．【解答】解：22021×(14)1010＝2×22020×(14)1010=(22)1010×(14)1010×2 =41010×(14)1010×2 =(4×14)1010×2 ＝11010×2＝1×2＝2．故选：C．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方和有理数的混合运算，能正确运用积的乘方的逆运算进行计算是解此题的关键．2．如果a＝（﹣99）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c=(−13)−2，那么a、b、c的大小关系为（　　）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【分析】根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，任何非零数的零指数次幂等于1求出a、b、c，然后按照从大到小的顺序排列即可．【解答】解：a＝（﹣99）0＝1，b＝（﹣0.1）﹣1＝﹣10，c＝（−13）﹣2＝9，所以c＞a＞b．故选：B．【点评】本题考查了负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数的性质，零指数幂的定义，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．3．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（　　）A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12【分析】根据积的乘方法则展开得出a3mb3n＝a9b15，推出3m＝9，3n＝15，求出m、n即可．【解答】解：∵（ambn）3＝a9b15，∴a3mb3n＝a9b15，∴3m＝9，3n＝15，∴m＝3，n＝5，故选：B．【点评】本题考查了积的乘方的运用，关键是检查学生能否正确运用法则进行计算，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．4．已知am＝3，an＝2，那么am+n+2的值为（　　）A．8 B．7 C．6a2 D．6+a2【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质的逆用解答即可．【解答】解：am+n+2＝am•an•a2＝3×2×a2＝6a2．故选：C．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．5．（﹣0.125）2018×82019等于（　　）A．﹣8 B．8 C．0.125 D．﹣0.125【分析】先将原式变形为（﹣0.125）2018×82018×8，再根据积的乘方法则进行计算即可．【解答】解：（﹣0.125）2018×82019＝（﹣0.125）2018×82018×8＝（﹣0.125×8）2018×8＝1×8＝8，故选：B．【点评】本题主要考查积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方运算法则的逆运算．6．下列计算①（﹣1）0＝﹣1；②(−2)−2=−14；③2a−2=12a2；④用科学记数法表示﹣0.0000108＝1.08×10﹣5；⑤（﹣2）2011+（﹣2）2010＝﹣22010．其中正确的个数是（　　）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】根据有理数的乘方、负整数指数幂运算及科学记数法等知识对每个计算注意判断得出答案．【解答】解：①（﹣1）0＝1≠﹣1，错误；②（﹣2）﹣2=1(−2)2=14≠−14，错误；③2a﹣2=2a2≠12a2，错误；④﹣0.0000108＝﹣1.08×10﹣5≠1.08×10﹣5，错误；⑤（﹣2）2011+（﹣2）2010＝（﹣2）2010×（﹣2+1）＝﹣（﹣2）2010＝﹣22010，正确；只有⑤正确；故选：C．【点评】此题考查的知识点是乘方的运算能力，关键是熟悉运算法则．7．下列各项中的两个幂，其中是同底数幂的是（　　）A．﹣a与（﹣a） B．a与（﹣a） C．﹣a与a D．（a﹣b）与（b﹣a）【分析】根据带有负号的数的乘方的书写规范，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、﹣a的底数是a，（﹣a）的底数是﹣a，故不是同底数幂；B、a的底数是a，（﹣a）的底数是﹣a，故不是同底数幂；C、﹣a的底数是a，a的底数是a，故是同底数幂D、（a﹣b）与（b﹣a）底数互为相反数，故不是同底数幂．故选：C．【点评】本题主要考查带有负号的数的乘方的书写规范，良好的书写习惯对学好数学大有帮助．二．填空题（共8小题）8．某球形病毒颗粒直径约为0.0000001，将0.0000001用科学记数法表示为 　1×10﹣7　．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000001＝1×10﹣7，故答案为：1×10﹣7．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．计算（﹣2a2b）2＝　4a4b2　．【分析】直接利用积的乘方运算法则求出答案．【解答】解：（﹣2a2b）2＝4a4b2．故答案为：4a4b2．【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确运用积的乘方运算法则是解题关键．10．若am＝2，an＝3，则a3m+2n＝　72　．【分析】利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形，进而求出答案．【解答】解：∵am＝2，an＝3，∴a3m+2n＝（am）3×（an）2＝23×32＝72．故答案为：72．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．11．若（2x﹣3）x+3﹣1＝0，则x＝　﹣3或2或1　．【分析】根据任何非零数的零次幂等于1以及﹣1的偶次幂为1计算即可．【解答】解：∵（2x﹣3）x+3﹣1＝0，∴（2x﹣3）x+3＝1，①当x+3＝0，即x＝﹣3时，（﹣9）0＝1；②当2x﹣3＝1，即x＝2时，15＝1；③当2x﹣3＝﹣1，即x＝1时，（﹣1）4＝1；故答案为﹣3或2或1．【点评】本题主要考查了零次幂和﹣1的偶次幂，熟记相关定义是解答本题的关键．12．计算a6÷a2的结果等于　a4　．【分析】同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此求解即可．【解答】解：a6÷a2＝a6﹣2＝a4．故答案为：a4．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．13．若a+3b﹣2＝0，则3a•27b＝　9　．【分析】根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算法则得出即可．【解答】解：∵a+3b﹣2＝0，∴a+3b＝2，则3a•27b＝3a×33b＝3a+3b＝32＝9．故答案为：9【点评】此题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．14．计算：22018•（−12）2019＝　−12　．【分析】（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）；（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）．【解答】解：原式＝22018•（−12）2018•（−12）＝[2×(−12)]2018⋅(−12)＝（﹣1）2018⋅(−12)=−12．故答案为−12．【点评】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练运用公式是解题的关键．15．已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方．在“（a2•a3）2＝（a2）2（a3）2＝a4•a6＝a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的　③②①　（按运算顺序填序号）．【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，可得答案．【解答】解：①同底数幂的乘法，②幂的乘方，③积的乘方．在“（a2•a3）2＝（a2）2（a3）2＝a4•a6＝a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的③②①，故答案为：③②①．【点评】本题考查了幂的乘方，熟记同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方是解题关键．三．解答题（共8小题）16．计算（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4 （2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2； （4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2•a]．【分析】（1）根据同底数幂的乘法计算即可；（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算即可；（3）根据幂的乘方、同底数幂的乘法和合并同类项解答即可；（4）根据积的乘方和同底数幂的除法计算即可．【解答】解：（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4 ＝（n﹣m）2+3+4，＝（n﹣m）9；（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1＝b6n•b12n÷b5n+5＝b6n+12n﹣5n﹣5＝b13n﹣5；（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2 ＝a6﹣a6+4a6＝4a6；（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2•a]＝﹣64a3m+3÷8a2m+1＝﹣8am+2【点评】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：同底数幂的乘法（除法）运算法则，积的乘方及幂的乘方运算法则以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．17．（1）已知10m＝4，10n＝5，求10m+n的值．（2）如果a+3b＝4，求3a×27b的值．【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．【解答】解：（1）10m+n＝10m•10n＝5×4＝20；（2）3a×27b＝3a×33b＝3a+3b＝34＝81．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．18．若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：（1）如果2x•23＝32，求x的值；（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：（1）∵2x•23＝32，∴2x+3＝25，∴x+3＝5，∴x＝2；（2）∵2÷8x•16x＝25，∴2÷23x•24x＝25，∴21﹣3x+4x＝25，∴1+x＝5，∴x＝4；（3）∵x＝5m﹣2，∴5m＝x+2，∵y＝3﹣25m，∴y＝3﹣（5m）2，∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确计算的前提．19．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　3　，（4，1）＝　0　（2，0.25）＝　﹣2　；（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可；（2）根据已知得出3a＝5，3b＝6，3c＝30，求出3a×3b＝30，即可得出答案．【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，故答案为：3，0，﹣2；（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝30，∴3a×3b＝3c，∴a+b＝c．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的混合运算等知识点，能灵活运用同底数幂的乘法法则进行变形是解此题的关键．20．阅读材料：（1）1的任何次幂都为1；（2）﹣1的奇数次幂为﹣1；（3）﹣1的偶数次幂为1；（4）任何不等于零的数的零次幂为1．请问当x为何值时，代数式（2x+3）x+2016的值为1．【分析】分为2x+3＝1，2x+3＝﹣1，x+2016＝0三种情况求解即可．【解答】解：①当2x+3＝1时，解得：x＝﹣1，此时x+2016＝2015，则（2x+3）x+2016＝12015＝1，所以x＝﹣1符合题意．②当2x+3＝﹣1时，解得：x＝﹣2，此时x+2016＝2014，则（2x+3）x+2016＝（﹣1）2014＝1，所以x＝﹣2符合题意．③当x+2016＝0时，x＝﹣2016，此时2x+3＝﹣4029，则（2x+3）x+2016＝（﹣4029）0＝1，所以x＝﹣2016符合题意．综上所述，当x＝﹣1，或x＝﹣2，或x＝﹣2016时，代数式（2x+3）x+2016的值为1．【点评】本题主要考查的是零指数幂的性质、有理数的乘方，分类讨论是解题的关键．21．已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3＝p，a3﹣a﹣3＝q成立．（1）若p+q＝4，求p﹣q的值；（2）当q2＝22n+122n−2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+14）的大小，并说明理由．【分析】（1）根据已知条件可得a3＝2，代入可求p﹣q的值；（2）根据作差法得到p﹣（a3+14）＝2﹣n−14，分三种情况：当n＝1时；当n＝2时；当n≥3时进行讨论即可求解．【解答】解：（1）∵a3+a﹣3＝p①，a3﹣a﹣3＝q②，∴①+②得，2a3＝p+q＝4，∴a3＝2；①﹣②得，p﹣q＝2a﹣3=2a3=1．（2）∵q2＝22n+122n−2（n≥1，且n是整数），∴q2＝（2n﹣2﹣n）2，∴q＝2n﹣2﹣n，又由（1）中①+②得2a3＝p+q，a3=12（p+q），①﹣②得2a﹣3＝p﹣q，a﹣3=12（p﹣q），∴p2﹣q2＝4，p2＝q2+4＝（2n+2﹣n）2，∴p＝2n+2﹣n，∴a3+a﹣3＝2n+2﹣n③，a3﹣a﹣3＝2n﹣2﹣n④，∴③+④得2a3＝2×2n，∴a3＝2n，∴p﹣（a3+14）＝2n+2﹣n﹣2n−14=2﹣n−14，当n＝1时，p＞a3+14；当n＝2时，p＝a3+14；当n≥3时，p＜a3+14．【点评】考查了负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数），关键是加减消元法和作差法的熟练掌握．22．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（5，125）＝　3　，（﹣2，﹣32）＝　5　；②若(x，116)=−4，则x＝　±2　．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．【分析】根据新定义的运算和表示方法，依据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：（1）①因为53＝125，所以（5，125）＝3；因为（﹣2）5＝﹣32，所以（﹣2，﹣32）＝5；②由新定义的运算可得，x﹣4=116，因为（±2）﹣4=1(±2)4=116，所以x＝±2，故答案为：①3，5；②±2；（2）因为（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，所以4a＝5，4b＝6，4c＝30，因为5×6＝30，所以4a•4b＝4c，所以a+b＝c．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确计算的前提，理解新定义的运算是解决问题的关键．23．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算下列各对数的值：log24＝　2　；log216＝　4　；log264＝　6　．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．（2）观察可得：三数4，16，64之间满足的关系式为：log24+log216＝log264．（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；（4）首先可设设M＝am，N＝an，再根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明结论．【解答】解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，故答案为：2；4；6；（2）∵4×16＝64，∴log24+log216＝log264；（3）logaM+logaN＝logaMN；（4）设M＝am，N＝an，∵logaam=m，logaan=n，logaam+n=m+n，∴logaam+logaan=logaam+n，∴logaM+logaN=logaMN．【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．