江苏省盐城市五校联考2023-2024学年高二下学期第一次学情调研检测（3月）数学试题

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（总分150分 考试时间120分钟）
注意事项：
1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．
2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．
3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）
1．已知向量，且，那么实数k的值为（ ）
A．B．2C．D．
2．已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在四面体OABC中，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．6
5．若数列满足，则（ ）
A．B．11C．D．
6．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
7．已知长方体中，若，E是CD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段AP长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）
9．下列命题中正确的是（ ）
A．，与夹角为钝角，则x的取值范围是
B．在空间直角坐标系中，已知点P（1，2，3），点P关于坐标原点对称点的坐标为
C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D．任意空间向量满足
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的单调递减区间是（0，e）
B．f（x）在点处的切线方程是
C．若方程只有一个解，则
D．设，若对，，使得成立，则
11．如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E在同一个平面内．若点M在四边形BCDE内（包含边界）运动，N为AE的中点，则（ ）
A．当M为DE的中点时，异面直线MN与CF所成角为
B．当平面ACD时，点M的轨迹长度为
C．当时，点M到BC的距离可能为
D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入Ω内
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）
12．已知，则______．
13．若向量，则______．
14．用[x]表示不超过x的最大整数，已知数列满足：，．若，则______；若，则______．
四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分13分）已知向量，O为坐标原点，点．
（1）求；
（2）若点E在直线AB上，且，求点E的坐标．
16．（本小题满分15分）等差数列中，，
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
17．（本小题满分15分）已知函数在处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）当时，求函数f（x）的最小值．
18．（本小题满分17分）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点．
（1）证明：平面PAD；
（2）若，
（i）求二面角P—DM—B的余弦值；
（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分17分）已知点为双曲线上的动点．
（1）判断直线与双曲线的公共点个数，并说明理由；
（2）（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；
（ii）将双曲线C：的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为，请利用该方程证明如下命题：若T（m，n）为双曲线C上一点，直线l：与C的两条渐近线分别交于点P、Q，则T为线段PQ的中点．
2023/2024学年度第二学期
联盟校第一次学情调研检测高二年级数学参考答案
第Ⅰ卷
一、单选
二、多选
第Ⅱ卷
三、填空
12．13．14．，2
四、简答题
15．（本小题满分13分）解：（1），
则
故
（2）点E在直线AB上，则可设
∵，
∴，即，解得
故点E的坐标为．
16．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d
∵，∴ 解得，
∴
（Ⅱ）∵
∴
17．（本小题满分15分）解：（1），
又函数f（x）在处取得极值，则 即，
此时f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
所以当时满足条件，所以；
（2）由（1）可知f（x）在上单调递增，单调递减
所以当时，函数f（x）的最小值是，f（1）中的较小者；
；故函数f（x）的最小值为．
18．（本小题满分17分）（1）证明：取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点，
∴，∵，∴，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴，
又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．
（2）解：∵，∴，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，
∴平面ABCD，
又AD，平面ABCD，∴，
又，由，
∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则P（0，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，2，0），∵M为棱PC的中点，
∴
（i）
设平面BDM的一个法向量为，
则，令，则，∴，
平面PDM的一个法向量为，
∴，
∴二面角P—DM—B的余弦值为
（ii）假设在线段PA上是存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，
设
则，
由（2）知平面BDM的一个法向量为，，
∴点Q到平面BDM的距离是，
∴，∴．
19．（本小题满分17分）
解：（1）∵点在双曲线上，∴①
由得代入①整理得
∴故该直线与双曲线有且只有一个公共点
（2）（i）过双曲线上一点的切线方程
（ii）当时，直线l的斜率不存在，由对称性知，点T为线段PQ的中点．
当时，设，线段PQ的中点N（t，s）
由得，由整理得
∴
又∵，∴
∴点T与点N重合
综上所述点T为线段PQ的中点1
2
3
4
5
6
7
8
D
B
A
C
A
D
B
C
9
10
11
BC
BD
ACD