江苏七年级数学下学期期末精选60题（压轴版）-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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一．选择题（共2小题）
1．（2019秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．14或15B．13或14C．13或14或15D．14或15或16
【分析】根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．
【解答】解：如图，n边形，A1A2A3…An，
若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，
若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，
若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15，
故选：C．
【点评】考查多边形的意义，根据截线的不同位置得出不同的答案，是解决问题的关键．
2．（2020春•润州区期末）已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④是方程组的解．其中说法错误的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②④D．②③
【分析】根据题目中的方程组可以判断各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：当a＝1时，，解得，，∴x+y＝0≠2﹣1，故①错误，
当a＝﹣2时，，解得，，则x+y＝6，此时x与y不是互为相反数，故②错误，
∵，解得，，
∵x≤1，则≤1，得a≥0，
∴0≤a≤1，则1≤≤，即1≤y≤，故③错误，
∵，解得，，当x＝＝4时，得a＝，y＝，故④错误，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程（组）的解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程和不等式的性质解答．
二．填空题（共1小题）
3．（2021春•江都区期末）如图，△ABC沿EF折叠使点A落在点A'处，BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，若∠P＝30°，∠A'EB＝20°，则∠A'FC＝ 140 °．
【分析】如图，欲求∠A′FC，因为∠A′FC＝∠A+∠1＝∠A+∠A′+∠A′EB，所以仅需求∠A．根据三角形外角的性质，得∠A＝∠ABD﹣∠ACB．因为BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，所以∠A＝2∠PBD﹣2∠PCB＝2（∠PBD﹣∠PCB）＝2∠P＝60°，进而可求出∠A′FC．
【解答】解：如图，
∵BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，
∴∠PBD＝，∠BCP＝．
又∵∠PBD＝∠P+∠PCB，
∴∠P＝∠PBD﹣∠PCB＝＝，
又∵∠ABD＝∠A+∠ACB，
∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A，
∴∠P＝，
∴∠A＝2∠P＝2×30°＝60°，
由题意得：∠A′＝∠A＝60°，
∴∠1＝∠A′+∠A′EB＝60°+20°＝80°，
∴∠A′FC＝∠A+∠1＝60°+80°＝140°，
故答案为：140．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质以及角平分线的定义是解决本题的关键．
三．解答题（共57小题）
4．（2021春•靖江市期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图③中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线FE与反射光线GH的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，若α＝135°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝θ（90°＜θ＜180°），入射光线FE与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线FE从镜面AB开始反射，经过3次反射后，反射光线与入射光线FE平行，请用含有m的代数式直接表示θ的度数；
（3）如图③，若90°＜α＜180°，∠1＝20°，入射光线FE与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．若△MEG为锐角三角形，请求出α的取值范围．
【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
（2）根据题意以及第（1）题的思路，直接可写出含有m的代数式直接表示θ的度数；
（3）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG+∠MGE+β＝180°，求出β与α的数量关系，在△MEG中，0°＜β＜90°，0°＜∠MGE＜90°，可得出α的取值范围．
【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，
∠3+∠4+∠EGH＝180°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）θ＝90°+m；
（3）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠2，
同理可得，∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，
∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）＝180°﹣（2∠2+2∠3）
＝180°﹣2（∠2+∠3）
＝180°﹣2（180°﹣α）
＝2α﹣180°，
∵△MEG为锐角三角形，
∴0°＜β＜90°，0°＜∠MGE＜90°，
，
∴115°＜α＜135°．
【点评】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
5．（2021春•江都区期末）直线m与直线n相交于C，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，∠ABC的平分线BP与∠DAB的平分线AE的反向延长线相交于点P．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，则∠P＝ 45° ；若∠ACB＝α，则∠P＝ （结果用含α的代数式表示）；
（2）如图2，点F是直线n上一点，若点B在点C左侧，点F在点C右侧时，连接AF，∠CAF与∠AFC的平分线相交于点Q．
①随着点B、F的运动，∠APB+∠AQF的值是否变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
②延长AQ交直线n于点G，作QH∥CF交AF于点H，则＝ ．
【分析】（1）根据BP、AE分别是∠ABC、∠BAD的平分线，得∠ABP＝∠ABC，∠EAB＝∠BAD，再根据外角的性质得∠BAD＝∠ABC+∠ACB，∠EAB＝∠ABP+∠P，化简即可；
（2）①由AQ、FQ分别是∠CAF、∠AFB的平分线，导出∠AQF＝90°+∠ACF，由（1）知：∠P＝∠ACB，则∠APB+∠AQF＝90°+∠ACF+∠ACB＝180°，从而解决问题；
②根据外角的性质得：∠AGC﹣∠HQF＝∠GQF，由①知：∠AQF＝90°+∠ACF，则∠GQF＝90°﹣∠ACF，而∠ACB＝180°﹣∠ACF，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵BP、AE分别是∠ABC、∠BAD的平分线，
∴∠ABP＝∠ABC，∠EAB＝∠BAD，
∵∠BAD是△ABC的外角，
∴∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∵∠EAB是△ABP的外角，
∴∠EAB＝∠ABP+∠P，
∴∠P＝∠ACB，
当∠ACB＝90°时，∠P＝45°；
当∠ACB＝α时，∠P＝；
故答案为：45°，；
（2）①∵AQ、FQ分别是∠CAF、∠AFB的平分线，
∴∠QAF＝∠CAF，∠AFQ＝∠AFC，
∴∠QAF+∠AFQ＝（∠CAF+∠AFC），
∴∠AQF＝180°﹣（∠QAF+∠AFQ）
＝180°﹣（∠CAF+∠AFC）
＝180°﹣（180°﹣∠ACF）
＝90°+∠ACF，
由（1）知：∠P＝∠ACB，
∴∠APB+∠AQF＝90°+∠ACF+∠ACB＝180°，
∴∠APB+∠AQF的值不变，为180°；
②∵QH∥CF，
∴∠HQF＝∠QFG，
∴∠AGC﹣∠HQF＝∠GQF，
由①知：∠AQF＝90°+∠ACF，
∴∠GQF＝90°﹣∠ACF，
∵∠ACB＝180°﹣∠ACF，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，能熟练进行角之间的转化是解题的关键．
6．（2021春•常州期末）【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ 35 °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
【分析】利用三角形外角的性质，列出∠F＝∠FBE﹣∠FAB．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将∠F＝∠FBE﹣∠FAB转化为含有α与β的关系式，进而求出∠AFB．
【解答】解：（1）如图1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣120°﹣130°＝110°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝
＝
＝．
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB＝＝．
（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．
证明：如图3．
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
挑战：如图4．
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝，．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F＝
＝
＝90°﹣．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题．
7．（2021春•民权县期末）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．
【分析】首先利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论．
【解答】证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，∠CFE＝∠E，
∴∠1＝∠CFE＝∠E，
∴∠2＝∠E，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．关键是根据利用平行线的性质以及角平分线的性解答．
8．（2021春•丰县校级期末）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右平移）后得到△A′B′C′，点C的对应点是直线上的格点C′．
（1）画出△A′B′C′．
（2）△ABC两次共平移了 7 个单位长度．
（3）试在直线上画出点P，使得由点A′、B′、C′、P四点围成的四边形的面积为9．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；
（2）由△ABC与△A′B′C′的位置即可得出结论；
（3）在直线上画出点P，使所组成的三角形面积相等即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）∵由图可知，△A′B′C′由△ABC向右平移3个单位长度，向下平移4个单位长度而成，
∴△ABC两次共平移了7个单位长度．
故答案为：7；
（3）如图所示，P1，P2即为所求．
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
9．（2020春•东海县期末）[问题情境]苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：如图1，在△ABC中，∠A＝n°，设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O，求∠BOC的度数．
（1）请你先完成这个问题的解答．
[变式探究]小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝80°，若∠BCN＝∠BCE，∠CBM＝∠CBD，且射线BM与射线CN相交于点O，则∠BOC＝ 82.5 °；
（3）如图3，在△ABC中，∠A＝n°．若∠BCN＝∠BCE，∠CBM＝∠CBD，且BM与CN相交于点O，若要使射线BM、CN能相交，则n的取值范围是什么？请说明理由；
（4）如图3，在△ABC中，∠A＝n°．若∠BCN＝∠BCE，∠CBM＝∠CBD，请直接写出使射线BM、CN能相交的n的取值范围是 0＜n＜ （其中q＜p，请用含p、q的代数式表示）．
【分析】（1）利用外角与三角形内角和的关系可得结论；
（2）当∠A＝80°时，求出∠B、∠C的两个外角和为180°+80°＝260°，在计算出这两个外角和的，最后根据三角形的内角和求出答案；
（3）利用（1）（2）的方法可得∠BOC，根据角度的大小关系求出取值范围即可；
（4）方法同（3）利用分数表示即可．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A＝n°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°，
∴∠DBC+∠BCE＝360°﹣（180°﹣n°）＝180°+n°，
∵BO、CO分别是∠DBC、∠BCE的平分线，
∴∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠BCE，
∴∠CBO+∠BCO＝∠DBC+∠BCE＝（180°+n°）＝90°+，
∴∠BOC＝180°﹣（90°+）＝90°﹣；
（2）∵∠A＝80°，
∴∠ABC与∠ACB的外角和为∠CBD+∠BCE＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+80°＝260°，
∵∠BCN＝∠BCE，∠CBM＝∠CBD，
∴∠BCN+∠CBM＝（∠CBD+∠BCE）＝×260°＝97.5°，
根据三角形的内角和定理得，
∠BOC＝180°﹣（∠BCN+∠CBM）＝82.5°；
（3）由（1）知，∠DBC+∠BCE＝180°+n°，
∵∠BCN＝∠BCE，∠CBM＝∠CBD，
∴∠BCN+∠CBM＝×（∠BCE+∠CBD）＝×（180°+n°）＝135°+，
若射线CN、BM能相交，设交点为点O，
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（135°+n°）＝45°﹣°，
∴45°﹣＞0．解得n＜60，
∴n的取值范围是0＜n＜60；
（4））∵∠A＝n°，
∴∠ABC与∠ACB的外角和为∠CBD+∠BCE＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+n°，
∵∠BCN＝∠BCE，∠CBM＝∠CBD，
∴∠BCN+∠CBM＝（∠CBD+∠BCE）＝×（180°+n°），
根据三角形的内角和定理得，
∠BOC＝180°﹣（∠BCN+∠CBM）＝180°﹣＝，
∵0＜，
∴0＜n＜．
【点评】本题考查三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理是解决问题的关键．
10．（2018春•东海县期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（5，25）＝ 2 ，（5，1）＝ 0 ，（3，）＝ ﹣2 ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），
（3）小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
试解决下列问题：
①计算（8，1000）﹣（32，100000）
②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）
【分析】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
【解答】解：（1）∵52＝25，∴（5，25）＝2；
∵50＝1，∴（5，1）＝0；
∵3﹣2＝，∴（3，）＝﹣2；
故答案为2，0，﹣2；
（3）①（8，1000）﹣（32，100000）
＝（23，103）﹣（25，105）
＝（2，10）﹣（2，10）
＝0；
②设3x＝4，3y＝5，则3x•3y＝3x+y＝4×5＝20，
所以（3，4）＝x，（3，5）＝y，（3，20）＝x+y，
∴（3，20）﹣（3，4）
＝x+y﹣x
＝y
＝（3，5），
即：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）
【点评】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方根式是解题的关键．
11．（2017春•惠山区期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝ 3 ，（5，1）＝ 0 ，（2，）＝ ﹣2 ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）
【分析】（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断；
（2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解．
【解答】解：（1）∵33＝27，
∴（3，27）＝3；
∵50＝1，
∴（5，1）＝0；
∵2﹣2＝，
∴（2，）＝﹣2；
（2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，
则3x＝4，3y＝5，
∴3x+y＝3x•3y＝20，
∴（3，20）＝x+y，
∴（3，4）+（3，5）＝（3，20）．
故答案为：3，0，﹣2．
【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．
12．（2021秋•黄石期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．
【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝26，即x2+y2＝13；
①﹣②得：4xy＝24，即xy＝6．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．（2020秋•安岳县期末）阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝ 12 ；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 384 平方单位．
【分析】（1）根据题目提供的方法，进行计算即可；
（2）根据题意可得，a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，将ab化成＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]的形式，代入求值即可；
（3）根据题意可得，（20﹣x）（12﹣x）＝160，即（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，根据（1）中提供的方法，求出（20﹣x）2+（12﹣x）2的结果就是阴影部分的面积．
【解答】解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，
所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；
故答案为：12；
（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，
所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（32﹣2020）＝﹣；
答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为﹣；
（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），
∵长方形CEPF的面积为160，
∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，
∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，
∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，
设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，
所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384；
故答案为：384．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键．
14．（2020春•润州区期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
（1）图B可以解释的代数恒等式是 2a2+2ab＝2a（a+b） ；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．
【分析】（1）根据正方形面积求出即可；
（2）画出图形，即可得出答案，根据图形和矩形面积公式求出即可．
【解答】解：（1）2a2+2ab＝2a（a+b），故答案为：2a2+2ab＝2a（a+b），
（2）如图所示：
2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．
【点评】本题考查了完全平方公式和几何图形的应用，主要考查学生的画图能力，计算能力．
15．（2019秋•郾城区期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C
A．提取公因式法 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣2）4
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【分析】（1）观察分解过程发现利用了完全平方公式；
（2）该同学分解不彻底，最后一步还能利用完全平方公式分解；
（3）仿照题中方法将原式分解即可．
【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，选择C，
故答案为：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x﹣2）4；
故答案为：不彻底；（x﹣2）4；
（3）原式＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．（2020春•吴江区期末）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
【分析】（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式计算即可；
（2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出a、b的值，然后利用三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4
＝x2﹣2xy+y2+y2+4y+4
＝（x﹣y）2+（y+2）2
＝0，
∴x﹣y＝0，y+2＝0，
解得x＝﹣2，y＝﹣2，
∴xy＝（﹣2）﹣2＝；
（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，
∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
即（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
a﹣5＝0，b﹣4＝0，
解得a＝5，b＝4，
∵c是△ABC中最长的边，
∴5≤c＜9．
【点评】本题考查了完全平方公式以及非负数的性质，利用完全平方公式配方成平方和的形式是解题的关键．
17．（2019春•新沂市期末）如图①是一个长2m，宽2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）用两种方法表示图②中阴影部分的面积；
（2）观察图②，请你写出代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系式；
（3）根据（2）中的结论，若x+y＝﹣6，xy＝2.75．求x﹣y的值．
【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积也可以用大正方形的面积减去四块小长方形的面积；
（2）由（1）即可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系．
（3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2，继而可得出x﹣y的值．
【解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn；
（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）∵x+y＝﹣6，xy＝2.75．
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣4×2.75＝25，
则（x﹣y）＝±5．
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．
18．（2020春•润州区期末）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；
营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
（1）求x、y的值；
（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？
【分析】（1）根据“月销售件数200件，月总收入3400元，月销售件数300件，月总收入3700元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据“购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元”，即可得出关于a、b、c的三元一次方程组，利用（①+②）÷4即可求出购买甲、乙、丙服装各一件的总费用．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：．
（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，
根据题意得：，
（①+②）÷4，得：a+b+c＝190．
答：购买甲、乙、丙服装各一件共需190元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
19．（2020春•邗江区期末）已知关于x、y的二元一次方程组．
（1）若m＝1，求方程组的解；
（2）若方程组的解中，x的值为正数，y的值为正数，求m的范围．
【分析】（1）把m＝1代入方程组，求解即可；
（2）用含m的代数式表示出x、y，根据x的值为正数，y的值为正数，得关于m的一元一次不等式组，求解即可．
【解答】解：（1）把m＝1代入方程组，得，
解这个方程组得
（2）
由②，得x＝5﹣m﹣2y③
把③代入①，得
10﹣2m﹣4y﹣y＝m+2
整理，得y＝
把y＝代入③，得
x＝
∵x的值为正数，y的值为正数，
∴
解得﹣9＜m＜
【点评】本题考查了二元一次方程组及解法、一元一次不等式组及解法．会用代入法或加减法解二元一次方程组是解决本题的关键．
20．（2019春•崇川区校级期末）根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高 2 cm，放入一个大球水面升高 3 cm；
（2）如果放入10个球，使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？
（3）现放入若干个球，使水面升高21cm，且小球个数为偶数个，问有几种可能，请一一列出（写出结果即可）．
【分析】（1）设一个小球使水面升高x厘米，一个大球使水面升高y厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可；
（2）设应放入大球m个，小球n个，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（3）设放入小球a个，大球b个，根据题意列出方程，由小球个数为偶数个列出所有符合条件的a、b的值即可．
【解答】解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得3x＝32﹣26，解得x＝2；
设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得2y＝32﹣26，解得：y＝3．
所以，放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm，
故答案为：2，3；
（2）设应放入大球m个，小球n个．由题意，得
解得：，
答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个；
（3）设放入小球a个，大球b个，
根据题意，得：2a+3b＝21，
①当a＝0时，b＝7；
②当a＝3时，b＝5；
③当a＝6时，b＝3；
④当a＝9时，b＝1．
又∵小球个数为偶数个，
∴a＝0，b＝7或a＝6，b＝3．
【点评】本题考查了列二元一次方程组和列一元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程组及一元一次方程的解法的运用，解答时理解图画含义是解答本题的关键．
21．（2018春•泗洪县期末）某校准备组织七年级400名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金7600元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【分析】（1）每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可；
（2）①设租用小客车x辆，大客车y辆，由题意得：20×小客车的数量+45×大客车的数量＝400人，根据等量关系列出方程，求出非负整数解即可；
②分别计算出每种租车方案的钱数，进行比较即可．
【解答】解：（1）设每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生
根据题意，得
解得
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生．
（2）①根据题意，得20x+45y＝400，
∴y＝，
∵x、y均为非负数，
∴，，
∴租车方案有3种．方案1：小客车20辆，大客车0辆；方案2：小客车11辆，大客车4辆；方案3：小客车2辆，大客车8辆．
②方案1租金：4000×20＝80000（元）
方案2租金：4000×11+7600×4＝74400（元）
方案3租金：4000×2+7600×8＝68800（元）
∵80000＞74400＞68800
∴方案3租金最少，最少租金为68800元．
【点评】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
22．（2017春•工业园区期末）甲、乙两家公司组织员工游览某景点门票售价如下：
（1）若甲公司有50人游览，则共付门票费 6000 元；
若乙公司共付门票费12 000元，则乙公司有 150 人游览；
（2）若甲、乙两家公司共有120人游览，其中甲公司不超过50人，两家公司先后共付门票费12 800元，求甲、乙两家公司游览的人数．
【分析】（1）用甲公司的人数50乘以单价120元/人即可得；由12000＞100×100可判断乙公司的人数超过100，再用总费用除以单价可得其人数；
（2）设甲公司游览人数为x人，乙公司游览人数为y人，分y≤100和y＞100两种情况，根据总人数为120、门票总费用为12800元列出方程求解可得．
【解答】解：（1）若甲公司有50人游览，则共付门票费50×120＝6000（元），
∵12000＞100×100＝10000，
∴乙公司的人数超过100人，即可知此时的门票单价为80元/人，
则乙公司的游览人数为12000÷80＝150（人），
故答案为：6000，150；
（2）设甲公司游览人数为x人，乙公司游览人数为y人，
①若y≤100，根据题意，得：，
解得：；
②若y＞100，根据题意，得：，
解得：，
∵x＝80＞50，
∴此情况不符合题意，舍去；
答：甲公司游览人数为40人，乙公司游览人数为80人．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程组是解题的关键．
23．（2017春•秦淮区期末）越来越多的人用微信聊天、转账、付款等．把微信账户里的钱转到银行卡叫做提现．自2016年3月1日起，每个微信账户有1000元的免费提现额度，当累计提现超过这个额度时，超出的部分需要付0.1%的手续费．小明自2016年3月1日至今，用自己的一个微信账户共提现3次，3次的提现金额和手续费如下表：
用二元一次方程组的相关知识求表中a、b的值．
【分析】根据题意关键方程组即可解决问题．
【解答】解：根据题意可列方程：
，
解得．
所以a＝800，b＝500．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系解决问题．
24．（2017春•鼓楼区校级期末）先阅读，然后解方程组．
解方程组
时，
可由 ①得x﹣y＝1，③
然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，
从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”，
请用这样的方法解下列方程组．
【分析】仿照所给的题例先把①变形，再代入②中求出y的值，进一步求出方程组的解即可．
【解答】解：，
由①得，2x﹣3y＝2③，
代入②得+2y＝9，
解得y＝4，
把y＝4代入③得，2x﹣3×4＝2，
解得x＝7．
故原方程组的解为．
【点评】本题考查的是在解二元一次方程组时整体思想的应用，利用整体思想可简化计算．
25．（2021秋•惠山区期末）甲、乙两家超市同价销售同一款可拆分式驱蚊器，1套驱蚊器由1个加热器和1瓶电热蚊香液组成．电热蚊香液作为易耗品可单独购买，1瓶电热蚊香液的售价是1套驱蚊器的．已知电热蚊香液的利润率为20%，整套驱蚊器的利润率为25%．张阿姨从甲超市买了1套这样的驱蚊器，并另外买了4瓶电热蚊香液，超市从中共获利10元．
（1）求1套驱蚊器和1瓶电热蚊香液的售价；
（2）为了促进该款驱蚊器的销售，甲超市打8.5折销售，而乙超市采用的销售方法是顾客每买1套驱蚊器送1瓶电热蚊香液．在这段促销期间，甲超市销售2000套驱蚊器，而乙超市在驱蚊器销售上获得的利润不低于甲超市的1.2倍．问乙超市至少销售多少套驱蚊器？
【分析】（1）设1套驱蚊器售价5x元，1瓶电热蚊香液的售价x元，根据题意列出方程解答即可；
（2）设乙超市销售x套驱蚊器，根据乙超市在驱蚊器销售上获得的利润不低于甲超市的1.2倍列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设1套驱蚊器售价5x元，1瓶电热蚊香液的售价x元；
，
解得x＝6，
所以设1套驱蚊器售价30元，1瓶电热蚊香液的售价6元．
（2）设乙超市销售x套驱蚊器．
W甲＝2000×（30×0.85﹣24）＝3000元；
W乙＝x×（30﹣24）﹣x×5＝x
由题意知W乙＝1.2W甲
解得x＝3600．
乙超市至少销售3600套驱蚊器．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
26．（2020春•句容市期末）2020年2月初，由于新型冠状病毒（COVID﹣19）的传播，消毒剂市场出现热卖，某旗舰网店用60000元购进一批甲种品牌的免洗手消毒液和乙种品牌的75%酒精消毒纸巾，销售完后共获利9000元，进价和售价如下表：
（1）求该网店购进甲种消毒液和乙种消毒纸巾分别是多少？
（2）该网店第二次以原价购进上述甲、乙两种物品，购进乙种物品袋数不变，而购进甲种物品的数量是第一次的2倍．甲种物品按原售价出售，而乙种物品让利销售．若两种物品销售完毕，要使第二次销售活动获利不少于7600元，乙种物品每袋最低售价为每袋多少元？
【分析】（1）分别根据旗舰网店用60000元购进进一批甲种品牌的免洗手消毒液和乙种品牌的75%酒精消毒纸巾，销售完后共获利9000元，得出等式组成方程求出即可；
（2）根据购进甲种物品的数量是第一次的2倍，要使第二次销售活动获利不少于7600元，得出不等式求出即可．
【解答】解；（1）设网店购进甲种消毒液x瓶，乙种消毒纸巾y袋，
根据题意，得，
解得：，
答：网店购进甲种消毒液600瓶，乙种消毒纸巾1000袋；
（2）设乙种物品每袋售价为每袋a元，根据题意得出：
600×2×（35﹣30）+1000×（a﹣42）≥7600，
解得：a≥43.6，
答：乙种物品每袋最低售价为每袋43.6元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．
27．（2020春•锡山区期末）新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为生产更多的口罩满足疫情防控需求，决定拨款560万元购进A，B两种型号的口罩机共30台．两种型号口罩机的单价和工作效率分别如表：
（1）求购进A，B两种型号的口罩机各多少台；
（2）现有200万只口罩的生产任务，计划安排新购进的口罩机共15台进行生产．若工厂的工人每天工作10h，则至少购进B种型号的口罩机多少台才能在5天内完成任务？
【分析】（1）设购进A种型号的口罩生产线x台，B种型号的口罩生产线y台，根据财政拨款560万元购进A，B两种型号的口罩机共30台，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据工作总量＝工作效率×时间结合在5天内完成200万只口罩的生产任务，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】（1）设购进A型号口罩机x台，B型号口罩机y台，
．
解之得．
答：购进A型号口罩机10台，B型号口罩机20台；
（2）设购进B型口罩机m台，则5×10×[2500（15﹣m）+3000m]≥2000000．
解之得m≥5．
答：至少购进B型号口罩机5台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
28．（2020春•姜堰区期末）某物流公司安排A、B两种型号的卡车向灾区运送抗灾物资，装运情况如下：
（1）求A、B两种型号的卡车平均每辆装运物资多少吨；
（2）该公司计划安排A、B两种型号的卡车共15辆装运150吨抗灾物资，那么至少要安排多少辆A种型号的卡车？
【分析】（1）设A种型号的卡车平均每辆装运物资x吨，B种型号的卡车平均每辆装运物资y吨，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设要安排m辆A种型号的卡车，根据“该公司计划安排A、B两种型号的卡车共15辆装运150吨抗灾物资”即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种型号的卡车平均每辆装运物资x吨，B种型号的卡车平均每辆装运物资y吨，
根据题意，得．
解得．
答：A种型号的卡车平均每辆装运物资12吨，B种型号的卡车平均每辆装运物资8吨；
（2）设要安排m辆A种型号的卡车，则需要安排（15﹣m）辆B种型号的卡车，
根据题意，得12m+8（15﹣m）≥150
解得m≥7.5．
由于m是正整数，
所以m最小值是8．
答：至少要安排8辆A种型号的卡车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
29．（2020春•沭阳县期末）为了更好地保护环境，治理水质，我区某治污公司决定购买12台污水处理设备，现有A、B两种型号设备，A型每台m万元； B型每台n万元，经调查买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元．
（1）求m、n的值．
（2）经预算，该治污公司购买污水处理器的资金不超过158万元．该公司A型设备最多能买台？
【分析】（1）根据：“买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元”列方程组求解可得；
（2）根据：“购买污水处理器的资金不超过158万元”列不等式求解可得．
【解答】解：（1）根据题意，得：，
解得：，
答：m的值为14，n的值为11；
（2）设A型设备买x台，
根据题意，得：14x+11（12﹣x）≤158，
解得：x≤8，
答：A型设备最多买8台．
【点评】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意，将相等关系或不等关系转化为方程或不等式是关键．
30．（2019春•盱眙县期末）阅读下列材料：
解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，又∵x＞1，∴y+2＞1y＞﹣1
又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组的解都为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知a﹣b＝4，且b＜2，求a+b的取值范围；
（3）已知a﹣b＝m（m是大于0的常数），且b≤1，求最大值．（用含m的代数式表示）
【分析】（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可；
（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a、b的取值范围，然后再来求a+b的取值范围；
（3）根据（1）的解题过程求得a、b取值范围；结合限制性条件得出结论即可．
【解答】解：（1）解这个方程组的解为 ，
由题意，得 ，
则原不等式组的解集为a＞1；
（2）∵a﹣b＝4，a＞1，
∴a＝b+4＞1，
∴b＞﹣3，
∴a+b＞﹣2，
又∵a+b＝2b+4，b＜2，
∴a+b＜8．
故﹣2＜a+b＜8；
（3）∵a﹣b＝m，
∴a＝b+m．
由∵b≤1，
∴＝2（b+m）+b≤2m+．
最大值为2m+．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．
31．（2018春•相城区期末）某商场购进A、B两种型号的智能扫地机器人共60个，这两种机器人的进价、售价如表所示．
（1）若恰好用掉14.4万元，那么这两种机器人各购进多少个？
（2）在每种机器人销售利润不变的情况下，若该商场计划销售这批智能扫地机器人的总利润不少于53000元，问至少需购进B型智能扫地机器人多少个？
【分析】（1）设购进A型智能扫地机器人x个，购进B型智能扫地机器人y个，根据总价＝单价×数量结合购进A、B两种型号的智能扫地机器人60个共花费14.4万元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B型智能扫地机器人m个，则购进A型智能扫地机器人（60﹣m）个，根据总利润＝单台利润×购进数量结合总利润不少于53000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其中最小的整数即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进A型智能扫地机器人x个，购进B型智能扫地机器人y个，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A型智能扫地机器人20个，购进B型智能扫地机器人40个．
（2）设购进B型智能扫地机器人m个，则购进A型智能扫地机器人（60﹣m）个，
根据题意得：（3700﹣2600）m+（2800﹣2000）（60﹣m）≥53000，
解得：m≥．
∵m为整数，
∴m≥17．
答：至少需购进B型智能扫地机器人17个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
32．（2018春•徐州期末）某公司有A、B两种型号的客车共11辆，它们的载客量（不含司机）、日租金、车辆数如下表所示，已知这11辆客车满载时可搭载乘客350人．
（1）求a、b的值；
（2）某校七年级师生周日集体参加社会实践，计划租用A、B两种型号的客车共6辆，且租车总费用不超过1700元．
①最多能租用A型客车多少辆？
②若七年级师生共195人，写出所有的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
【分析】（1）根据题意结合这11辆客车满载时可搭载乘客350人，得出方程组求出答案；
（2）根据（1）中所求，进而利用租用A、B两种型号的客车共6辆，且租车总费用不超过1700元，七年级师生共195人，进而得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）由题意，得：，
解得：；
（2）①设计划租用A型客车x辆，则计划租用B型客车（6﹣x）辆，
由题意得：320x+200（6﹣x）≤1700，
解得：x≤，
∵x取非负整数，
∴x的最大值为4，
答：最多能租用4辆A型客车；
②根据题意，得：40x+25（6﹣x）≥195，
解得：x≥3，
∴3≤x≤，
∵x为正整数，
∴x＝3，4，
所以所有的租车方案为；
方案一：A车3辆，B车3辆，费用为：3×320+3×200＝1560元；
方案二：A车4辆，B车2辆，费用为：4×320+2×200＝1680元；
所以最省钱的租车方案为：租用A型客车3辆，B型客车3辆．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键．
33．（2017秋•南山区期末）某中学拟组织七年级师生去参观苏州博物馆．下面是李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．”
小芳：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到苏州博物馆参观，一天的租金共计5100元．”
小明：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
（1）参加此次活动的七年级师生共有 420 人；
（2）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（3）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车最省钱？
【分析】（1）根据七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满，列出方程即可得到a的值，进而得出七年级师生人数；
（2）设60座客车每辆每天的租金为x元，根据租4辆60座和2辆45座的客车到苏州博物馆参观，一天的租金共计5100元，列出方程即可得到x的值；
（3）设租m辆60座客车，n辆45座客车，则60m+45n＝420，根据m，n都是非负整数，即可得到租金900m+750n的值，进相比较即可得出结论．
【解答】解：（1）由题可得，45a+15＝60（a﹣2），
解得a＝9，
∴此次活动的七年级师生共有60×（9﹣2）＝420（人）；
故答案为：420；
（2）设60座客车每辆每天的租金为x元，依题意得
4x+2（x﹣150）＝5100，
解得x＝900，
∴x﹣150＝750，
答：客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元和750元；
（3）设租m辆60座客车，n辆45座客车，则
60m+45n＝420，
∴m＝7﹣n，
∵m，n都是非负整数，
∴，，，
∵租金为900m+750n，
∴当时，900m+750n＝6300（元）；
当时，900m+750n＝6600（元）；
当时，900m+750n＝6900（元）；
∴有三种方案，其中60座客车租7辆时最省钱．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
34．（2019秋•樊城区期末）如图，B、A、E三点在同一直线上，（1）AD∥BC，（2）∠B＝∠C，（3）AD平分∠EAC．
请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明．
已知： AD∥BC，∠B＝∠C
求证： AD平分∠EAC
证明：
【分析】本题答案不唯一，可以用（1）和（2）作为已知条件，（3）作为结论，构造命题．再结合图形说明命题的真假．
【解答】解：命题：已知：AD∥BC，∠B＝∠C，
求证：AD平分∠EAC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC．
又∵∠B＝∠C，
∴∠EAD＝∠DAC．
即AD平分∠EAC．
故是真命题．
故答案为：AD∥BC，∠B＝∠C，AD平分∠EAC．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
35．（2021•香洲区校级模拟）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ 50 °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．
【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根据∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．
②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根据∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度数是多少即可．
③根据∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判断出∠A的度数是多少．
【解答】解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
，
根据外角的性质，可得
∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
②由（1），可得
∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，
∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，
∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE
＝45°+40°
＝85°；
③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C＝70°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°
∴（133﹣x）+x＝70，
∴13.3﹣x+x＝70，
解得x＝63，
即∠A的度数为63°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键．
36．（2020春•徐州期末）△ABC中，∠C＝70°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的两个定点，点P是平面内一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
初探：
（1）如图1，若点P在线段AB上运动，
①当∠α＝60°时，则∠1+∠2＝ 130 °；
②∠α、∠1、∠2之间的关系为： ∠1+∠2＝70°+∠α ．
再探：
（2）若点P运动到边AB的延长线上，如图2，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．
拓展：
（3）请你试着给出一个点P的其他位置，在图3中补全图形，并写出此时∠α、∠1、∠2之间的关系： ∠1+∠2＝430°﹣∠α ．
【分析】（1）①如图1中，连接PC．证明∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE即可．
②利用①中结论解决问题．
（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（3）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）①如图1中，连接PC．
∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DCP+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+∠DPE＝∠ACB+∠α，
∵∠ACB＝70°，∠α＝60°，
∴∠1+∠2＝60°+70°＝130°．
②由①可知，∠1+∠2＝∠ACB+∠α＝70°+∠α，
故答案为130，70°+∠α．
（2）结论：∠1＝70°+∠2+∠α．
理由：如图2中，
∵∠1＝∠C+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，
∴∠1＝70°+∠2+∠α．
（3）结论：∠1+∠2＝430°﹣∠α．
理由：如图3中，
∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+360°﹣∠DPE＝70°+360°﹣∠α，
∴∠1+∠2＝430°﹣∠α．
故答案为∠1+∠2＝430°﹣∠α．
【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
37．（2020春•高淳区期末）已知，如图，E为BC延长线上一点，点D是线段AC上一点．
（1）如图1，DF∥BC，作DG平分∠BDF交AB于G，DH平分∠GDC交BC于H，且∠BDC比∠ACB大20°，求∠GDH的度数．
（2）如图2，连接DE，若∠ABC的平分线与∠ADE的平分线相交于点P，BP交AC于点K．
①设∠ABK＝x，∠AKB＝y，∠ADP＝z，试用x，y，z表示∠E；
②求证：∠P＝（∠A﹣∠E）．
【分析】（1）设∠BCD＝a，则∠BDC＝a+20，根据平行线的性质，结合角平分线的定义可求解∠GDC＝100°，进而可求解；
（2）①根据角平分线的定义，及三角形外角的性质可求得∠E＝∠ACB﹣∠CDE，再根据三角形的内角和定理代入计算可求解；
②根据三角形外角的性质可得∠P＝180°﹣y﹣z，（∠A﹣∠E）＝180°﹣y﹣z，进而可证明结论．
【解答】解：（1）设∠BCD＝a，则∠BDC＝a+20，
∴∠CBD＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC＝160﹣2a，
∵DF∥BC，
∴∠BDF＝∠CBD，
∵DG平分∠BDF，
∴∠BDG＝∠BDF＝∠CBD＝80﹣a，
∴∠GDC＝∠BDG+∠BDC＝80﹣a+a+20＝100，
∵DH平分∠GDC，
∴∠GDH＝∠GDC＝50°；
（2）①∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADE，
∴∠ABC＝2∠ABP＝2x，
∠ADE＝2∠ADP＝2z，
∵∠ACB是△DCE的外角，
∴∠E＝∠ACB﹣∠CDE，
在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝180°﹣2x﹣∠A，
∴∠E＝180°﹣2 x﹣∠A﹣（180°﹣2z）
＝﹣2x+2z﹣∠A．
∵在△ABK中，∠A＝180°﹣∠ABK﹣∠AKB＝180°﹣x﹣y，
∴∠E＝﹣2x+2z﹣（180°﹣x﹣y）＝2z﹣x+y﹣180°；
②∵∠AKP分别是△PKD与△ABK的外角，
∴∠P＝∠AKP﹣∠ADP，∠AKP＝∠A+∠ABK，
∴∠P＝∠A+∠ABK﹣∠ADP＝180°﹣y﹣z，
∴∠E＝﹣2x+2z﹣（180°﹣x﹣y）＝2z﹣x+y﹣180°，
∵（∠A﹣∠E）＝（180°﹣x﹣y）﹣（2z﹣x+y﹣180°）＝180°﹣y﹣z，
∴∠P＝（∠A﹣∠E）．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内外角，角平分线的定义，根据角平分线的定义及平行线的性质找准数量关系是解题的关键．
38．（2020春•盱眙县期末）直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合．
（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数；
（2）如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ 45 度（直接写出结果，不需说理）；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数．
【分析】（1）求出∠IBA，∠IAB，根据∠AIB＝180°﹣（∠IBA+∠IAB），即可解决问题．
（2）①根据∠CBA＝∠D+∠BAD，只要求出∠CBA，∠BAD即可．
②结论：点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．根据∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB计算即可．
（3）首先证明∠ABO＝2∠D，∠DAF＝90°，再分四种情形讨论即可①当∠DAF＝4∠D时，②当∠DAF＝4∠F时，③当∠F＝4∠D时，④当∠D＝4∠F时，分别计算即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，∵∠OAB＝40°，
∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴∠IBA＝ABO＝25°，∠IAB＝∠OAB＝20°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝135°．
（2）如图2中，
①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA＝∠MBA＝65°，∠BAI＝∠BAO＝20°，
∵∠CBA＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝45°，
故答案为：45．
②不变，
理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
（3）如图3中，
∵∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，
∴∠DAO＝∠BAO，∠FAO＝∠EAP，
∴∠DAF＝∠BAO+EAP＝×180°＝90°，
∴∠D＝∠POD﹣∠DAO＝∠POB﹣∠BAO＝（∠POB﹣∠BAO）＝∠ABO，
①当∠DAF＝4∠D时，∠D＝22.5°，
∴∠ABO＝2∠D＝45°．
②当∠DAF＝4∠F时，∠F＝22.5°，∠D＝67.5°，
∴∠ABO＝2∠D＝135°（不合题意舍弃）．
③当∠F＝4∠D时，∠D＝18°，
∴∠ABO＝2∠D＝36°．
④当∠D＝4∠F时，∠D＝72°，
∴∠ABO＝2∠D＝144°（不合题意舍弃）．
综上所述，当∠ABO＝45°或36°时，在△ADF中，有一个角的度数是另一个角的4倍．
【点评】本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
39．（2020春•赣榆区期末）[问题背景]
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．
[简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
①若∠ABC＝28°，∠ADC＝20°，求∠P的度数；
②∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．
[问题探究]
（3）如图3，直线BP平分∠ABC的邻补角∠FBC，DP平分∠ADC的邻补角∠ADE，
①若∠A＝30°，∠C＝18°，则∠P的度数为 24° ；
②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠A、∠C之间数量关系．
[拓展延伸]
（4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ∠P＝（3x+y） ；（用x、y的代数式表示∠P）
（5）在图5中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论 ∠P＝90°﹣∠C﹣∠A ．
【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（3）如图3中，设∠CBJ＝∠JBF＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（4）如图4中，设∠CAP＝α，∠CDP＝β，则∠PAB＝3α，∠PDB＝3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）①如图2中，
设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y，
则有，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
∴∠P＝（∠B+∠D）＝（28°+20°）＝24°；
②2∠P＝∠B+∠D；
（3）①如图3中，设∠CBJ＝∠JBF＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．
则有，
∴2∠P＝∠A+∠C，
∴∠P＝（30°+18°）＝24°；
故答案为：24°；
②设∠CBJ＝∠JBF＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．
则有，
∴2∠P＝∠A+∠C；
（4）如图4中，设∠CAP＝α，∠CDP＝β，则∠PAB＝3α，∠PDB＝3β，
则有，
∴4∠P＝3∠C+∠B，
∴∠P＝（3x+y），
故答案为∠P＝（3x+y）．
（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．
则有∠A+2x＝∠C+180°﹣2y，
∴x+y＝90°+（∠C﹣∠A），
∵∠P+x+∠A+y＝180°，
∴∠P＝90°﹣∠C﹣∠A．
故答案为∠P＝90°﹣∠C﹣∠A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，“8字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
40．（2020春•邗江区期末）（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连接BE、DE．求证：∠E＝∠ABE+∠CDE．
（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）利用平行线的性质即可得出结论；
（2）先判断出∠EBD+∠EDB＝180°﹣（∠ABE+∠CDE），进而得出∠DBF+∠BDF＝90°﹣（∠ABE+∠CDE），最后用三角形的内角和即可得出结论；
（3）先由（1）知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
过点E作EH∥AB，
∴∠BEH＝∠ABE，
∵EH∥AB，CD∥AB，
∴EH∥CD，
∴∠DEH＝∠CDE，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝∠ABE+∠CDE；
（2）2∠F﹣（∠ABE+∠CDE）＝180°，
理由：由（1）知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∵∠EDB+∠EBD+∠BED＝180°，
∴∠EBD+∠EDB＝180°﹣∠BED＝180°﹣（∠ABE+∠CDE），
∵BF，DF分别是∠DBE，∠BDE的平分线，
∴∠EBD＝2∠DBF，∠EDB＝2∠BDF，
∴2∠DBF+2∠BDF＝180°﹣（∠ABE+∠CDE），
∴∠DBF+∠BDF＝90°﹣（∠ABE+∠CDE），
在△BDF中，∠F＝180°﹣（∠DBF+∠BDF）＝180°﹣[90°﹣（∠ABE+∠CDE）]＝90°+（∠ABE+∠CDE），
即：2∠F﹣（∠ABE+∠CDE）＝180°；
（3）2∠G＝∠ABE+∠CDE，理由：如图3，
由（1）知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∵BG是∠EBD的平分线，
∴∠DBE＝2∠DBG，
∵DG是∠EDP的平分线，
∴∠EDP＝2∠GDP，
∴∠BED＝∠EDP﹣∠DBE＝2∠GDP﹣2∠DBG＝2（∠GDP﹣∠DBG），
∴∠GDP﹣∠DBG＝∠BED＝（∠ABE+∠CDE）
∴∠G＝∠GDP﹣∠DBG＝（∠ABE+∠CDE），
∴2∠G＝∠ABE+∠CDE．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，判断出∠BED＝∠EDP﹣∠DBE是解本题的关键．
41．（2019秋•崇川区期末）如图1，MN∥EF，C为两直线之间一点．
（1）如图1，若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度数．
（2）如图2，若∠CAM与∠CBE的平分线相交于点D，∠ACB与∠ADB有何数量关系？并证明你的结论．
（3）如图3，若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，请直接写出∠ACB与∠ADB之间的数量关系： ∠ADB＝90°﹣ACB ．
【分析】（1）如图1，根据平行线的性质得到∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠MAC＝∠ACG，∠EBC＝∠BCG，根据角平分线的定义得到∠1＝ACG，∠2＝，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，根据角平分线的定义得到∠1＝ACG，∠2＝，根据平角的定义即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，根据平行线的定义得到∠1＝MAC，∠2＝∠CBF，根据四边形的内角和和角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，
∠MAC＝∠ACG，∠EBC＝∠BCG，
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，
∴∠1＝ACG，∠2＝，
∴∠ADB＝（∠ACG+∠BCG）＝∠ACB；
∵∠ACB＝100°，
∴∠ADB＝50°；
（2）如图2，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，
∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，
∴∠1＝MAC，∠2＝EBC，
∴∠ADB＝∠1+∠2＝（∠MAC+∠EBC）＝（180°﹣∠NAC+180°﹣∠FBC）＝（360°﹣∠ACB），
∴∠ADB＝180°﹣∠ACB；
（3）如图3，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，
∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，
∵∠MAC与∠FBC的平分线相交于点D，
∴∠1＝MAC，∠2＝∠CBF，
∵∠ADB＝360°﹣∠1﹣（180°﹣∠2）﹣∠ACB＝360°﹣∠MAC﹣（180°﹣∠CBF）﹣∠ACB＝360°﹣（180°﹣∠ACG）﹣（180°﹣∠BCG）＝90°﹣∠ACB．
∴∠ADB＝90°﹣ACB．
故答案为：∠ADB＝90°﹣ACB．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
42．（2018秋•市南区期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出∠ABO的度数＝ 60°或45° ．
【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB＝90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB＝90°，进而得出∠OAB+∠OBA＝90°，故∠PAB+∠MBA＝270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F＝45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE＝112.5°，进而得出结论；
（3））由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO＝∠BAO，∠EOQ＝∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
【解答】解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
（2）∠CED的大小不变．
延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠PAB+∠MBA＝270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC＝（∠PAB+∠ABM）＝135°，
∴∠F＝45°，
∴∠FDC+∠FCD＝135°，
∴∠CDA+∠DCB＝225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，
∴∠E＝67.5°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO＝∠BAO，∠EOQ＝∠BOQ，
∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF＝90°．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①∠EAF＝3∠E，∠E＝30°，∠ABO＝60°；
②∠EAF＝3∠F，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍弃）；
③∠F＝3∠E，∠E＝22.5°，∠ABO＝45°；
④∠E＝3∠F，∠E＝67.5°，∠ABO＝135°（舍弃）．
∴∠ABO为60°或45°．
故答案为：60°或45°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
43．（2018春•崇川区校级期末）【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P＝（∠B+∠D）＝26°．
【问题探究】如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
①在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： ∠P＝α+β （用α、β表示∠P），
②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ∠P＝ ．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明．
（2）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1＝∠2，∠3＝∠4，推出∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠B+∠4，推出2∠P＝∠B+∠D，即可解决问题．
（3）①②同法列出方程组即可解决问题．
【解答】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，
∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），
∠P+∠1＝∠B+∠4，
∴2∠P＝∠B+∠D，
∴∠P＝（∠B+∠D）＝×（36°+16°）＝26°；
【拓展延伸】
①同法可得：∠P＝α+β；
故答案为∠P＝α+β
②同法可得：∠P＝．
故答案为：∠P＝．
【点评】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．
44．（2021秋•法库县期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是 20 °，当DP⊥OE时，x＝ 70 ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO的度数及x的值；②根据∠ODE、∠FDE的度数，可得x的值；
（2）分两种情况进行讨论：DP在DE左侧，DP在DE右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．
【解答】解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，
∴∠BOE＝20°，
∵DE∥OB，
∴∠DEO＝∠BOE＝20°；
∵∠DOE＝∠DEO＝20°，
∴DO＝DE，∠ODE＝140°，
当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°，
即x＝70，
故答案为：20，70；
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，
∴∠EDF＝80°，
又∵∠ODE＝140°，
∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，
∴x＝60；
（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分两种情况：
①如图2，若DP在DE左侧，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF＝90°﹣x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠EFD＝20°+x°，
当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），
解得x＝68；
②如图3，若DP在DE右侧，
∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，
∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），
解得x＝104；
综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．
45．（2020春•泰州期末）已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC＝ 360°﹣x﹣y （用含x、y的代数式直接填空）；
（2）如图1，若x＝y＝90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．
①若x+y＝120°，∠DFB＝20°，试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．
【分析】（1）利用四边形内角和定理进行计算，得出答案即可；
（2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出DE与BF的位置关系即可；
（3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB＝y﹣x＝20°，解方程组即可得出x，y的值；②当x＝y时，可得∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，∠A＝x，∠C＝y，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣x﹣y．
故答案为：360°﹣x﹣y．
（2）DE⊥BF．
理由：如图1，∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE＝∠ADC，∠CBF＝∠CBM，
又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，
∴∠CDE＝∠CBF，
又∵∠DGC＝∠BGE，
∴∠BEG＝∠C＝90°，
∴DE⊥BF；
（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM＝360°﹣（360°﹣x﹣y）＝x+y，
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，
∴∠CDF+∠CBF＝（x+y），
如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB＝180°﹣y，
∴∠FBD+∠FDB＝180°﹣y+（x+y）＝180°﹣y+x，
∴∠DFB＝y﹣x＝20°，
解方程组：，
可得：；
②当x＝y时，∠FBD+∠FDB＝180°﹣y+x＝180°，
∴∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，
此时，∠DFB不存在．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识的综合应用，解题时注意：四边形内角和为360°，正确利用角平分线的定义是解题关键．
46．（2018春•洪泽区期末）若∠C＝α，∠EAC+∠FBC＝β．
（1）如图1，若AE∥BF，则α与β有何关系？ α＝β （直接写出结果）；
（2）如图2，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，判断α与β的关系，并说明理由；
（3）若∠EAC的平分线与∠FBC平分线交于点P，试探究∠APB与α、β的关系 ∠APB＝α﹣β （直接写出结果，用含α、β的代数式表示∠APB）；
（4）如图3，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2…依此类推，则∠P4＝ α﹣β （用含α、β的代数式表示）；∠Pn＝ α﹣β （n是整数，且n≥2，用含α、β、n的代数式表示）．
【分析】（1）过点C作CM∥AE，根据平行线的性质即可得出∠EAC＝∠ACM、∠FBC＝∠BCM，再通过角的计算即可得出结论；
（2）过点C作CG∥AM，根据平行线的性质可得出∠MAC＝∠ACG、∠NBC＝∠BCG，再根据角平分线的性质结合角的计算即可得出结论；
（3）连接PC并延长到点M，根据三角形外角的性质可得出∠ACM＝∠PAC+∠APC、∠BCM＝∠PBC+∠BPC，再根据角平分线的性质结合角的计算即可得出结论；
（4）结合（3）的结论找出∠P1、∠P2、∠P3，根据角的变化找出变化规律“∠Pn＝α﹣β”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：（1）过点C作CM∥AE，如答图1所示．
∵CM∥AE，
∴∠EAC＝∠ACM．
∵CM∥AE，AE∥BF，
∴CM∥BF，
∴∠FBC＝∠BCM．
∵∠ACB＝∠ACM+∠BCM＝α，∠EAC+∠FBC＝β，
∴α＝β．
故答案为：α＝β．
（2）α＝β．理由如下：
过点C作CG∥AM，如答图2所示．
∵CG∥AM，AM∥BN，
∴AM∥BN∥CG，
∴∠MAC＝∠ACG，∠NBC＝∠BCG，
∵AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，
∴∠ACB＝∠ACG+∠BCG＝∠MAC+∠NBC＝∠EAC+∠FBC＝（∠EAC+∠FBC）＝β．
（3）连接PC并延长到点M，如答图3所示．
∵∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，
∴∠PAC＝∠EAC，∠PBC＝∠FBC，
∵∠ACM＝∠PAC+∠APC，∠BCM＝∠PBC+∠BPC，∠ACB＝∠ACM+∠BCM，∠APB＝∠APC+∠BPC，
∴∠ACB＝∠PAC+∠PBC+∠APB，
∵∠ACB＝α，∠EAC+∠FBC＝β，
∴α＝β+∠APB，
∴∠APB＝α﹣β．
故答案为：∠APB＝α﹣β．
（4）结合（3）结论可知：∠P1＝α﹣β，∠P2＝α﹣β，∠P3＝α﹣β，
∴∠P4＝α﹣β，…
∴∠Pn＝α﹣β．
故答案为：α﹣β，α﹣β．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义、角的计算、三角形外角的性质的运用．解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等或互补的角是关键．
47．（2018春•常熟市期末）在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点．
（1）如图1，点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点，且∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠NCB，若∠BAC＝60°，则∠BDC＝ 120 °，∠BEC＝ 100 °；
（2）如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数．
【分析】（1）依据点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，可得∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，根据△BCD中，∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）进行计算即可；依据∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠NCB，可得∠EBC+∠ECB＝（∠MBC+∠NCB）＝80°，依据△BCE中，∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）进行计算即可；
（2）根据已知条件求得∠FDC＝90°﹣∠A，∠F＝∠FCG﹣∠FBC＝∠A，∠DCF＝90°，再根据在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，分数轴情况进行讨论：①当∠FDC＝4∠F时；②当∠F＝4∠FDC时；③当∠DCF＝4∠FDC时；④当∠DCF＝4∠F时；分别求得∠BAC的度数为36°或144°或135°或45°．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
又∵点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴△BCD中，∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣60°＝120°；
∵∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠NCB，
∴∠EBC+∠ECB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（360°﹣120°）＝80°，
∴△BCE中，∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣80°＝100°；
故答案为：120，100；
（2）由（1）可得，∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
∴∠FDC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，
∵∠FCG是△BCF的外角，∠ACG是△ABC的外角，
∴∠F＝∠FCG﹣∠FBC，∠A＝∠ACG﹣∠ABC，
又∵BF平分∠ABC，FC平分∠ACG，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCG＝∠ACG，
∴∠F＝∠FCG﹣∠FBC＝∠ACG﹣∠ABC＝（∠ACG﹣∠ABC）＝∠A，
∵DC平分∠ACB，FC平分∠ACG，
∴∠DCF＝∠ACD+∠ACF＝∠BCG＝90°，
在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则
①当∠FDC＝4∠F时，90°﹣∠A＝4×∠A，
解得∠A＝36°；
②当∠F＝4∠FDC时，∠A＝4×（90°﹣∠A），
解得∠A＝144°；
③当∠DCF＝4∠FDC时，90°＝4×（90°﹣∠A），
解得∠A＝135°；
④当∠DCF＝4∠F时，90°＝4×∠A，
解得∠A＝45°；
综上所述，锐角△ABC中∠BAC的度数为36°或45°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
48．（2021春•镇江期末）直线AB、CD为平面内两条直线，点M、点N分别在直线AB、CD上，点P（P不在直线AB、CD上）为平面内一动点．
（1）如图1，若AB、CD相交于点O，∠MON＝40°；
①当点P在△OMN内部时，求证：∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝40°；
②小芳发现，当点P在∠MON内部运动时，∠MPN、∠OMP、∠ONP还存在其它数量关系，这种数量关系是 ∠MPN+∠OMP+∠ONP＝320° ；
③探究，当点P在∠MON外部时，∠MPN、∠OMP、∠ONP之间的数量关系共有 5 种；
（2）如图2，若AB∥CD，请直接写出∠MPN与∠AMP、∠CNP之间存在的所有数量关系是 ∠AMP＝∠MPN+∠CNP或∠CNP＝∠MPN+∠AMP或∠AMP+∠CNP+MPN＝360° ．
【分析】（1）①延长OP至点E，利用三角形的外角性质和整体思想求证；
②分类讨论，点P在△OMN内部和外部进行讨论；
③直线MN和直线AB、直线CD将平面分为7个部分，讨论点P在∠MON外部的5个部分进行讨论；
（3）直线MN和直线AB、直线CD将平面分为6个部分，讨论点P在这6个部分时三个角之间的关系．
【解答】（1）①证明：如图1，延长OP至点E，
∵∠MPE和∠NPE分别是△MOP和△NOP的外角，
∴∠MPE＝∠MOP+∠OMP，∠NPE＝∠NOP+∠ONP，
∴∠MPE+∠NPE＝∠MOP+∠NOP+∠OMP+∠ONP，即∠MPN＝∠MON+∠OMP+∠ONP，
∴∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝∠MON＝40°．
②解：如图2，当点P在∠MON内部，且在直线MN右侧时，延长OP至点E，则
∠MPO+∠MOP+∠OMP＝180°，∠NPO+∠NOP+∠ONP＝180°，
∴∠MPO+∠NPO+∠MOP+∠NOP+∠OMP+∠ONP＝360°，即∠MPN+∠MON+∠OMP+∠ONP＝360°，
∴∠MPN+∠OMP+∠ONP＝360°﹣∠MON＝360°﹣40°＝320°．
故答案为：∠MPN+∠OMP+∠ONP＝320°．
③解：如图3，当点P落在直线MN左侧，且在∠COB内部时，记PN与AB的交点为点E，
∵∠OEP是△MEP和△OEN的外角，
∴∠OEP＝∠MPN+∠OMP，∠OEP＝∠MON+∠ONP，
∴∠MPN+∠OMP＝∠MON+∠ONP，即∠MPN+∠OMP﹣∠ONP＝∠MON，
∴∠MPN+∠OMP﹣∠ONP＝40°；
如图4，当点P落在直线MN的右侧，且在∠COB内部时，记PN与AB的交点为点E，
∵∠OMP是△MEP的外角，∠OEP是△OEN的外角，
∴∠OMP＝∠MPN+∠OEP，∠OEP＝∠MON+∠ONP，
∴∠OMP＝∠MPN+∠MON+∠ONP，即∠OMP﹣∠ONP﹣∠MPN＝∠MON，
∴∠OMP﹣∠ONP﹣∠MPN＝40°；
如图5，当点P落在直线MN左侧，且在∠AOD内部时，记PM与CD的交点为点F，
∵∠OFP是△MOF和△FNP的外角，
∴∠OFP＝∠MON+∠OMP，∠OFP＝∠MPN+∠ONP，
∴∠MON+∠OMP＝∠MPN+∠ONP，即∠MPN+∠ONP﹣∠OMP＝∠MON，
∴∠MPN+∠ONP﹣∠OMP＝40°；
如图6，当点P落在直线MN右侧，且在∠AOD内部时，记PM与CD的交点为点F，
∵∠OFP是△MOF的外角，∠ONP是△FNP的外角，
∴∠OFP＝∠MON+∠OMP，∠ONP＝∠MPN+∠OFP，
∴∠ONP＝∠MPN+∠MON+∠OMP，
∴∠MPN+∠OMP+∠ONP＝∠MON＝40°；
如图7，当点P落在∠AOC内部时，延长PO至点G，
∵∠MOG和∠NOG分别是△MOP和△NOP的外角，
∴∠MOG＝∠MPO+∠PMO，∠NOG＝∠NPO+∠PNO，
∴∠MOG+∠NOG＝∠MPO+∠NPO+∠PMO+∠PNO，即∠MON＝∠MPN+∠PMO+∠PNO，
∴∠MPN+∠PMO+∠PNO＝40°，
综上所述：当点P在∠MON外部时，∠MPN、∠OMP、∠ONP之间的数量关系共有5种．
（2）解：如图8，当点P在直线MN右侧，且在直线AB上方时，记PN与直线AB的交点为H，
∵AB∥CD，
∴∠AHP＝∠CNP，
∵∠AMP是△MPH的外角，
∴∠AMP＝∠MPN+∠AHP，
∴∠AMP＝∠MPN+∠CNP，
如图9，当点P在直线MN的左侧，且在直线AB上方时，记PN与直线AB的交点为H，
∵AB∥CD，
∴∠AHP＝∠CNP，
∵∠AHP是△MPH的外角，
∴∠AHP＝∠MPN+∠AMP，
∴∠CNP＝∠MPN+∠AMP，
如图10，当点P在直线MN右侧，且在直线AB和直线CD之间时，
∵AB∥CD，
∴∠BMP+∠PMN+∠PNM+∠PND＝180°，
∵∠BMP＝180°﹣∠AMP，∠PND＝180°﹣∠PNC，∠PMN+∠PNM＝180°﹣∠MPN，
∴∠AMP+∠CNP+MPN＝360°，
如图11，当点P在直线MN左侧，且在直线AB和直线CD之间时，
∵AB∥CD，
∴∠AMP+∠PMN+∠CNP+∠PNM＝180°，
∵∠PMN+∠PNM＝180°﹣∠MPN，
∴∠AMP+∠CNP＝∠MPN，
如图12，当点P在直线MN右侧，且在直线CD下方时，记PN与CD的交点为H，
∵AB∥CD，
∴∠AMP＝∠CHP，
∵∠CNP是△NHP的外角，
∴∠CNP＝∠CHP+∠MPN，
∴∠CNP＝∠AMP+∠MPN，
如图13，当点P在直线MN的左侧，且在直线CD下方时，记PN与CD的交点为H，
∵AB∥CD，
∴∠AMP＝∠CHP，
∵∠CHP是△PHN的外角，
∴∠CHP＝∠MPN+∠CNP，
∴∠AMP＝∠MPN+∠CNP，
综上所述，当AB∥CD时，∠MPN与∠AMP、∠CNP之间存在的所有数量关系是：∠AMP＝∠MPN+∠CNP或∠CNP＝∠MPN+∠AMP或∠AMP+∠CNP+MPN＝360°或∠AMP+∠CNP＝∠MPN．故答案为：∠AMP＝∠MPN+∠CNP或∠CNP＝∠MPN+∠AMP或∠AMP+∠CNP+MPN＝360°或∠AMP+∠CNP＝∠MPN．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理，解题的关键是根据点P的位置进行分类讨论．分类情况较多，同学们可以将对应的图形一一画出，然后求出给定的三个角的数量关系．
49．（2021春•广陵区校级期末）已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF＝∠AED+∠EDG；
（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI＝2：1，∠AED＝20°，∠I＝30°，求
∠EKD的度数．
【分析】（1）过E作EH∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出∠AED＝∠AEH+∠DEH＝∠EAF+∠EDG；
（2）设CD与AE交于点H，根据∠EHG是△DEH的外角，即可得出∠EHG＝∠AED+∠EDG，进而得到∠EAF＝∠AED+∠EDG；
（3）设∠EAI＝∠BAI＝α，则∠CHE＝∠BAE＝2α，进而得出∠EDI＝α+10°，∠CDI＝α+5°，再根据∠CHE是△DEH的外角，可得∠CHE＝∠EDH+∠DEK，即2α＝α+5°+α+10°+20°，求得α＝70°，即可根据三角形内角和定理，得到∠EKD的度数．
【解答】解：（1）∠AED＝∠EAF+∠EDG．
理由：如图1，过E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠EAF＝∠AEH，∠EDG＝∠DEH，
∴∠AED＝∠AEH+∠DEH＝∠EAF+∠EDG；
（2）证明：如图2，设CD与AE交于点H，
∵AB∥CD，
∴∠EAF＝∠EHG，
∵∠EHG是△DEH的外角，
∴∠EHG＝∠AED+∠EDG，
∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；
（3）∵AI平分∠BAE，
∴可设∠EAI＝∠BAI＝α，则∠BAE＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠CHE＝∠BAE＝2α，
∵∠AED＝20°，∠I＝30°，∠DKE＝∠AKI，
∴∠EDI＝α+30°﹣20°＝α+10°，
又∵∠EDI：∠CDI＝2：1，
∴∠CDI＝∠EDK＝α+5°，
∵∠CHE是△DEH的外角，
∴∠CHE＝∠EDH+∠DEK，
即2α＝α+5°+α+10°+20°，
解得α＝70°，
∴∠EDK＝70°+10°＝80°，
∴△DEK中，∠EKD＝180°﹣80°﹣20°＝80°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
50．（2021春•姑苏区期末）阅读以下内容：
已知实数m，n满足m+n＝5，且求k的值，
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值、
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值
丙同学：先解方程组，再求k的值
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题
（2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，x+y的值始终不变．
【分析】（1）①+②可得17（m+n）＝11k﹣3，因为m+n＝5，整体代入求出k即可；
（2）①×3+②消去a即可判断；
【解答】解：（1），
①+②得到，17（m+n）＝11k﹣3，
∵m+n＝5，
∴17×5＝11k﹣3
解得k＝8．
（2）
①×3+②得到：4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴不论a取什么实数，x+y的值始终不变．
【点评】本题考查二元一次方程组，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用整体的思想考虑问题，属于中考常考题型．
51．（2018春•丹阳市期末）阅读材料：
小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
解决问题：
（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 20 cm；
（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．
【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小正方形的面积；
（2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝9，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝14．根据这两个等量关系可列出方程组；
（3）设小长方形的面积为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，解得：，
∴xy＝10×6＝60．
故每个小长方形的面积为60；
（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，
则，解得，
则12x+y＝12×1+8＝20．
即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm．
（3）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得
，
解得，
∴S阴影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64．
故答案为：64．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
52．（2016春•吴中区期末）阅读下列材料：
解方程组：
解：由①得
x﹣y＝1 ③，
将③代入②，得
4×1﹣y＝5，
解这个一元一次方程，得
y＝﹣1．
从而求得．
这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题：
（1）解方程组：；
（2）在（1）的条件下，若x，y是△ABC两条边的长，且第三边的长是奇数，求△ABC的周长．
【分析】（1）由第一个方程求出2x﹣3y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
（2）根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，从而确定第三边的值，即可解答．
【解答】解：（1）
由①得：2x﹣3y＝2③，
将③代入②得：1+2y＝9，即y＝4，
将y＝4代入③得：x＝7，
则方程组的解为．
（2）∵△ABC两条边长是7和4，
∴第三边长小于11并且大于3，
∵第三边的长是奇数，
∴第三边长是5或7或9，
∴△ABC的周长是7+4+5＝16
或7+4+7＝18
或7+4+9＝20．
【点评】此题考查了解二元一次方程组和三角形的三边关系，解决本题的关键是解二元一次方程组．
53．（2017春•泗阳县校级期末）已知：三条不同的直线a、b、c在同一平面内：①a∥b；②a⊥c；③b⊥c； ④a⊥b．请你用①②③④所给出的其中两个事项作为条件，其中一个事项作为结论（用如果…那么…的形式，写出命题，例如：如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b）．
（1）写出一个真命题，并证明它的正确性；
（2）写出一个假命题，并举出反例．
【分析】（1）同一平面内，根据垂直于同一直线的两直线平行；由②③⇒①；
（2）假命题：②③⇒④；
【解答】解：（1）如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b；
理由：如图，
∵a⊥c、b⊥c，
∴∠1＝90°，∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b．
（2）如果a⊥c、b⊥c、那么a⊥b；反例：见上图，如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b．
【点评】本题考查命题与定理、平面内垂直于同一条直线的直线互相平行等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题．
54．（2019秋•平泉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 20° ；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ 120 ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ 60 ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
【解答】解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝20°，
②∵∠BAD＝∠ABD，
∴∠BAD＝20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝120°，
∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，
∴∠BAD＝80°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝60°；
故答案为：①20°； ②120，60；
（2）①当点D在线段OB上时，
∵OE是∠MON的角平分线，
∴∠AOB＝∠MON＝20°，
∵AB⊥OM，
∴∠AOB+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝70°，
若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20
若∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣70°）＝55°，则x＝35
若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x＝20、35、50、125．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
55．（2020春•玄武区期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
（2）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，可得α与β的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得γ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝γ﹣60°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，γ＝150°．
【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，
∠3+∠4+∠EGH＝180°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）β＝2α﹣180°，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠2，
同理可得，∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，
∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）
＝180°﹣（2∠2+2∠3）
＝180°﹣2（∠2+∠3）
＝180°﹣2（180°﹣α）
＝2α﹣180°；
（3）90°+m或150°．
理由如下：①当n＝3时，如下图所示：
∵∠BEG＝∠1＝m，
∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m，
∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣m），
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
则∠GHK＝120°，
则∠GHC＝30°，
由△GCH内角和，得γ＝90°+m．
②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
如下图所示：
根据三角形外角定义，得
∠G＝γ﹣60°，
由EF∥HK，且由（1）的结论可得，
∠G＝γ﹣60°＝90°，
则γ＝150°．
综上所述：γ的度数为：90°+m或150°．
【点评】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．
56．（2020春•叶集区期末）如图，直线CB∥OA，∠C＝∠A＝112°，E，F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB＝∠AOC，计算即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB＝∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC＝2∠OBC，从而得解；
（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE＝∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣112°＝68°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠EOF，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠AOC＝×68°＝34°；
（2）∠OBC：∠OFC的值不变．
∵CB∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠FOB＝∠OBC，
∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；
（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，
∴∠COE＝∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE＝∠AOC＝×68°＝17°，
∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣112°﹣17°＝51°，
故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝51°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
57．（2019秋•揭阳期末）探究与发现：如图①，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
（3）深入探究：如图②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠ADC，结合图形计算即可；
（2）设∠BAD＝x，根据三角形的外角的性质求出∠ADC，结合图形计算即可；
（3）设∠BAD＝x，仿照（2）的解法计算．
【解答】解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝105°，
∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝105°﹣75°＝30°；
（2）∠BAD＝2∠CDE，
理由如下：设∠BAD＝x，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝45°+x，
∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣x，
∴∠ADE＝∠AED＝，
∴∠CDE＝45°+x﹣＝x，
∴∠BAD＝2∠CDE；
（3）设∠BAD＝x，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠B+x，
∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠C﹣x，
∴∠ADE＝∠AED＝∠C+x，
∴∠CDE＝∠B+x﹣（∠C+x）＝x，
∴∠BAD＝2∠CDE．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
58．（2016春•句容市期末）操作与实践
（1）如图1请你在△ABC中画一条线段，把△ABC分成面积相等的两部分．
（2）如图2请你按照（1）的方法把四边形ABCD分成面积相等的两部分．
（3）如图3，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，则△EGO与△FHO的面积相等；
利用以上性质尝试在如图4四边形ABCD中作一条线段，把四边形ABCD分成面积相等的两部分，请简要写出画图步骤．
【分析】（1）找到一边中点，作出中线；
（2）将四边形转化为三角形，根据等底等高的三角形面积相等解答；
（3）利用（1）（2）的结论作出图形，再利用图形的面积的和差即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，取BC的中点D，AD为BC的中线，则BD＝CD，
根据等底等高的三角形面积相等，得S△ABD＝S△ACD；
（2）如图2，连接AC，再取AC的中点E，连接BE与DE，
∴S△ADE＝S△CDE，S△ABE＝S△BCE，
∴S△ADE+S△ABE＝S△CDE+S△BCE，
∴S四边形ABED＝S四边形BCDE；
（3）如图4，连接AC，BD，取AC的中点O，过点O作OE∥BD交CD于E，连接OE，
即：线段BE把四边形ABCD分成面积相等的两部分，
理由：连接OD交BE于F，连接OB，
由（1）知，S△BDE＝S△BDO，
∵S△BDE＝S△BDF+S△DEF，S△BDO＝S△BDF+S△OBF，
∴S△DEF＝S△OBF，
∵点O是AC的中点，
由（2）知，S△ADO＝S△CDO，S△ABO＝S△CBO，
∴S△BCE＝S△CBO+S△OBF+S△CEO+S△OEF＝S△CBO+S△DEF+S△CEO+S△OEF＝S△CBO+S△CDO．
S四边形ABED＝S四边形ABFD+S△DEF＝S△ABO+S△ADO﹣S△OBF+S△DEF＝S△ABO+S△ADO＝S△CBO+S△CDO．
∴S△BCE＝S四边形ABED，
即：线段BE把四边形ABCD分成面积相等的两部分．
【点评】主要考查了平行线的性质，三角形中线的性质，同底等高和等底同高的两三角形的面积相等，解本题关键是根据夹在平行线间的距离处处相等和三角形中线的性质作出图形．
59．（2016春•射阳县校级期末）已知BM、CN分别是△A1BC的两个外角的角平分线，BA2、CA2分别是∠A1BC和∠A1CB的角平分线，如图①；BA3、CA3分别是∠A1BC和∠A1CB的三等分线（即∠A3BC＝∠A1BC，∠A3CB＝∠A1CB），如图②；依此画图，BAn、CAn分别是∠A1BC和∠A1CB的n等分线（即∠AnBC＝∠A1BC，∠AnCB＝∠A1CB），n≥2，且n为整数．
（1）若∠A1＝70°，求∠A2的度数；
（2）设∠A1＝α，请用α和n的代数式表示∠An的大小，并写出表示的过程；
（3）当n≥3时，请直接写出∠MBAn+∠NCAn与∠An的数量关系．
【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可得到∠A1BC+∠A1CB的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠A2BC+∠A2CB的度数，最后根据三角形内角和定理计算即可；
（2）根据三角形内角和定理，即可得到∠A1BC+∠A1CB的度数，再根据BAn、CAn分别是∠A1BC和∠A1CB的n等分线，即可得到∠AnBC+∠AnCB的度数，最后根据三角形内角和定理进行计算即可；
（3）根据∠MBAn+∠NCAn＝（180°﹣∠A1）+∠An，以及∠A1＝n∠An﹣180°n+180°，即可得到∠MBAn+∠NCAn＝90°n﹣∠An，进而变形得出2（∠MBAn+∠NCAn）+（n﹣2）∠An＝180°n．
【解答】解：（1）∵∠A1＝70°，
∴∠A1BC+∠A1CB＝180°﹣70°＝110°，
∵BA2、CA2分别是∠A1BC和∠A1CB的角平分线，
∴∠A2BC+∠A2CB＝×110°＝55°，
∴∠A2＝180°﹣55°＝125°．
（2）在△A1BC中，∠A1BC+∠A1CB＝180°﹣α，
∵∠AnBC＝∠A1BC，∠AnCB＝∠A1CB，
∴∠AnBC+∠AnCB＝（∠A1BC+∠A1CB）＝（180°﹣α），
∴∠An＝180°﹣（∠AnBC+∠AnCB）＝180°﹣（180°﹣α）；
（3）2（∠MBAn+∠NCAn）+（n﹣2）∠An＝180°n．
理由：如图②，∵BM、CN分别是△A1BC的两个外角的角平分线，
∴∠MBE＝∠A1BE＝（180°﹣∠A1BC），
∠NCF＝∠A1CF＝（180°﹣∠A1CB），
∴∠MBAn+∠NCAn＝360°﹣（∠MBE+∠NCF）﹣（∠AnBC+∠AnCB）
＝360°﹣（180°﹣∠A1BC）﹣（180°﹣∠A1CB）﹣（180°﹣∠An）
＝（∠A1BC+∠A1CB）+∠An
＝（180°﹣∠A1）+∠An
由（2）可得，∠An＝180°﹣（180°﹣∠A1），
∴∠A1＝n∠An﹣180°n+180°，
∴∠MBAn+∠NCAn＝（180°﹣n∠An+180°n﹣180°）+∠An
＝90°n﹣∠An
∴2（∠MBAn+∠NCAn）+（n﹣2）∠An＝180°n．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和为180°，解答的关键是沟通三角形的外角和内角的数量关系．
60．（2016春•扬州校级期末）如图（1），由线段AB、AM、CM、CD组成的图形像英文字母M，称为“M形BAMCD”．
（1）如图（1），M形BAMCD中，若AB∥CD，∠A+∠C＝50°，则∠M＝ 50° ；
（2）如图（2），连接M形BAMCD中B、D两点，若∠B+∠D＝150°，∠AMC＝α，试探求∠A与∠C的数量关系，并说明理由；
（3）如图（3），在（2）的条件下，且AC的延长线与BD的延长线有交点，当点M在线段BD的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出∠A与∠C所有可能的数量关系．
【分析】（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．
（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解即可；
【解答】解：（1）过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，
∴∠AMC＝∠1+∠2＝∠A+∠C＝50°；
故答案为：50°；
（2）∠A+∠C＝30°+α，
延长BA，DC交于E，
∵∠B+∠D＝150°，
∴∠E＝30°，
∵∠BAM+∠DCM＝360°﹣（∠EAM+∠ECM）＝360°﹣（360°﹣∠E﹣∠M）＝30°+α；
即∠A+∠C＝30°+α；
（3）①如下图所示：
延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，
∵∠B+∠D＝150°，∠AMC＝α，∴∠E＝30°
由三角形的内外角之间的关系得：
∠1＝30°+∠2
∠2＝∠3+α
∴∠1＝30°+∠3+α
∴∠1﹣∠3＝30°+α
即：∠A﹣∠C＝30°+α．
②如图所示，210﹣∠A＝（180°﹣∠DCM）+α，即∠A﹣∠DCM＝30°﹣α．
综上所述，∠A﹣∠DCM＝30°+α或30°﹣α．
【点评】本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来，从而求得∠M的度数．
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