上海市上海中学东校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

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一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知点，有，则点的轨迹是______.
【答案】线段
【解析】由椭圆定义即可知
2.椭圆的一个焦点是，则的值为______.
【答案】1
【解析】把椭圆方程化为标准方程得：，
因为焦点坐标为，所以长半轴在轴上，
则，解得．
3.已知平行四边形中，一组对边、所在直线的方程分别为，，求实数的值______.
【答案】
【解析】因为，，整理可得，，
由题意可得：，则，且，解得
4.以椭圆的两个焦点和短轴两个顶点为四个顶点的椭圆方程为______.
【答案】
【解析】由题意知，所求椭圆的四个顶点坐标为
即焦点在轴上，且
则椭圆方程为
5.已知直线与直线的距离为，求实数的值为______.
【答案】或
【解析】直线可化为，
直线可化为，
所以，解得或．
6.已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若△的面积为9，则的值为______.
【答案】3
【解析】，
；①
又，
，②
①②得：，
，
△的面积为9，
，，
．
7.圆上到直线的距离等于1的点有______个.
【答案】3
【解析】由题意知圆心为，半径为
圆心到直线的距离为
则圆上到直线的距离等于1的点有3个
8.设点是圆上任意一点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】点是圆上任意一点，
，，
，
，
，，
，
解得或．
的取值范围是
9.已知两条直线，，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，求的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题知得直线即，倾斜角为，
设直线的倾斜角为，则，且，
所以过原点的直线，的夹角在内变化时，
则，即，解得且，
故且，即的取值范围是．
10.已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，，当周长最大时，直线的方程为______.
【答案】
【解析】椭圆方程：，，，，如图所示设椭圆的左焦点为，
，
则，，
的周长，当且仅当三点，，共线时取等号．
则直线的方程：，整理得，
11.已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足时，均能使成立，则的最小值是______.
【答案】
【解析】根据题意设，，；
，
又，
即；
它表示圆心在，半径为的圆；
则圆心到点的距离为，
的最大值为；
要使成立，则的最小值是
12.已知、是椭圆的左、右焦点，是上一动点，记，，若，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】在△中由正弦定理可得：，
由等比性质可得，
，
又，
，
，代入上式可得，
，则椭圆的离心率为
13.已知曲线，直线，若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】曲线，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且，，
对于点，存在上的点和上的使得，
说明是的中点，的横坐标，
14.已知曲线的方程是，给出下列四个结论：
①曲线与两坐标轴有公共点；②曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③若点，都在曲线上，则的最大值是；
④曲线围成图形的面积大小在区间内．
所有正确结论的序号是______.
【答案】②③
【解析】曲线的方程是，必有且，
当，时，方程为，
当，时，方程为，
当，时，方程为，
当，时，方程为，
作出图象：
对于①，由于，，曲线与坐标轴没有交点，故①错误；
对于②，由图可知，曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，故②正确；
对于③，若点，在曲线上，则当且仅当、与圆弧所在的圆心共线时取得最大值，
故的最大值是圆心距加两个半径，为，故③正确；
对于④，当，时，方程为与坐标轴的交点，，，
则第一象限面积为，
故总的面积，故④错误．
所有正确结论的序号是②③．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
15.已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ）.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】
，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限
故选A
16.已知直线与直线，则下列结论中正确的是
A．直线与直线可能重合
B．直线与直线可能垂直
C．直线与直线可能平行
D．存在直线上一点，直线绕点旋转后可与直线重合
【答案】BD
【解析】直线的斜率为，
直线的斜率，
，，不可能相等，
直线与直线不可能重合，也不可能平行，故，均错误；
当时，，，直线与直线可能垂直，故正确；
直线与直线不可能重合，也不可能平行，
直线与直线一定有交点，
存在直线上一点，直线绕点旋转后可与直线重合，故正确．
故选：．
17.已知实数满足，则直线与圆的位置关系是（ ）
A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
【答案】C
【解析】圆心到直线的距离为
，即
故直线与圆相交，圆心代入直线方程得到，不符合题意
故选C
18.将曲线与曲线合成的曲线记作. 设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（ ）
A.①②均正确 B.①②均错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确
【答案】C
【解析】当时，设直线，联立直线与两个曲线方程求出交点，
，，
设，则有，因为
消去可得，此时点是在一个椭圆上的；
当时，当两点都在曲线上时，
，即
所以，此时点在直线上；
当两点都在曲线时，同理可得点在直线上，
显然点不在同一条直线上，故选C.
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
19.（本题满分14分）判断圆与圆的位置关系并说明理由。若有公共点，则求出公共点坐标。
【答案】内切，公共点为
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为
圆的标准方程为，圆心为，半径为
圆心距为
则两圆内切
联立
则公共点坐标为
20.（本题满分14分）
已知直线，试求：
（1）点关于直线的对称点的坐标；
（2）直线关于直线对称的直线方程；
（3）直线关于点对称的直线方程．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）设点关于直线 的对称点的坐标为，则有题意可得，解得，
故点关于直线的对称点的坐标为．
（2）由可得，直线与直线的交点为，再在直线上取一点，设点关于直线的对称点为，
则由解得，即．
由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为
则直线方程为
化简为．
（3）在直线上任意取出两个点，求出这两个点关于点对称点分别为
由题意可得，是所求直线上的两个点，则直线斜率为3
则所求直线方程为，即．
21.（本题满分14分）
已知直线
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（2）判断直线与直线的位置关系
（3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【答案】（1）；（2）当时，两直线平行，当时，两直线相交；（3）的最小值为4，
【解析】
（1）由直线不经过第四象限，．
则，
（2）当时，两直线平行，当时，两直线相交
（3）直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面为，
由直线的方程可得与坐标轴的交点，，，，解得：．
，当且仅当时取等号．
的最小值为4，及此时直线的方程为：．
22.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于，经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处为河岸），．
（1）求新桥的长；
（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？
【答案】（1）150；（2）10；
【解析】
（1）如图，
过作于，过作于，
，，
，
．
设，则．
，
，，
．
，
．
．
，
解得：．
，，
则；
（2）如图，
设与切于，延长、交于，
，
．
设，则，．
，．
设半径为，
．
、到上任一点距离不少于，
则，，
，．
解得：．
当且仅当时取到最大值．
时，保护区面积最大．
23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，上顶点为，设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．
（1）求椭圆的方程。
（2）求点到椭圆上点的距离的最大值；
（3）求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）由题意知，，则椭圆的方程为
（2）设椭圆上任意一点，则，，，
而函数的对称轴为，则其最大值为，
，即点到椭圆上点的距离的最大值为；
（3）设直线，
联立直线与椭圆方程有，消去并整理可得，，
由韦达定理可得，，
，
设，，，，直线，直线，
联立以及，
可得，
由弦长公式可得
，
当且仅当时等号成立，
的最小值为．