苏科版七年级下册第7章 平面图形的认识（二）7.2 探索平行线的性质巩固练习

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一．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
二．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
三．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
一．平行线的性质（共13小题）
1．（2021秋•仁寿县期末）如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°，则下列结论：
①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．
其中正确的个数有多少个？（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由于AB∥CD，则∠ABO＝∠BOD＝a°，利用平角等于得到∠BOC＝（180﹣a）°，再根据角平分线定义得到∠BOE＝（180﹣a）°；利用OF⊥OE，可计算出∠BOF＝a°，则∠BOF＝∠BOD，即OF平分∠BOD； 利用OP⊥CD，可计算出∠POE＝a°，则∠POE＝∠BOF； 根据∠POB＝90°﹣a°，∠DOF＝a°，可知④不正确．
【解答】解：①∵AB∥CD，
∴∠BOD＝∠ABO＝a°，
∴∠COB＝180°﹣a°＝（180﹣a）°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COB＝（180﹣a）°．故①正确；
②∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣（180﹣a）°＝a°，
∴∠BOF＝∠BOD，
∴OF平分∠BOD所以②正确；
③∵OP⊥CD，
∴∠COP＝90°，
∴∠POE＝90°﹣∠EOC＝a°，
∴∠POE＝∠BOF； 所以③正确；
∴∠POB＝90°﹣a°，
而∠DOF＝a°，所以④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等．
2．（2021秋•宜宾期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
3．（2021秋•安居区期末）一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD＝ 270 度．
【分析】作CH⊥AE于H，如图，根据平行线的性质得∠ABC+∠BCH＝180°，∠DCH+∠CHE＝180°，则∠DCH＝90°，于是可得到∠ABC+∠BCD＝270°．
【解答】解：作CH⊥AE于H，如图，
∵AB⊥AE，CH⊥AE，
∴AB∥CH，
∴∠ABC+∠BCH＝180°，
∵CD∥AE，
∴∠DCH+∠CHE＝180°，
而∠CHE＝90°，
∴∠DCH＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°+90°＝270°．
故答案为270．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
4．（2021秋•玄武区期末）下列说法错误的是（ ）
A．经过两点，有且仅有一条直线
B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据平行公理及推理，平行线的判定以及线段的性质判断．
【解答】解：A、经过两点，有且仅有一条直线，故本选项说法正确，不符合题意．
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项说法正确，不符合题意．
C、两点之间的所有连线中，线段最短，故本选项说法正确，不符合题意．
D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项说法错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、线段的性质以及平行公理及推论，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
5．（2021•射阳县二模）将一副直角三角板如图摆放，点D落在AC边上，BC∥DF，则∠1＝ 105 °．
【分析】根据平行线的性质得到∠B＝60°，结合∠EDF＝45°，根据三角形的外角性质求解即可．
【解答】解：如图，
根据题意得，∠EDF＝45°，
∵BC∥DF，∠B＝60°，
∴∠2＝∠B＝60°，
∴∠1＝∠2+∠EDF＝60°+45°＝105°，
故答案为：105．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
6．（2021秋•梅里斯区期末）如图所示，AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，则∠BOF为（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
【分析】首先根据平分线的性质求得∠DOA的度数，然后根据角平分线的性质得到∠EOD的度数，然后根据垂直求得∠DOF，从而求得∠BOF的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠D＝50°，
∴∠DOA＝130°，∠DOB＝50°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝65°，
∵OF⊥OE，
∴∠DOF＝25°，
∴∠BOF＝25°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质和已知角求得∠DOA的度数是解决本题的关键．
7．（2021秋•南京期末）一张长方形纸条折成如图的形状，若∠1＝50°，则∠2＝ 80° °．
【分析】由折叠可得，∠3＝∠1+2，再根据平角的定义，即可得到∠2的度数．
【解答】解：如图，
由折叠可知：∠3＝∠1+∠2，
∵∠1+∠3＝180°，
∴2∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝50°，
∴∠2＝80°，
故答案为80°．
【点评】本题考查了折叠性质的应用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
8．（2021•姑苏区校级一模）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝27°，则∠2＝ 117 °．
【分析】由已知条件可求得∠BAD的度数，再利用平行线的性质即可求得∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵∠1＝27°，∠CAB＝90°，
∴∠BAD＝∠1+∠CAB＝117°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠BAD＝117°．
故答案为：117．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
9．（2021•广陵区校级三模）已知：直线a∥b，将一块含30°角（∠B＝30°）的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线b交于点D，若∠2＝20°，则∠1＝ 40 °．
【分析】过点C作CE∥直线a，由平行线的性质可得∠ACE＝∠2＝20°，CE∥b，可求得∠DCE的度数，再次利用平行线的性质即可求解．
【解答】解：过点C作CE∥直线a，如图所示：
由题意得∠ACD＝60°，
∵CE∥直线a，a∥b，∠2＝20°，
∴∠ACE＝∠2＝20°，CE∥b，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝40°，∠1＝∠DCE，
∴∠1＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
10．（2021春•锡山区校级月考）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠1＝52°，则∠2的度数为（ ）
A．76°B．74°C．64°D．52°
【分析】先利用平行线的性质求出∠BEF，再利用角平分线的性质求出∠BEG，最后利用平行线的性质得结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠BEF＝180°，∠BEG＝∠2．
∴∠BEF＝128°．
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠BEF＝64°．
∴∠2＝64°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线，掌握角平分线的定义和“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”是解决本题的关键．
11．（2021秋•灌云县期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D与点C分别落在点D'和点C'的位置上，ED'与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，则∠1为 70 度．
【分析】根据平行线的性质，由四边形ABCD是长方形，得AD∥BC，那么∠EFG＝∠DEF＝55°，从而得到∠DEF＝∠GEF＝∠EFG＝55°，进而解决此题．
【解答】解：由题意得：∠DEF＝∠GEF．
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC．
∴∠EFG＝∠DEF＝55°．
∴∠DEF＝∠GEF＝∠EFG＝55°．
∴∠DEG＝∠DEF+∠GEF＝55°+55°＝110°．
∴∠1＝180°﹣DEG＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题主要考查平行线的性质、图形折叠的性质，熟练掌握平行线的性质、图形折叠的性质是解决本题的关键．
12．（2021春•锡山区校级月考）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，AC∥DF，∠C＝∠D．
求证：∠1＝∠2．
【分析】利用平行线的性质和已知先得到∠DBA＝∠C，再利用平行线的判定方法判定DB∥CE，最后利用平行线的性质得结论．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠DBA＝∠D．
∵∠C＝∠D，
∴∠DBA＝∠C．
∴DB∥CE．
∴∠1＝∠2．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，掌握“同位（内错）角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”是解决本题的关键．
13．（2021秋•法库县期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是 20 °，当DP⊥OE时，x＝ 70 ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO的度数及x的值；②根据∠ODE、∠FDE的度数，可得x的值；
（2）分两种情况进行讨论：DP在DE左侧，DP在DE右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．
【解答】解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，
∴∠BOE＝20°，
∵DE∥OB，
∴∠DEO＝∠BOE＝20°；
∵∠DOE＝∠DEO＝20°，
∴DO＝DE，∠ODE＝140°，
当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°，
即x＝70，
故答案为：20，70；
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，
∴∠EDF＝80°，
又∵∠ODE＝140°，
∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，
∴x＝60；
（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分两种情况：
①如图2，若DP在DE左侧，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF＝90°﹣x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠EFD＝20°+x°，
当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），
解得x＝68；
②如图3，若DP在DE右侧，
∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，
∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），
解得x＝104；
综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．
二．平行线的判定与性质（共4小题）
14．（2021春•江都区期中）如图，已知∠2＝∠4，∠3＝∠B．
（1）试判断∠AED与∠C的关系，并说明理由；
（2）若∠1＝130°，∠5＝65°，求∠DGB的度数．
【分析】（1）据平行线的性质定理以及判定定理即可解答；
（2）根据邻补角的定义得出∠4＝50°，根据平行线的性质得出∠2＝50°，∠B＝65°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）∠AED＝∠C，理由如下：
∵∠2＝∠4，
∴BD∥EF，
∴∠BDE+∠3＝180°，
∵∠3＝∠B，
∴∠BDE+∠B＝180°，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C；
（2）∵∠1+∠4＝180°，∠1＝130°，
∴∠4＝50°，
∵∠2＝∠4，
∴∠2＝50°，
∵DE∥BC，
∴∠5＝∠B，
∵∠5＝65°，
∴∠B＝65°，
在△BDG，∠B+∠2+∠DGB＝180°，∠B＝65°，∠2＝50°，
∴∠DGB＝65°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理并证明DE∥BC是解题的关键．
15．（2021秋•太仓市期末）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点A，C，AD平分∠BAC，交CD于点D，若∠1＝∠2，且∠ADC＝54°．
（1）直线AB、CD平行吗？为什么？
（2）求∠1的度数．
【分析】（1）利用对顶角相等可得∠2＝∠3，进而得出∠1＝∠3，再根据同位角相等，两直线平行可得CD∥AB；
（2）利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ADC＝54°，再根据角平分线的定义可得∠BAC的度数，然后根据补角的定义可得∠2的度数，进而得出∠1的度数．
【解答】解：（1）直线AB、CD平行，理由如下：
如图：
∵∠2＝∠3（对顶角相等），∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
（2）∵AB∥CD，
∴∠DAB＝∠ADC＝54°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAB＝108°，
∴∠2＝180°﹣∠BAC＝72°，
∴∠1＝∠2＝72°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
16．（2021秋•安居区期末）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ 垂直的定义 ），
∴EF∥AD（ 同位角相等两直线平行 ），
∴ ∠1 +∠2＝180°（ 两直线平行同旁内角互补 ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ 同角的补角相等 ），
∴AB∥ DG （ 内错角相等两直线平行 ），
∴∠GDC＝∠B（ 两直线平行同位角相等 ）．
【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD （同位角相等两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），
∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），
∴∠GDC＝∠B （两直线平行同位角相等）．
故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（2021春•宜兴市月考）如图①，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．
（1）填空：∠PBA＝ 120 °；
（2）如图（1）所示，射线AM绕点A开始顺时针旋转至AN便立即按原速度回转至AM位置，射线BP绕点B开始顺时针旋转至BQ便立即按原速度回转至BP位置．若AM转动的速度是每秒2度，BP转动的速度是每秒1度，若射线BP先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线BP到达BQ之前，射线AM转动几秒，两射线互相平行？
（3）如图（2），若两射线分别绕点A，B顺时针方向同时转动，速度同题（2），在射线AM到达AN之前，若两射线交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【分析】（1）利用邻补角的意义和平行线的性质解答即可；
（2）利用分类讨论的思想方法分当0＜t＜90时和当90＜t＜150时两种情况讨论解答：依据题意画出图形，分别用含t的代数式表示出∠MAM′，∠PBP′的度数，利用平行线的性质列出方程解答即可；
（3）分别利用t的代数式表示出∠BAC，∠ABC的度数，再计算出∠BCD的度数后比较结果即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BAM＝2∠BAN，∠BAM+∠BAN＝180°，
∴∠BAM＝120°．
∵PQ∥MN，
∴∠PBA＝∠BAM＝120°．
故答案为：120；
∴∠BM′A＝∠MAM′＝2t°，
∵AM′∥BP′，
∴∠AM′B＝∠PBP′．
∴2t＝t+30．
解得：t＝30；
当90＜t＜150时，如图，AM′和BP′为经过t秒后AM，BP旋转的位置，
（2）设射线AM转动t秒，两射线互相平行，
当0＜t＜90时，如图，AM′和BP′为经过t秒后AM，BP旋转的位置，
则∠MAM′＝2t°，∠PBP′＝（t+30）°，
∵PQ∥MN，
则∠MAM′＝（360﹣2t）°，∠PBP′＝（t+30）°，
∵PQ∥MN，
∴∠BM′A＝∠MAM′＝2t°，
∵AM′∥BP′，
∴∠AM′B＝∠PBP′．
∴360﹣2t＝t+30．
解得：t＝110．
综上所述，当射线AM转动30秒或110秒时，两射线互相平行．
（3）∠BAC与∠BCD的数量关系不会发生变化，∠BAC＝2∠BCD．理由：
设射线AM，BP转动时间为m秒，
∴∠BAC＝（2m﹣120）°，∠ABC＝（120﹣t）°，
∴∠ACB＝180°﹣（2m﹣120）°﹣（120﹣m）°＝（180﹣m）°．
∵∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣（180﹣m）°＝（m﹣60）°．
∵2m﹣120＝2（m﹣60），
∴∠BAC＝2∠BCD．
∴∠BAC与∠BCD的数量关系不会发生变化，∠BAC＝2∠BCD．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，邻补角的意义，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共8小题）
1．（2021秋•玄武区期末）下列说法错误的是（ ）
A．经过两点，有且仅有一条直线
B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据平行公理及推理，平行线的判定以及线段的性质判断．
【解答】解：A、经过两点，有且仅有一条直线，故本选项说法正确，不符合题意．
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项说法正确，不符合题意．
C、两点之间的所有连线中，线段最短，故本选项说法正确，不符合题意．
D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项说法错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、线段的性质以及平行公理及推论，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
2．（2021•庐阳区校级模拟）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【分析】根据已知可知∠3＝60°，∠1＝55°，再根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠1+∠3+∠2＝180°，即可得出答案．
【解答】解：∵∠3＝60°，∠1＝55°，
∴∠1+∠3＝115°，
∵AD∥BC，
∴∠1+∠3+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣115°＝65°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
3．（2021春•澧县期末）如图，AF∥BE∥CD，若∠1＝40°，∠2＝50°，∠3＝120°，则下列说法正确的是（ ）
A．∠F＝100°B．∠C＝140°C．∠A＝130°D．∠D＝60°
【分析】根据平行线的性质判断求解即可．
【解答】解：∵BE∥CD，
∴∠2+∠C＝180°，∠3+∠D＝180°，
∵∠2＝50°，∠3＝120°，
∴∠C＝130°，∠D＝60°，
∵AF∥BE，∠1＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠1＝140°，
∠F的值无法确定．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
4．（2021•如皋市二模）如图，把一块直角三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝55°，那么∠2的度数是（ ）
A．35°B．55°C．65°D．75°
【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．
【解答】解：如图，
由题意可得，∠1＝∠3＝55°，
∴∠2＝180°﹣60°﹣∠3
＝180°﹣60°﹣55°
＝65°．
故选：C．
【点评】主要考查了平行线的性质和平角的定义，解此题的关键是能准确的从图中找出关系角之间的数量关系，从而计算出结果．
5．（2021•高邮市模拟）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，MH⊥EF于点M，则图中与∠BMH互余的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的性质定理和互余的定义解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴DNM＝∠BMF，
∵∠BMF＝∠AME，∠DNM＝∠CNE，
∴∠BMF＝∠AME＝∠DNM＝∠CNE，
∵MH⊥EF，
∴∠FMH＝90°，
∴∠BMH与∠BMF互余，
∴与∠BMH互余的角有：∠BMF、∠AME、∠DNM、∠CNE共4个，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，互余的定义，对顶角的性质，关键是找出与∠BMF相等的角．
6．（2021春•醴陵市期末）如图，下列结论不正确的是（ ）
A．若∠2＝∠C，则AE∥CDB．若AD∥BC，则∠1＝∠B
C．若AE∥CD，则∠1+∠3＝180°D．若∠1＝∠2，则AD∥BC
【分析】由两条直线平行的判定和性质定理逐项判定即可．
【解答】解：A：∵∠2＝∠C，
由同位角相等两直线平行，
可得AE∥CD，
故A正确，
B：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
而∠2和∠B不一定相等，
故B错误，
C：∵AE∥CD，
由两直线平行同旁内角互补，
可得：∠1+∠3＝180°，
故C正确，
D：∵∠1＝∠2，
由内错角相等两直线平行，
可得：AD∥BC，
故D正确．
故选：B．
【点评】此题考查两条直线平行的判定和性质，关键是对性质和判定定理的掌握和运用．
7．（2020秋•无锡期末）下列说法中：
①若两条直线相交所形成的四个角中有三个角相等，则这两条直线互相垂直；
②若AC＝BC，则C是线段AB的中点；
③在同一平面内，不相交的两条线段必平行；
④两点确定一条直线．
其中说法正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①根据对顶角及互补角的概念判断即可；②根据中点的定义判断即可；③根据平行线的判定方法判断即可；④根据两点确定一条直线公理判断即可．
【解答】解：①两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故正确；
②若AC＝BC且三点在同一条直线上，则C是线段AB的中点，故原说法不正确；
③在同一平面内，不相交的两条线段所在的直线必平行，故原说法不正确；
④两点确定一条直线，正确．
说法正确的有2个，
故选：B．
【点评】此题考查的是平行线的判定方法、线段中点的定义及对顶角的概念，掌握其性质方法是解决此题关键．
8．（2021春•溧阳市期末）已知，如图，∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数等于（ ）
A．115°B．120°C．125°D．135°
【分析】根据对顶角相等以及平行线的判定与性质求出∠3＝∠6，即可得出∠4的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝55°，
∴∠2＝∠5＝55°，
∴∠5＝∠1＝55°，
∴l1∥l2，
∴∠3＝∠6＝55°，
∴∠4＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关的定理是解题关键．
二．填空题（共8小题）
9．（2021•姑苏区校级二模）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，若∠A＝100°，则∠3＝ 40° ．
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠ACD＝180°，由∠1＝∠2，可得∠2的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，∠2＝∠3，
∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝40°，
∴∠3＝∠2＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
10．（2021•柳南区校级模拟）将一副三角板（含30°、45°、60°、90°角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 75 度．
【分析】由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．
【解答】解：∵∠2+60°+45°＝180°，
∴∠2＝75°．
∵直尺的上下两边平行，
∴∠1＝∠2＝75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
11．（2021春•江宁区月考）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD＝25°，则∠A的度数为 130° ．
【分析】根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCD＝25°，根据角平分线的定义得到∠ACB＝∠BCD＝25°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠BCD＝25°，
∴∠ABC＝∠BCD＝25°，
∵CB平分∠ACD，
∴∠ACB＝∠BCD＝25°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝130°，
故答案为：130°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12．（2021春•常熟市期中）如图，直线a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是 70 °．
【分析】由邻补角定义得出∠3＝70°，再由平行线的性质得出∠2＝∠3即可求解．
【解答】解：
∵∠1＝110°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝70°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝70°，
故答案为：70．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记″两直线平行，内错角相等″是解题的关键．
13．（2021•泰州）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 20 °．
【分析】由平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可知，∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，即∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°即可．
【解答】解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，
∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，
∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，熟知相关定理是解题基础．
14．（2021春•吴中区月考）已知：a∥b，b∥c，则a∥c理由是 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ．
【分析】直接根据平行公理即可得出结论．
【解答】解：∵三条直线a、b、c，a∥b，b∥c，
∴a∥c（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【点评】本题考查的是平行公理的推论，熟知如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行是解答此题的关键．
15．（2020•天心区校级模拟）如图∠1＝82°，∠2＝98°，∠3＝80°，则∠4＝ 80 度．
【分析】先根据邻补角的定义求出∠1的邻补角，再根据同位角相等，两直线平行求出a∥b，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【解答】解：如图，∵∠1＝82°，
∴∠5＝180°﹣82°＝98°，
∵∠2＝98°
∴∠2＝∠5，
∴a∥b，
∴∠3＝∠4，
∵∠3＝80°，
∴∠4＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，先求出∠1的邻补角与∠2相等，判断出a∥b是解题的关键．
16．（2019春•滨州期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝100°，则∠4＝ 80° ．
【分析】由∠1＝∠2，根据“内错角相等，两直线平行”得到AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠3+∠4＝180°，即∠4＝180°﹣∠3，把∠3＝100°代入计算即可．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∴∠3+∠4＝180°，
而∠3＝100°，
∴∠4＝180°﹣100°＝80°．
故答案为80°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
三．解答题（共8小题）
17．（2021春•姜堰区月考）阅读下列推理过程，在括号中填写依据．
已知：如图，点D、E分别在线段AB、BC上，AC∥DE，DF∥AE，DF交BC于点F，AE平分∠BAC，求证：DF平分∠BDE．
证明：∵AE平分∠BAC（已知）．
∴∠1＝∠2 （ 角平分线的定义 ）．
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠3 （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∴∠2＝∠3 （ 等量代换 ）．
∵DF∥AE （ 已知 ），
∴∠2＝∠5 （ 两直线平行，同位角相等 ）．
且∠3＝∠4 （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∴∠4＝∠5 （ 等量代换 ）．
∴DF平分∠BDE （ 角平分线的定义 ）．
【分析】根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，根据平行线的性质得到∠1＝∠3，∠3＝∠4，根据平行线的性质得到∠2＝∠5，等量代换即可得到结论．
【解答】证明：∵AE平分∠BAC（已知），
∴∠1＝∠2（角平分线的定义），
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∵DF∥AE（已知），
∴∠2＝∠5，（两直线平行，同位角相等），
且∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∴∠4＝∠5（等量代换），
∴DF平分∠BDE（角平分线的定义）．
故答案为：角平分线的定义，两直线平行，内错角相等，等量代换，已知，两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，等量代换，角平分线的定义．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
18．（2021春•姑苏区期中）如图1，已知AB∥CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）；
②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝ 或 ．
【分析】（1）根据平行线的性质及三角形内角和定理可得答案；
（2）由角平分线的定义得∠EPN＝30°，再根据三角形内角和定理可得答案；
（3）利用三角形的内角和定理列出方程，通过解方程即可得到问题的答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，PF⊥CD，
∴PF⊥AB，
∴∠AMP＝90°，
∵∠FPE＝60°，
∴∠AEP＝150°；
（2）①当PN平分∠EPF时，∠EPN＝30°时，
运动时间t＝＝3（秒），
此时ME也运动了3秒，
∠AEM＝3×10＝30°，
∴∠MEP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
PN继续运动至PF时，返回PN平分∠EPF时，运动时间至＝9（秒），此时ME也运动了9秒，
∠AEM＝9×10＝90°，
∴∠MEP＝180°﹣90°﹣30°＝60°；
②如图3，
当0≤t≤6时，此时∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝10t，∠PEN＝30°，
∠PHE＝180°﹣∠HPE﹣∠PEH＝180°﹣10t﹣30°﹣10t＝150°﹣20t，
当150°﹣20t＝120°时，t＝，当150°﹣20t＝60°时，t＝，
当6＜t≤12时，此时∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝120°﹣10t，∠PEN＝30°，
∠PHE＝30°，不成立，
当12＜t≤15时，此时∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝10t﹣120°，∠PEN＝30°，
∠PHE＝270°﹣20t，
∠PHE＝270°﹣20t＝60°时，t＝（不合题意），∠PHE＝270°﹣20t＝120°，t＝（不合题意）
故答案为：或．
【点评】此题考查了平行线的性质，掌握其性质及三角形内角和定理是解决此题关键．
19．（2021春•东台市月考）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠EFD＝56°，求∠D的度数．
【分析】题中已知∠EFD＝56°，需求出∠2的度数．根据平行，以及∠EFD的度数，可求得∠BEF的度数，进而根据∠1＝∠2求得∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EFD＝56°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFD＝124°；
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BEF＝62°；
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠2＝62°．
【点评】本题考查的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．
20．（2019春•高淳区期中）在同一平面内，如果两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条直线也与第三条直线垂直．
结合所给图形，写出已知、求证，并给出证明．
已知：如图， a∥b，a⊥l ．
求证： b⊥l ．
【分析】根据题意写出已知，求证；由两直线平行，同位角相等得到∠1＝∠2，由垂直的定义得到∠1＝90°，则∠2＝90°，则可判定b⊥l．
【解答】已知：如图，a∥b，∴∠a⊥l，
求证：b⊥l．
证明：∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
∵a⊥l，
∴∠1＝90°，
∴∠2＝90°，
∴b⊥l．
故答案为：a∥b，a⊥l；b⊥l．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及垂直的定义和判定是解题的关键．
21．（2019春•铜山区期中）如图，已知AB∥CD，∠ABE＝130°，∠CDE＝152°，求∠BED的度数．
【分析】作FE∥AB，如图，利用平行线的判定方法得CD∥EF，则根据平行线的性质得到∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+DEF＝180°，则可计算出∠BEF和∠DEF，然后计算它们的和即可．
【解答】解：作FE∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+DEF＝180°，
∴∠BEF+∠DEF＝180°﹣130°+180°﹣152°＝78°，
即∠BED的度数为78°．
【点评】本题考查了平行线性质定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等；两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补；两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
22．（2021春•江都区校级期末）在数学课本中，有这样一道题：
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC．
求证：AB∥CD．
（1）请补充下面证明过程．
证明：过点E，作EF∥AB，如图2．
∴∠B＝∠ BEF （ 两直线平行内错角相等 ）．
∵∠B+∠C＝∠BEC∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）．
∴∠ C ＝∠ FEC （等式性质）．
∴EF∥ DC （ 内错角相等两直线平行 ）．
∵EF∥AB，
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
（2）请再选用一种方法，加以证明．
【分析】(1)根据平行线的判定与性质即可完成证明过程；
(2)连接BC,根据三角形的内角和定理可得∠EBC+∠ABE+∠DCE+∠BCE＝180°,即ABC+∠BCD＝180°，由平行线的判定定理可得结论．
【解答】证明：(1)过点E，作EF∥AB，如图2，
∴∠B＝∠BEF（两直线平行 内错角相等），
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），
∴∠C＝∠FEC，
∴EF∥DC（内错角相等 两直线平行），
∵EF∥AB，
∴AB∥CD．
故答案为：BEF，两直线平行 内错角相等，C，FEC，DC，内错角相等 两直线平行；
(2)证明：如图1，连接BC,
∵∠B+∠C＝∠BEC,∠EBC+∠BEC+∠BCE＝180°,
∴∠EBC+∠ABE+∠DCE+∠BCE＝180°,
∴ABC+∠BCD＝180°,
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
23．（2021春•江阴市校级月考）如图，已知AD是∠BAC的平分线，∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，∠3与∠DAC相等吗？为什么？
【分析】利用平行线的判定定理可得AD∥EF，根据平行线的性质得出∠4+∠BAD＝180°，求出∠3＝∠BAD，根据角平分线的定义得出∠BAD＝∠DAC即可．
【解答】解：∠3＝∠DAC．
理由是：∵∠1＝∠2，
∴AD∥EF；
∴∠4+∠BAD＝180°，
∵∠3+∠4＝180°，
∴∠3＝∠BAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠3＝∠DAC．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
24．（2021春•姑苏区校级期中）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．
（1）求证：DF∥AB．
（2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
【分析】（1）根据DE∥BC，得出∠AED＝∠B，又因为∠1＝∠AED，等量代换得∠B＝∠1，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据DE∥BC，得出∠EDF＝∠1＝50°，再根据DF平分∠CDE，得出∠CDF＝∠EDF＝50°，最后在△CDF中利用三角形内角和等于180°即可求解．
【解答】解：（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠B，
又∵∠1＝∠AED，
∴∠B＝∠1，
∴DF∥AB；
（2）∵DE∥BC，
∴∠EDF＝∠1＝50°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDF＝∠EDF＝50°，
在△CDF中，
∵∠C+∠1+∠CDF＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
答：∠C的度数为80°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．
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日期：2022/2/9 20:39:12；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539
题组B 能力提升练
一．选择题（共4小题）
1．（2021春•临潼区期末）如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF、∠BEF、∠EFD，则下列结论正确的有（ ）
①∠DFE＝∠AEF；
②∠EMF＝90°；
③EG∥FM；
④∠AEF＝∠EGC．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①正确．利用平行线的性质即可证明．
②正确．证明∠MEF+∠MFE＝90°即可．
③正确．证明∠GEF＝∠MFE即可．
④错误，无法判断．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠AEF，∠DFE+∠BEF＝180°，故①正确，
∵ME平分∠BEF，MF平分∠DFE，
∴∠MEF＝∠BEF，∠MFE＝∠DFE，
∴∠MEF+∠MFE＝（∠BEF+∠DFE）＝90°，
∴∠EMF＝90°，故②正确，
∵EG平分∠AEF，
∴∠GEF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠DFE，
∴∠GEF＝∠MFE，
∴EG∥MF，故③正确，
无法判断∠AEF＝∠EGC，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2020春•邳州市期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果∠2＝30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD＝180°；
③如果BC∥AD，则∠2＝30°；
④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．
【解答】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；
∵BC∥AD，∠B＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，
∴∠2＝45°，故③错误；
∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，
∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，
∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠4＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④，3个．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
3．（2019春•相城区期末）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分∠EAC、∠ABC和∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝∠BAC；④∠ADC＝90°﹣∠ABD．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【分析】根据平行线的判定和性质，角平分线的定义一一判断即可．
【解答】解：∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC＝∠ACB，∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠ACB＝∠ABC＝2∠DBC＝2∠ADB，故②正确，
∵∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠DCA）
＝180°﹣（∠EAC+∠FCA）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
＝90°﹣∠ABC
＝90°﹣∠ABD，故④正确，
无法判定③正确，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．（2019春•海安市期中）下列说法，其中错误的有（ ）
①相等的两个角是对顶角
②若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为邻补角
③同位角相等
④垂线段最短
⑤同一平面内，两条直线的位置关系有：相交、平行和垂直
⑥过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据对顶角，同位角，邻补角定义，垂线的性质，平行公理逐个判断即可．
【解答】解：相等的两个角不一定是对顶角，如图：
∠1＝∠2，但不是对顶角；故①错误；
若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2不一定是邻补角，如图：
∠A+∠B＝180°，但∠A和∠B不是邻补角，故②错误；
同位角不一定相等，如图：
∠1和∠2是同位角，但是∠1和∠2不相等，故③错误；
垂线段最短，故④正确；
同一平面内，两条直线的位置关系有：相交和平行，故⑤错误；
过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故⑥正确；
即错误的有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了对顶角，同位角，邻补角定义，垂线的性质，平行公理等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：语言和图形相结合．
二．填空题（共8小题）
5．（2021秋•吴江区月考）如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'处，∠AED'＝40°，则∠BFC′＝ 40° ．
【分析】根据图形折叠的性质，得∠D′EF＝∠DEF＝，∠EFC＝∠EFC′．欲求∠BFC′，需求∠EFC、∠EFB．根据长方形的性质，得AD∥BC，那么∠DEF＝∠BFE，∠EFC＝180°﹣∠DEF．欲求∠EFC、∠EFB，需求∠DEF，从而解决此题．
【解答】解：由题意得：∠D′EF＝∠DEF＝，∠EFC＝∠EFC′．
∵∠AED'＝40°，
∴∠DED′＝180°﹣∠AED'＝140°．
∴∠DEF＝＝70°．
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC．
∴∠DEF＝∠BFE＝70°，∠EFC＝180°﹣∠DEF＝110°．
∴∠EFC′＝110°．
∴∠BFC′＝∠EFC′﹣∠BFE＝110°﹣70°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查平行线的性质、图形折叠的性质，熟练掌握平行线的性质、图形折叠的性质是解决本题的关键．
6．（2021春•高邮市期末）如图，∠MAN＝52°，过射线AM上一点C作CP∥AN，CB平分∠ACP，依次作出∠BCP的角平分线CB1，∠B1CP的角平分线CB2，∠Bn﹣1CP的角平分线CBn，其中点B、B1、B2、…Bn﹣1、Bn，都在射线AN上，若∠PCBn＝1°时，则n＝ 6 ．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质求得∠PCBn的度数规律，然后代入求解．
【解答】解：∵CP∥AN，
∴∠ACP＝180°﹣∠MAN，
∵CB平分∠ACP，
∴∠PCB＝∠ACP＝（180°﹣∠MAN），
又∵CB1平分∠BCP，
∴∠PCB1＝∠PCB＝（180°﹣∠MAN），
..．
∴∠PCBn＝∠PCBn﹣1＝（180°﹣∠MAN），
∵∠MAN＝52°，∠PCBn＝1°，
∴（180°﹣52°）＝1°，
解得：n＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，理解角平分线的概念，并通过探索发现题目数量间蕴含的规律是解题关键．
7．（2021•南宁二模）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为 50 °．
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，
故答案为：50
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8．（2021春•饶平县校级期末）把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠D′FD的度数为 64° ．
【分析】直接利用平行线的性质以及折叠的性质得出∠C′EG＝64°，进而得出答案．
【解答】解：∵EF 是折痕，∠EFB＝32°，AC′∥BD′，
∴∠C′EF＝∠GEF＝32°，
∴∠C′EG＝64°，
∵CE∥FD，
∴∠D′FD＝∠EGB＝64°．
故答案为：64°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，正确把握平行线的性质是解题关键．
9．（2021春•高邮市期中）如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝20°，则∠EPF＝ 55°
【分析】根据平角等于180°求出∠AEF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠EFD，然后根据角平分线的定义求出∠EFP，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵EP⊥EF，
∴∠PEF＝90°，
∵∠BEP＝20°，
∴∠AEF＝180°﹣∠PEF﹣∠BEP＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠AEF＝70°，
∵FP是∠EFD的平分线，
∴∠EFP＝∠EFD＝×70°＝35°，
在△EFP中，∠EPF＝180°﹣90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
10．（2019春•宝应县期末）已知，如图，l1、l2被l3、l4所截，∠1＝55°，∠3＝32°，∠4＝148°，则∠2＝ 55 °．
【分析】首先证明l1∥l2，再利用平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵∠3＝32°，∠4＝148°，
∴∠3+∠4＝180°，
∴l1∥l2，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝55°，
∴∠2＝55°，
故答案为55．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．（2017春•浦东新区期中）甲、乙、丙、丁四位同学一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，
甲说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”
乙说：“如果把甲的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
丙说：“∠AGD一定大于∠BFE．”
丁说：“如果联结GF，则GF一定平行于AB．”
他们四人中说法正确的有 甲、乙 ．
（填“甲”、“乙”、“丙”、“丁”）．
【分析】根据平行线的判定得出CD∥EF，根据平行线的性质得出∠BFE＝∠BCD，求出∠CDG＝∠BCD，根据平行线的判定得出DG∥BC，即可判断甲；根据∠AGD＝∠ACB推出DG∥BC，根据平行线的性质得出∠CDG＝∠BCD，即可判断乙，根据已知条件判断丙和丁即可．
【解答】解：甲、乙正确；
理由是：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠BFE＝∠BCD，
∵∠CDG＝∠BFE，
∴∠CDG＝∠BCD，
∴DG∥BC，
∴∠AGD＝∠ACB，∴甲正确；
∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠BFE＝∠BCD，
∵∠AGD＝∠ACB，
∴DG∥BC，
∴∠CDG＝∠BCD，
∴∠CDG＝∠BFE，∴乙正确；
丙和丁的说法根据已知不能推出，∴丙错误，丁错误；
故答案为：甲、乙．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
12．（2021春•鄞州区校级期末）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中∠CFE＝120°，则图1中的∠DEF的度数是 20° ．
【分析】先根据平行线的性质，设∠DEF＝∠EFB＝α，图2中根据图形折叠的性质得出∠AEF的度数，再由平行线的性质得出∠GFC，图3中根据∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG即可列方程求得α的值．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴设∠DEF＝∠EFB＝α，
图2中，∠GFC＝∠BGD＝∠AEG＝180°﹣2∠EFG＝180°﹣2α，
图3中，∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝180°﹣2α﹣α＝120．
解得α＝20．
即∠DEF＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
三．解答题（共10小题）
13．（2021春•洪泽区期末）如图，直线AB∥CD，MN⊥AB分别交AB，CD于M、N，射线MP、MQ分别从MA、MN同时开始绕点M顺时针旋转，分别与直线CD交于点E、F，射线MP每秒转10°，射线MQ每秒转5°，ER，FR分别平分∠PED、∠QFC，设旋转时间为t秒（0＜t＜18）．
（1）①用含t的代数式表示：∠AMP＝ （10t） °，∠QMB＝ （90﹣5t） °；
②当t＝4时，∠REF＝ 70 °；
（2）当∠MEN+∠MFN＝120°时，求出t的值；
（3）试探索∠EFR与∠ERF的数量关系，并说明理由；
（4）∠PMN的角平分线与直线ER交于点K，直接写出∠EKM的度数为 45°或135° ．
【分析】（1）①根据题意可难得出∠AMP的度数为10t°，∠QMB＝90°﹣5t°；
②根据平行线的性质，可得∠MEF＝∠AME，再结合ER是∠PED的平分线，即可求解；
（2）由平行线的性质可得∠MEF＝∠AME＝10t°，再由MN⊥AB可得MN⊥CD，从而可得∠MFN＝90°﹣5t°，结合所给的条件∠MEN+∠MFN＝120°即可求解；
（3）∠EFR＝∠ERF，分别用含t的代数式表示出∠REF和∠EFR的度数，再结合三角形的内角和，可表示出∠ERF，进行比较即可求解；
（4）可分K在MN的左边与K在MN的右边两种情况进行讨论，再把△EKM的∠MEK和∠EMK的度数用含t的代数式表示出来，再利用三角形的内角和求∠EKM的度数即可．
【解答】解：（1）①由题意得：∠AMP＝10t°，∠NMF＝5t°，
∵AB∥CD，MN⊥AB，
∴∠QMB＝90°﹣∠NMF＝90°﹣5t°＝（90﹣5t）°；
故答案为：10t，（90﹣5t）；
②∵AB∥CD，
∴∠MEF＝∠AMP＝10t°，
∵ER是∠PED的平分线，
∴∠REF＝（180°﹣∠MEF）＝（180°﹣10t°）＝90°﹣5t°，
∴当t＝4时，∠REF＝90°﹣5×4°＝70°；
故答案为：70；
（2）∵AB∥CD，
∴∠MEN＝∠AMP＝10t°，
∵MN⊥AB，
∴MN⊥CD，
∵∠NMF＝5t°，
∴∠MFN＝90°﹣5t°，
∵∠MEN+∠MFN＝120°，
∴10t°+90°﹣5t°＝120°，解得：t＝6；
（3）∠EFR＝∠ERF，
理由：∵FR平分∠QFC，由（2）得∠MFN＝90°﹣5t°，
∴∠EFR＝（180°﹣∠MFN）＝（180°﹣90°+5t°）＝45°+t°，
∵由（1）得∠REF＝90°﹣5t°，
在△REF中，∠ERF＝180°﹣∠REF﹣∠EFR＝180°﹣（90°﹣5t°）﹣（45°+t°）＝45°+t°，
∴∠EFR＝∠ERF；
（4）①当K点在MN的左边时，如图所示：
由（2）得∠MEN＝10t°，
∴∠EMN＝90°﹣10t°，
∵MK是∠EMF的平分线，
∴∠EMK＝∠EMN＝45°﹣5t°，
由（1）得：∠REF＝90°﹣5t°，
∴∠MER＝∠REF+∠MEN＝90°﹣5t°+10t°＝90°+5t°，
在△MEK中，∠EKM＝180°﹣∠MER﹣∠EMK＝180°﹣（90°+5t°）﹣（45°﹣5t°）＝45°．
②当K点在MN的右边时，如图所示：
由题意可知：∠AMP＝10t°，则有∠MEN＝180°﹣∠AMP＝180°﹣10t°，
∠PMN＝10t°﹣90°，
∵MK平分∠PMN，ER平分∠PEF，∠PED＝∠MEN，
∴∠EMK＝∠PMN＝5t°﹣45°，∠MEK＝∠MEN＝∠PED＝90°﹣5t°，
在△MEK中，∠EKM＝180°﹣∠MEK﹣∠EMK＝180°﹣（90°﹣5t°）﹣（5t°﹣45°）＝135°．
故答案为：45°或135°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线，解答的关键是对这些知识点的掌握与熟练应用．
14．（2021春•盱眙县期末）如图1，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．
（1）求证：∠BED＝90°；
（2）如图2，延长BE交CD于点H，点F为线段EH上一动点，∠EDF＝α，∠ABF的角平分线与∠CDF的角平分线DG交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小；
（3）如图3，延长BE交CD于点H，点F为线段EH上一动点，∠EBM的角平分线与∠FDN的角平分线交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结论： 2∠BGD+∠BFD＝360° ．
【分析】（1）由AB∥CO得∠ABD+∠BDC＝180°，由角平分线的定义和等量代换可得：∠EBD+∠EDB＝90°，进一步即可根据三角形的内角和定理证得结论；
（2）当点G在AB、CD之间时，如图2，由（1）的结论和角平分线的定义可推出2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α或2∠ABG+2∠CDG＝90°+α，过点C作GH∥AB，由平行线的性质可得∠BGD＝∠ABG+∠CDG，进一步即可推出结论；如图2﹣1，当点G在AB、CD下方时；如图2﹣2，同样的方法解答即可；
（3）如图3，过点FG分别作FM∥AB、GM∥AB，则AB∥GM∥FN∥CD，由平行线的性质和角平分线的定义可得∠BFD＝∠3+∠5，∠BGD＝∠4+∠6，然后利用角的和差整理变形即得结论．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABD，
∴∠EBD＝∠ABD，
∵DE平分∠BDC，
∴∠EDB＝∠BDC，
∴∠EBD+∠EDB＝（∠ABD+∠BDC），
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∴∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）＝90°．
（2）解：如图2，过点G作GH∥AB，
由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°，
又∵∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
即∠ABE+α+∠FDC＝90°，
∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，
∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，
∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD
∴∠ABG＝∠BGH，∠HGD＝∠CDG，
∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠ABG+∠CDG＝；
（3）如图3，过点F、G分别作FM∥AB、GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GM∥FN∥CD，
∴∠3＝∠BFN，∠5＝∠DFN，∠4＝∠BGM，∠6＝∠DGM，
∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠3+∠5，
∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，
∵BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，
∴∠4＝∠FBP＝（180°﹣∠3），
∠6＝∠FDQ＝（180°﹣∠5），
∴∠BFD+∠BGD＝∠3+∠5+∠4+∠6，
＝∠3+∠5+（180°﹣∠3）+（180°﹣∠5），
＝180°+（∠3+∠5），
＝180°+∠BFD，
整理得：2∠BGD+∠BFD＝360°．
故答案为：2∠BGD+∠BFD＝360°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质、平行公理的推论、角平分线的定义和三角形的内角和等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
15．（2021春•淮北期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动时，那么∠APB与∠ADB的大小关系是否发生变化？若不变，请找出它们的关系并说明理由；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
【分析】（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；
（2）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论；
（3）由平行线的性质可得到∠ACB＝∠CBN＝50°+∠DBN，结合条件可得到∠DBN＝∠ABC，且∠ABC+∠DBN＝50°，可求得∠ABC的度数．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ABP+∠PBN＝100°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝100°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠ABC+∠DBN＝50°，
∴∠ABC＝25°．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质及整体思想的应用是解题的关键．
16．（2021春•广陵区校级月考）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图，试探索这两个角之间的关系．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠2的关系是： ∠1＝∠2 ．
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠2的关系是： ∠1+∠2＝180° ．
（3）由（1）（2）你得出的结论是：如果 一个角的两边与另一个角的两边分别平行 ，那么 这两个角相等或互补 ．
（4）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则求这两个角度数．
【分析】（1）如图1，根据AB∥EF，BC∥DE，即可得∠1与∠2有的关系；
（2）如图2，根据AB∥EF，BC∥DE，即可得∠1与∠2的关系；
（3）由（1）（2）即可得出结论；
（4）设另一个角为x°，根据以上结论和一个角比另一个角的2倍少30°，列出方程即可求出这两个角度数．
【解答】解：（1）∠1＝∠2．
理由：如图1，
∵AB∥EF，
∴∠3＝∠2，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1＝∠2；
故答案为：∠1＝∠2；
（2）∠1+∠2＝180°，
理由：如图2，
∵AB∥EF，
∴∠3+∠2＝180°，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°；
故答案为：∠1+∠2＝180°；
（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补；
（4）设另一个角为x°，根据以上结论得：
2x﹣30＝x或2x﹣30+x＝180°，
解得：x＝30，或x＝70，
这两个角度数为：30°、30°或110°，70°．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
17．（2020秋•金牛区期末）如图AB∥CD，∠B＝62°，EG平分∠BED，EG⊥EF，求∠CEF的度数．
【分析】求出∠DEG，证明∠DEG+∠CEF＝90°即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝62°，
∴∠BED＝∠B＝62°，
∵EG平分∠BED，
∴∠DEG＝∠BED＝31°，
∵EG⊥EF，
∴∠FEG＝90°，
∴∠DEG+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣∠DEG＝90°﹣31°＝59°．
【点评】本题考查平行线的判定知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（2020秋•香坊区期末）如图1是长方形纸带，将长方形ABCD沿EF折叠成图2，使点C、D分别落在点C1、D1处，再沿BF折叠成图3，使点C1、D1分别落在点C2、D2处．
（1）若∠DEF＝20°，求图1中∠CFE的度数；
（2）在（1）的条件下，求图2中∠C1FC的度数；
（3）在图3中写出∠C2FE、∠EGF与∠DEF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DEF+∠CFE＝180°，再求出答案即可；
（2）根据平行线的性质得出∠DEF+∠CFE＝180°，∠CFC1＝∠CGD1，再求出答案即可；
（3）根据平行线的性质得出∠EFB＝∠DEF，∠DEF+∠CFE＝180°，∠DEG+∠EGF＝180°，设∠DEF＝x°，求出∠EFB＝x°，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣x°，∠EGF＝180°﹣∠DEG＝180°﹣2x°，根据FC1∥ED1求出∠C1FG＝∠EGF＝180°﹣2x°，求出∠C2FG＝∠C1FG＝180°﹣2x°即可．
【解答】解：（1）∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEF+∠CFE＝180°
∵∠DEF＝20°，
∴∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣20°＝160°；
（2）∵四边形EDCF折叠得到四边形ED1C1F，
∴∠D1EF＝∠DEF＝20°，
∴∠DEG＝∠DEF+∠D1EF＝20°+20°＝40°，
∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠CGD1＝∠DEG＝40°
∵FC1∥ED1，
∴∠C1FC＝∠CGD1＝40°；
（3）∠C2FE+∠DEF＝∠EGF，
理由如下：∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠EFB＝∠DEF，∠DEF+∠CFE＝180°，∠DEG+∠EGF＝180°，
设∠DEF＝x°，
∴∠EFB＝x°，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣x°，
∵四边形EDCF折叠得到四边形ED1C1F，
∴∠D1EF＝∠DEF＝x°，
∴∠DEG＝∠DEF+∠D1EF＝2x°，
∴∠EGF＝180°﹣∠DEG＝180°﹣2x°，
∵FC1∥ED1，
∴∠C1FG＝∠EGF＝180°﹣2x°，
∵四边形GD1C1F折叠得到四边形GD2C2F，
∴∠C2FG＝∠C1FG＝180°﹣2x°，∠C2FE＝∠C2FG﹣∠EFB＝180°﹣2x°﹣x°＝180°﹣3x°，
∴∠C2FE+∠DEF＝180°﹣3x°+x°＝180°﹣2x°＝∠EGF．
【点评】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理和计算是解此题的关键．
19．（2021春•衡阳期末）已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，PF交AB于点G．
（1）如图1，直接写出∠P、∠PEB与∠PFD之间的数量关系： ∠P+∠PEB＝∠PFD ；
（2）如图2，EQ、FQ分别为∠PEB与∠PFD的平分线，且交于点Q，试说明∠P＝2∠Q；
（3）如图3，若∠BEQ＝∠PEB，∠DFQ＝∠PFD，（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请求出∠P与∠Q的数量关系；
（4）在（3）的条件下，若∠CFP＝72°，当点E在A、B之间运动时，是否存在PE∥FQ？若存在，请求出∠Q的度数；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由补角性质得∠P+∠PEB＝∠PGB，再根据平行线的性质可得结论；
（2）根据三角形外角性质及平行线性质可得∠QEB+∠Q＝∠KFD，再由平分线的定义可得结论；
（3）根据（1）（2）的结论可得答案；
（4）根据角的关系得∠DFQ，∠PFQ的度数，最后根据平行线的性质可得结论．
【解答】解：（1）∵∠P+∠PEB+∠PGE＝180°，∠PGE+∠BGB＝180°，
∴∠P+∠PEB＝∠PGB，
∵AB∥CD，
∴∠PGB＝∠PFD，
∴∠P+∠PEB＝∠PFD．
故答案为：∠P+∠PEB＝∠PFD．
（2）∵在三角形EQK中，∠QEB+∠Q＝∠QKB，AB∥CD，
∴∠QKB＝∠KFD，
∴∠QEB+∠Q＝∠KFD，
∵EQ、FQ分别为∠PEB与∠PFD的平分线，
∴2∠QEB＝∠PEB，2∠KFD＝∠PFD，
由（1）知，∠P+∠PEB＝∠PFD，
∴∠P+2∠QEB＝2∠KFD，即：∠P＝2∠KFD﹣2∠QEB＝2∠Q，
（3）∠P＝3∠Q，理由如下：
由（1）知，∠P+∠PEB＝∠PFD，
由（2）知，∠Q+∠QEB＝∠QFD，
∵∠BEQ＝∠PEB，∠DFQ＝∠PFD，
∴∠P＝3∠Q，
（4）∵∠CFP＝72°，
∴∠PFD＝108°，
∴∠DFQ＝∠PFD＝36°，∠PFQ＝108°﹣36°＝72°，
∵PE∥FQ，
∴∠EPF＝∠PFQ＝72°，
∵AB∥CD，
∴∠PGB＝∠PFD＝108°，
∴∠PEB＝∠PGB﹣∠EPF＝108°﹣72°＝36°，
∵∠BEQ＝∠PEB＝12°，
∴∠Q＝∠QKB﹣∠BEQ＝∠QFD﹣∠BEQ＝36°﹣12°＝24°，
∴存在PE∥FQ，∠Q＝24°．
【点评】此题考查的是平行线的判定与性质，能够在解答过程中找准同位角、内错角是解决此题关键．
20．（2021春•临淄区期末）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ∠AEP+∠PFC＝∠EPF ，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360° ．
（2）如图3，当∠EPF＝90°，FP平分∠EFC时，求证：EP平分∠AEF；
（3）如图4，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ 150° ；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过点P作PG∥AB，利用平行线的性质即可求解；
（2）根据平行线的性质得∠AEF+∠EFC＝180°，由三角形的内角和可得∠PEF+∠EFP＝90°，可得出∠PEA+∠CFP＝90°，由角平分线的定义得∠EFP＝∠CFP，即可得出结论；
（3）①若当P点在EF的左侧时，由（1）的结论可得∠EQF＝∠BEQ+∠QFD，∠PEB+∠PFD＝360°﹣60°＝300°，利用角平分线的定义即可得∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝150°；
②如图3，由条件可得∠EPF＝180°﹣2∠BEQ+180°﹣2∠DFQ＝360°﹣2（∠BEQ+∠PFD），由∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，得出∠EPF+2∠EQF＝360°．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，
∵PG∥AB，
∴∠EPG＝∠AEP，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠FPG＝∠PFC，
∴∠AEP+∠PFC＝∠EPF；
如图2，当P点在EF的右侧时，过点P作PG∥AB，
∵PG∥AB，
∴∠EPG+∠AEP＝180，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠FPG+∠PFC＝180°，
∴∠AEP+∠PFC+∠EPG+∠FPG＝360°，
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
故答案为：∠AEP+∠PFC＝∠EPF，∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠EFC＝180°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠PEF+∠EFP＝90°，
∴∠PEA+∠CFP＝90°，
∵FP平分∠EFC，
∴∠EFP＝∠CFP，
∴∠PEF＝∠PEA，
∴EP平分∠AEF；
（3）①∵∠EPF＝60°，
∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣60°＝300°，
∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ＝∠PEB，∠QFD＝∠PFD，
∴∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝ （∠PEB+∠PFD）＝×300°＝150°；
故答案为：150°；
②∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ＝∠PEB，∠QFD＝∠PFD，
则∠EPF＝180°﹣2∠BEQ+180°﹣2∠DFQ＝360°﹣2（∠BEQ+∠PFD），
∵∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，
∴∠EPF+2∠EQF＝360°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键．
21．（2021春•丹阳市期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠EDF＝∠A．
（1）求证：DE∥AB；
（2）若DE⊥AC，∠ABE＝35°，则∠1＝ 125 °．
【分析】（1）利用平行线的判定和性质一一判断即可．
（2）利用平行线的性质、DE⊥AC，求解即可．
【解答】解：（1）∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠DFE，
∴AC∥DF，
∴∠1＝∠CEB，
∵AC∥DF，
∴∠CED＝∠EDF，
∵∠EDF＝∠A．
∴∠A＝∠CED，
∴DE∥AB；
（2）∵DE⊥AC，∠ABE＝35°，
∴∠DEA＝∠CDE＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠ABE＝∠DEF＝35°，
∵DE⊥AC，
∴∠2＝90°﹣∠DEF＝90°﹣35°＝55°，
∵∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣55°＝125°，
故答案为：125．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质、邻补角等知识，解题的关键是灵活运用∠CED＝∠EDF解决问题，属于中考常考题型．
22．（2021春•鼓楼区期末）珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．
（1）填空：∠BAN＝ 60 °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若两灯发出的射线AC与BC交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t＝1•（30+t），可得t＝30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM＝2∠BAN，
∴∠BAN＝180°×＝60°，
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1•（30+t），
解得 t＝30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．