江苏省苏锡常镇2024届高三下学期教学情况调研（一）数学试卷

这是一份江苏省苏锡常镇2024届高三下学期教学情况调研（一）数学试卷，共12页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，函数在区间内的零点个数为，莱莫恩，已知正项数列满足，若，则，已知复数，下列说法正确的有，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
2024.3
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则（ ）
A.-2 B.-1 C.242 D.243
3.已知平面向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4.青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：）近似服从正态分布，且身高在到之间的人数占样本量的，则样本中身高不低于的约有（ ）
A.150人 B.300人 C.600人 D.900人
5.函数在区间内的零点个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
6.在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.4
7.莱莫恩（Lemine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemine线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的Lemine线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知正项数列满足，若，则（ ）
A. B.1 C. D.2
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，下列说法正确的有（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则或 D.若，则
10.已知函数，则（ ）
A.的最小正周期为 B.的图象关于点对称
C.不等式无解 D.的最大值为
11.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ）
A.当时，平面
B.任意，三棱锥的体积是定值
C.存在，使得与平面所成的角为
D.当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知变量的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现与之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为，据此模型预测当时的值为__________.
13.已知，则的最小值为__________.
14.在平面直角坐标系中，已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.记线段的中点为，若线段的中点在上，则的值为__________；的值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）证明：；
（2）若，求的周长.
16.（15分）
如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，且.
（1）证明：平面；
（2）当二面角为时，求.
17.（15分）
我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭.
（1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
（2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
18.（17分）
在平面直角坐标系中，已知点，过椭圆的上项点作两条动直线分别与交于另外两点.当时，.
（1）求的值；
（2）若，求和的值.
19.（17分）
已知函数，函数.
（1）若过点的直线与曲线相切于点，与曲线相切于点.
①求的值；
②当两点不重合时，求线段的长；
（2）若，使得不等式成立，求的最小值.
2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学
参考答案
1.【答案】D
【解析】
或，则，选D.
2.【答案】C
【解析】
时，
，选C.
3.【答案】B
【解析】，所以，所以，所以，
，选B.
4.【答案】A
【解析】
，
，选A.
5.【答案】C
【解析】
，则；在
选C.
6.【答案】B
【解析】
，则，选故答案选B.
7.【答案】B
【解析】
的外接圆设为，
外接圆：，即，
在处切线：排除.
在处切线，选B.
8.【答案】D
【解析】
时，时，
，
，选D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】AC
【解析】
，则，A对.
，则满足条件，，B错.
或对.
令，
，则，
不一定为错，选.
10.【答案】BD
【解析】
不是的周期，
A错.
关于对称，B对.
有解，错，选BD.
，求的最小值.
令，当且仅当，即时取"="，D对，选BD.
11.【答案】ACD
【解析】
时，与重合，平面为平面面，
平面对.
不与平面平行，到面的距离不为定值，
三棱锥的体积不为定值，B错.
当在时，与平面所成角的正弦值为，此时与平面所成角小于，当在时，与平面所成角为存在使与平面所成角为正确.
如图所示建系，，
设平面的法向量为
不妨设，则.
，则，平面的法向量，球心，
到面的距离，外接球半径，
截面圆半径对，选ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】7.4
【解析】
13.【答案】
【解析】
，
即，令，
.
在
此时.
14.【答案】2；5
【解析】
为过焦点的弦，中点为，过作准线的垂线，垂足为，
则的中点在抛物线上.的中点在抛物线上，重合.
令.
，消可得.
.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【解析】
（1）证明：
或（舍），.
（2），
，
，
由正弦定理
的周长为.
16.【解析】
（1）设，如图建系.
，
设平面的：一个法向量为，
平面.
（2）平面的一个法向量，
.
17.【解析】
（1）起火点被无人机击中次数的所有可能取值为
，
.
的分布列如下：
.
（2）击中一次被扑灭的概率为
击中两次被火扑灭的概率为
击中三次被火扑灭的概率为
所求概率.
18.【解析】
（1）
由
，解得.
（2）
设，
则.
对比两点方程知过与重合.
，解得.
19.【解析】
（1）①，设
切点.
方程：，即
或1
②当时，，此时重合，舍去.
当时，，此时
此时.
（2）令
在上
取补集，对，均有成立，即恒成立
或
而对经检验均有成立，原命题中
而时，，注意到
在上成立，符合.
综上：的最小值为1.5
6
7
8
9
3.5
4
5
6
6.5
0
1
2
3