第9章 整式乘法与因式分解（单元基础卷）-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第9章整式乘法与因式分解（单元基础卷）（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、仔细选一选（本题共10题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项。注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案）1．（2021•靖江市模拟）下列运算正确的是（　　）A．2a3•3a2＝6a6 B．（﹣x3）4＝x12 C．（a+b）3＝a3+b3 D．（﹣x）3n÷（﹣x）2n＝﹣xn【分析】直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式和单项式除法运算法则计算得出答案．【解答】解：A、2a3•3a2＝6a5，故此选项错误；B、（﹣x3）4＝x12，故此选项正确；C、（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，故此选项错误；D、（﹣x）3n÷（﹣x）2n＝（﹣x）n，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以单项式和单项式除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．2．（2019•江岸区校级模拟）使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）乘积中不含x2与x3项的p、q的值是（　　）A．p＝0，q＝0 B．p＝3，q＝1 C．p＝﹣3，q＝﹣9 D．p＝﹣3，q＝1【分析】把式子展开，找到所有x2和x3项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．【解答】解：∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q），＝x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqx+8x2﹣24x+8q，＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p+8）x2+（pq﹣24）x+8q．∵乘积中不含x2与x3项，∴p﹣3＝0，q﹣3p+8＝0，∴p＝3，q＝1．故选：B．【点评】灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．3．（2018秋•伊通县期末）已知a+b＝m，ab＝n，则（a﹣b）2等于（　　）A．m2﹣n B．m2+n C．m2+4n D．m2﹣4n【分析】先根据完全平方公式变形（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，然后把a+b＝m，ab＝n代入计算即可．【解答】解：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝m2﹣4n．故选：D．【点评】本题考查了完全平方公式：（x±y）2＝x2±2xy+y2．也考查了代数式的变形能力以及整体思想的运用．4．（2019秋•陕州区期末）如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（　　）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq【分析】根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积的和进行解答即可．【解答】解：大正方形的面积为：（a+b）2，四个部分的面积的和为：a2+2ab+b2，∴能说明的乘法公式是：（a+b）2＝a2+2ab+b2；故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示相等进行列式是解题的关键．5．（2020•石家庄模拟）下列计算正确的是（　　）A．x2﹣3x2＝﹣2x4 B．（﹣3x2）2＝6x2 C．x2y•2x3＝2x6y D．6x3y2÷（3x）＝2x2y2【分析】根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式的乘除法逐一计算可得．【解答】解：A、x2﹣3x2＝﹣2x2，此选项错误；B、（﹣3x2）2＝9x4，此选项错误；C、x2y•2x3＝2x5y，此选项错误；D、6x3y2÷（3x）＝2x2y2，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式的乘除法法则．6．（2019•市中区一模）下列运算正确的是（　　）A．a2+a2＝a4 B．（﹣2a3）2＝4a6 C．（a﹣2）（a+1）＝a2+a﹣2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】A．用合并同类型法则计算；B．用积的乘方法则计算，正确；C．用多项式乘以多项式法则计算；D．用完全平方公式计算．【解答】解：A．a2+a2＝2a2，错误；C．（a﹣2）（a+1）＝a2+a﹣2a﹣2＝a2﹣a﹣2，错误D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误故选：B．【点评】本题考查了整式的加减，整式的乘法，完全平方公式．7．（2019•嘉祥县一模）下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（　　）A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．x2+5x＝x（x+5） C．x2+5x+5＝x（x+5）+5 D．a2+1＝a（a+）【分析】利用因式分解的定义判断即可．【解答】解：A、m（a+b+c）＝ma+mb+mc，不符合题意；B、x2+5x＝x（x+5），符合题意；C、x2+5x+5＝x（x+5）+5，不符合题意；D、a2+1＝a（a+），不符合题意，故选：B．【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．8．（2019秋•青县期末）若x2﹣2（k﹣1）x+9是完全平方式，则k的值为（　　）A．±1 B．±3 C．﹣1或3 D．4或﹣2【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．【解答】解：∵x2﹣2（k﹣1）x+9是完全平方式，∴k﹣1＝±3，解得：k＝4或﹣2，故选：D．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．（2017秋•蓬溪县期末）若a2﹣b2＝，a+b＝，则a﹣b的值为（　　）A．﹣ B． C．1 D．2【分析】根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝，a+b＝即可求得a﹣b的值．【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝，a+b＝，∴a﹣b＝÷＝，故选：B．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特点．10．（2020•武汉模拟）运用乘法公式计算（m﹣2）2的结果是（　　）A．m2﹣4 B．m2﹣2m+4 C．m2﹣4m+4 D．m2+4m﹣4【分析】直接利用完全平方公式展开计算即可．【解答】解：（m﹣2）2＝m2﹣4m+4，故选：C．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．二、认真填一填（本题有8个小题，每小题3分，共24分。注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案）11．（2020•宿迁）分解因式：a2+a＝　a（a+1）　．【分析】直接提取公因式分解因式得出即可．【解答】解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．12．（2021•岑溪市模拟）因式分解：a2﹣4＝　（a+2）（a﹣2）　．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．故答案为：（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．13．（2020春•相城区期中）已知单项式3x2y3与﹣5x2y2的积为mx4yn，那么m﹣n＝　﹣20　．【分析】将两单项式相乘后利用待定系数即可取出m与n的值．【解答】解：3x2y3×（﹣5x2y2）＝﹣15x4y5，∴mx4yn＝﹣15x4y5，∴m＝﹣15，n＝5∴m﹣n＝﹣15﹣5＝﹣20故答案为：﹣20【点评】本题考查单项式乘以单项式，解题的关键是熟练运用整式的乘法法则，本题属于基础题型．14．（2018春•平远县期末）若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为　﹣3　．【分析】利用整式的乘法计算（x+1）（x﹣2），按二次项、一次项、常数项整理，与多项式x2+ax+b对应，得出a、b的值代入即可．【解答】解：（x+1）（x﹣2）＝x2﹣2x+x﹣2＝x2﹣x﹣2所以a＝﹣1，b＝﹣2，则a+b＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查利用整式的计算方法，计算出的代数式与因式分解前代数式比较，得出结论，进一步解决问题．15．（2016•临沭县校级一模）在实数范围内分解因式：3x2﹣15＝　3（x+）（x﹣）　．【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝3（x2﹣5）＝3（x+）（x﹣），故答案为：3（x+）（x﹣）【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．16．（2019秋•浦东新区期末）8x3y2和12x4y的公因式是　4x3y　．【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．【解答】解：系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x3y，∴公因式为4x3y．故答案为：4x3y．【点评】本题考查公因式的定义，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键，17．（2017春•埇桥区校级期中）若x2﹣y2﹣x+y＝（x﹣y）•A，则A＝　x+y﹣1　．【分析】观察该多项式，可以把x﹣y看作一个整体进行分解．完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．【解答】解：原式＝（x2﹣y2）﹣（x﹣y），＝（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y），＝（x﹣y）（x+y﹣1）．因此A＝x+y﹣1．【点评】本题考查了分组分解法分解因式，当一个多项式为四项以上时，首先要合理分组，然后运用提公因式法或公式法完成因式分解．18．（2020•郎溪县校级自主招生）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝17，ab＝60，则阴影部分的面积为　　．【分析】阴影部分面积＝两个正方形的面积之和﹣两个直角三角形面积，求出即可．【解答】解：∵a+b＝17，ab＝60，∴S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]＝，故答案为：【点评】此题考查了整式混合运算的应用，弄清图形中的关系是解本题的关键．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）19．（2020春•港南区期末）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则把原式进行化简，代入已知数据计算即可．【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy﹣4y2＝﹣7xy，当x＝﹣4，y＝时，原式＝﹣7×（﹣4）×＝14．【点评】本题考查的是单项式乘多项式，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的法则是解题的关键．20．（2018春•昌平区校级期末）若（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3项，求m和n的值．【分析】利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：原式＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n，根据展开式中不含x2和x3项得：，解得：．【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（2019秋•自贡期末）计算：4（x+1）2﹣（2x﹣5）（2x+5）【分析】先根据完全平方公式和平方差公式展开，最后合并即可．【解答】解：原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25）＝4x2+8x+4﹣4x2+25＝8x+29．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（a±b）2＝a2±2ab+b2．22．（2003•黄石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．【分析】先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可．【解答】解：原式＝（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式为完全平方式，∴﹣a（x+y）＝±2×5•（x+y），解得a＝±10．【点评】本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要．23．（2020秋•荔湾区期末）计算：（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）2．【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再把所得的结果合并即可．【解答】解：（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）2＝x2﹣1﹣x2﹣4x﹣4＝﹣4x﹣5．【点评】此题考查了平方差公式和完全平方公式，解题时要注意平方差公式和完全平方公式的应用，此题较简单，解题时要细心．24．（2020春•西乡县期末）乘法公式的探究及应用．（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是　a2﹣b2　（写成两数平方差的形式）； （2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是　a﹣b　，长是　a+b　，面积是　（a+b）（a﹣b）　．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）【分析】（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出；（2）根据图形中长方形长与宽求出即可；（3）结合（1）（2）即可得出（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）利用平方差公式进行运算即可，注意符合（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的形式才能运算．【解答】解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：a2﹣b2；（2）它的宽是 a﹣b，长是 a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；（3）根据题意得出：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）①10.3×9.7＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝100﹣0.09＝99.91；②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）＝[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]＝4m2﹣（n﹣p）2＝4m2﹣n2﹣p2+2np．【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，利用图形面积得出公式是近几年中考中考查重点，同学们应重点掌握．