数学九年级下册第29章 直线与圆的位置关系29.2 直线与圆的位置关系课时作业

这是一份数学九年级下册第29章 直线与圆的位置关系29.2 直线与圆的位置关系课时作业，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知OP＝5，⊙O的半径为5，则点P在( )
A．⊙O上 B．⊙O内
C．⊙O外 D．圆心上
2．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
3．[2023·保定二模]如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边形纸片的边数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4．【母题：教材P7习题A组T2】在平面直角坐标系中，以点 (3，2)为圆心、2为半径的圆，一定( )
A．与x轴相切，与y轴相切
B．与x轴相切，与y轴相离
C．与x轴相离，与y轴相切
D．与x轴相离，与y轴相离
5．下列命题是真命题的是( )
A．六边形的内角和是540°
B．三角形的内心是三边的垂直平分线的交点
C．同位角相等
D．过不在同一直线上的三点可以确定一个圆
6．[2023·营口]如图，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝30°，则∠ACB的度数是( )
A．50° B．40° C．70° D．60°
7．【母题：教材复习题A组P21T4】若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径分别为( )
A．6，3eq \r(2) B．3eq \r(2)，3
C．6，3 D．6eq \r(2)，3eq \r(2)
8．[2023·重庆育才中学三模]如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3)
C．3eq \r(2) D．3eq \r(3)
9．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AC是⊙O的直径，∠P＝62°，则∠BOC的度数是( )
A．60° B．62° C．31° D．70°
10．[2023·眉山]如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为( )
A．25° B．35° C．40° D．45°
11.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a＞3)，半径为3，函数y＝x的图像被⊙P截得的弦AB的长为4eq \r(2)，则a的值是( )
A．4 B．3＋eq \r(2) C．3eq \r(2) D．3＋eq \r(3)
12.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于( )
A．40° B．55° C．65° D．70°
13．[2022·武汉]如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9 cm，AB＝20 cm，BC＝24 cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是( )
A.eq \f(110,13) cm B．8 cm C．6eq \r(2) cm D．10 cm
14.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(DB,\s\up8(︵))，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E.设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若eq \f(S1,S2)＝eq \f(2,3)，则
tan∠ACO的值为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(2\r(2),3) C.eq \f(7,5) D.eq \f(3,2)
15．[2023·台州]如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2
C．4＋2eq \r(2) D．4－2eq \r(2)
16．[2023·沧州模拟]如图①，PQ为⊙O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ＝QB＝1，动点A在PQ上方的⊙O上运动(含P，Q两点)，连接AB，设∠AOB＝α.有以下结论：
结论Ⅰ：当线段AB与⊙O只有一个公共点A时，α的范围是0°≤α≤60°；
结论Ⅱ：当线段AB与⊙O有两个公共点A，M时，如图②，若AO⊥PM于N，则tan∠MPQ＝eq \f(\r(15),15).
下列判断正确的是( )
A．Ⅰ和Ⅱ都正确 B．Ⅰ和Ⅱ都错误
C．Ⅰ错误Ⅱ正确 D．Ⅰ正确Ⅱ错误
二、填空题(每题3分，共9分)
17．[2023·广州二模]⊙O的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根和与两根积，则直线l与⊙O的位置关系是________．
18．[2023·菏泽]如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆， 则阴影部分的面积为________(结果保留π)．
19．[2023·岳阳三模]如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，AM是⊙O的切线，AC，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P，若∠APB＝40°，则eq \(AD,\s\up8(︵))的长为________；若AC＝8，则线段PD的长是________．
三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题13分，共69分)
20．如图，⊙O′过坐标原点O，点O′的坐标为(1，1)．判断点 P(－1，1)，点Q(0，1)，点R(2，2)和⊙O′的位置关系．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)请你判断(1)中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
22．【母题：教材P17例2】如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，且边长为4.
(1)求该正六边形的半径、边心距和中心角；
(2)求该正六边形的外接圆的周长和面积．
23．[2023·包头]如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是eq \(AC,\s\up8(︵))上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP.
(1)求证：∠ADC－∠BAC＝90°(请用两种证法解答)；
(2)若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，⊙P切x轴、y轴于C，D两点，直线交x轴正半轴、y轴正半轴于A，B两点，且与⊙P相切于点 E．若AC＝4，BD＝6.
(1)求⊙P的半径；
(2)求切点E的坐标．
25．[2023·恩施州]如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4eq \r(2)，求FG的长．
26. [2023·邯郸二模] [情境题·生活应用]摩天轮(如图①)是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成(如图②)，大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点(如点P，N)均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线(如PQ，MN)始终垂直于水平线l.
(1)∠NOP＝________°.
(2)若OA＝16，⊙O的半径为10，小圆的半径都为1.
①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；
②当圆心H到l的距离等于OA时，求OH的长；
③求证：在旋转过程中，MQ的长为定值，并求出这个定值．
答案
一、1.A 2.B 3.C 4.B 5.D
6．D 【点拨】如图，连接BD.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°.
∵∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝90°－30°＝60°.
∴∠ACB＝∠ADB＝60°.
7．B 【点拨】因为正方形内切圆半径为正方形边长的一半且正方形边长为6，所以其内切圆半径为3.又因为正方形边长是其外接圆半径的eq \r(2)倍，所以其外接圆半径为eq \f(6,\r(2))＝3eq \r(2)，故选B.
8．B 【点拨】连接AD，∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC.
∴∠OAC＝90°.∵∠C＝30°，∴∠AOC＝90°－30°＝60°.
又∵OA＝OD，∴△OAD为等边三角形．∴∠OAD＝60°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵AB＝2OA＝4，
∴BD＝AB·sin 60°＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，故选B.
9．B 【点拨】∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴∠A＝∠B＝90°.∴∠P＋∠AOB＝180°.
∵∠BOC＋∠AOB＝180°，∴∠BOC＝∠P＝62°.
10．C 【点拨】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出
∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°－∠O＝40°.
11．B 【点拨】
作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，作PE⊥AB于点E，连接PB，如图．
∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，
∴OC＝3，PC＝a，
把x＝3代入y＝x得y＝3，
∴D点的坐标为(3，3)．∴CD＝3＝OC.
∴△OCD为等腰直角三角形．
易知△PED也为等腰直角三角形．
∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)＝2eq \r(2).
在Rt△PBE中，PB＝3，BE＝2eq \r(2)，
∴PE＝eq \r(32－(2\r(2))2)＝1.∴PD＝eq \r(2)PE＝eq \r(2).
∴a＝3＋eq \r(2).
12．B 【点拨】由∠B＝50°，∠C＝60°可求出∠A＝70°，则易求得∠EOF＝110°，
∴∠EDF＝eq \f(1,2)∠EOF＝55°.
13．B 【点拨】如图，当AB，BC，CD分别切⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H.
∵AD∥BC，∠BAD＝90°，
∴∠ABC＝90°.
∵∠DHB＝90°，
∴四边形ABHD是矩形．
∴AB＝DH＝20 cm，AD＝BH＝9 cm.
∵BC＝24 cm，
∴CH＝BC－BH＝24－9＝15(cm)，
∴CD＝eq \r(DH2＋CH2)＝eq \r(202＋152)＝25(cm)．
设OE＝OF＝OG＝r cm，
则有eq \f(1,2)×(9＋24)×20＝eq \f(1,2)×20×r＋eq \f(1,2)×24×r＋eq \f(1,2)×25×r＋eq \f(1,2)×9×(20－r)，解得r＝8.
∴OE＝OF＝OG＝8 cm.
14．A 【点拨】如图，过点C作CH⊥AO于点H.
∵eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，
∴∠COD＝∠BOE.
∵∠A＝eq \f(1,2)∠COB，
∴∠A＝∠BOE.
∵eq \f(S1,S2)＝eq \f(2,3)，即eq \f(\f(1,2)OA·CH,\f(1,2)OB·BE)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(CH,BE)＝eq \f(2,3).
∵∠A＝∠BOE，∴tan A＝tan∠BOE.
∴eq \f(CH,AH)＝eq \f(BE,OB)，即eq \f(CH,BE)＝eq \f(AH,OB)＝eq \f(2,3).
设AH＝2m，则BO＝3m＝AO＝CO，
∴OH＝3m－2m＝m.∴CH＝eq \r(9m2－m2)＝2eq \r(2)m.
∴tan A＝ eq \f(CH,AH)＝eq \f(2\r(2)m,2m)＝eq \r(2).
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.∴tan∠ACO＝eq \r(2).
15．D 【点拨】如图，连接OA并延长交⊙O于点B，连接OC，
则易知AB的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值．
由题意可得，AC＝4，OB＝4，
∵点O为正方形的中心，
∴OA⊥OC，OA＝OC，
∴△AOC为等腰直角三角形，∴OA＝eq \f(AC,\r(2))＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2)，
∴AB＝OB－OA＝4－2eq \r(2).
16．A 【点拨】①∵当点A与点Q重合时，
线段AB与⊙O只有一个公共点，此时α＝0°；
②当线段AB所在的直线与⊙O相切时，
线段AB与⊙O只有一个公共点，此时OA⊥AB.
∵OA＝OQ＝1，OB＝2，∴cs α＝eq \f(OA,OB)＝eq \f(1,2)，∴α＝60°，
∴当线段AB与⊙O只有一个公共点A时，α的范围是0°≤α≤60°；
故结论Ⅰ正确；
如图，连接MQ，∵PQ是⊙O的直径，∴∠PMQ＝90°，
∴QM⊥PM.
∵AO⊥PM，∴QM∥OA，∴∠BQM＝∠AOB，
又∵∠B＝∠B，∴△AOB∽△MQB，∴eq \f(AO,QM)＝eq \f(OB,QB).
∵OQ＝QB＝1，∴OB＝2，∴eq \f(OA,QM)＝eq \f(OB,QB)＝2.
∵OA＝OQ＝1，∴QM＝eq \f(1,2)，PQ＝2，
∴在Rt△PMQ中，PM＝eq \r(PQ2－QM2)＝eq \f(\r(15),2)，
∴tan∠MPQ＝eq \f(QM,PM)＝eq \f(\f(1,2),\f(\r(15),2))＝eq \f(\r(15),15)，
故结论Ⅱ正确；
故选A.
二、17.相交 18.6 π
19.eq \f(25,9)π；eq \f(32,3) 【点拨】∵AM是⊙O的切线，
∴∠MAB＝90°.
∵∠APB＝40°，∴∠B＝90°－∠APB＝90°－40°＝50°.
∴eq \(AD,\s\up8(︵))所对圆心角度数为50°×2＝100°，
∴eq \(AD,\s\up8(︵))的长为eq \f(100,180)×eq \f(10,2)π＝eq \f(25,9)π.
如图，连接AD.
∵AB为直径，CD⊥AB，
∴CE＝DE，∠ADB＝90°，
∴AD＝AC＝8.
∵AB＝10，∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝6.
∵∠BAP＝∠BDA＝90°，∠ABD＝∠PBA，
∴△ADB∽△PAB.∴eq \f(AB,PB)＝eq \f(BD,AB).
∴PB＝eq \f(AB2,BD)＝eq \f(100,6)＝eq \f(50,3).∴DP＝PB－BD＝eq \f(50,3)－6＝eq \f(32,3).
三、20.解：圆的半径是eq \r(12＋12)＝eq \r(2).
P与O′的距离＝2＞eq \r(2)，则P在⊙O′的外部；
Q与O′的距离＝1＜eq \r(2)，则Q在⊙O′的内部；
R与O′的距离＝eq \r((2－1)2＋(2－1)2)＝eq \r(2)＝圆的半径，则R在⊙O′上．
21．解：(1)如图所示．
(2)AB与⊙O相切．
证明如下：过O作OD⊥AB于点D，如图．
∵BO平分∠ABC，∠ACB＝90°，OD⊥AB，
∴OD＝OC.即OD为⊙O的半径．
∴AB与⊙O相切．
22．解：(1)如图，AB为⊙O的内接正六边形的一边，连接OA，OB，
过点O作OM⊥AB于点M.
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴OA＝OB，∠AOB＝eq \f(1,6)×360°＝60°.
∴△OAB为等边三角形．∴OA＝AB＝4.
∵OM⊥AB，∴AM＝eq \f(1,2)AB＝2.
∴OM＝eq \r(OA2－AM2)＝2eq \r(3).
∴该正六边形的半径为4，边心距为2eq \r(3)，中心角为60°.
(2)该正六边形的外接圆的周长＝2π×OA＝8π，
外接圆的面积＝π×OA2＝16π.
23．(1)证明：证法一：如图，连接BD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵∠ADC－∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC，
∴∠ADC－∠BAC＝90°.
证法二：如图，连接BC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠PBC＝∠BAC＋∠ACB，
∴∠PBC－∠BAC＝ 90°.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°.
∵∠PBC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠PBC.
∴∠ADC－∠BAC＝90°.
(2)解：由证法二得∠ADC＝∠PBC.
∵∠ACP＝∠ADC，∴∠PBC＝∠PCA.
∵∠BPC＝∠CPA，
∴△PBC∽△PCA.∴eq \f(PB,PC)＝eq \f(PC,PA).
∴PC2＝PA·PB.
∵⊙O的半径为3，∴AB＝6.∴PA＝PB＋6.
∵CP＝4，
∴42＝(PB＋6)·PB，解得PB＝2或PB＝－8(舍去)．
∴AP＝2＋6＝8.
24. 解：(1)如图，连接PD，PC.
∵OB，OA，AB是⊙P的切线，
∴BE＝BD＝6，AE＝AC＝4，OD＝OC，
PD⊥OB，PC⊥OC.
又∵∠DOC＝90°，DP＝CP，
∴四边形PDOC是正方形，∴PD＝DO＝OC＝PC.
设PD＝x，∵OB2＋OA2＝AB2，
AB＝BE＋AE＝6＋4＝10，
∴(x＋6)2＋(x＋4)2＝102，
解得x1＝2，x2＝－12(舍去)，
∴⊙P的半径为2.
(2)如图，过E作EH⊥OA于H，
易知EH∥OB，∴△ABO∽△AEH，
∴eq \f(EH,OB)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AO)，即eq \f(EH,6＋2)＝eq \f(4,10)＝eq \f(AH,2＋4)，
∴EH＝eq \f(16,5)，AH＝eq \f(12,5)，∴OH＝2＋4－eq \f(12,5)＝eq \f(18,5)，
∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)，\f(16,5))).
25．(1)证明：如图，连接OD，作OM⊥BC于M.
由题意得AC＝BC，
∵O是AB的中点，
∴CO平分∠ACB.
∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC.∴OD＝OM.
∴BC是⊙O的切线．
(2)解：如图，作OH⊥AG于H，
∴∠GHO＝90°，FG＝2GH.
易得CG⊥AB，△OAC和△AOD是等腰直角三角形，
∴∠AOG＝90°＝∠GHO，OA＝eq \f(\r(2),2)AC＝eq \f(\r(2),2)×4eq \r(2)＝4.
∴OD＝eq \f(\r(2),2)AO＝2eq \r(2)，
∴OG＝2eq \r(2)，∴AG＝eq \r(OA2＋OG2)＝2eq \r(6).
∵∠GHO＝∠GOA，∠G＝∠G，∴△GHO∽△GOA，
∴eq \f(GH,OG)＝eq \f(OG,AG)，即eq \f(GH,2\r(2))＝eq \f(2\r(2),2\r(6))，解得GH＝eq \f(2\r(6),3).
∴FG＝eq \f(4\r(6),3).
26．(1)60
(2)①25
②解：如图，设⊙H的挂点为K，连接KH，
过点H作HT⊥l于点T，
∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，
∴K，H，T在同一直线上．
∵圆心H到l的距离等于OA，
∴HT＝OA.
∵HT⊥l，OA⊥l，∴HT∥OA，
∴四边形HTAO是平行四边形．
又∵∠OAT＝90°，∴四边形HTAO是矩形，
∴∠OHT＝90°，∴∠OHK＝90°，
∴OH＝eq \r(OK2－HK2)＝eq \r(102－12)＝3eq \r(11)；
③证明：如图所示，连接NP，
由(1)知∠NOP＝60°.
又∵ON＝OP＝10，
∴△NOP是等边三角形，∴NP＝ON＝OP＝10.
∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，
∴MN＝PQ＝1，MN∥PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∴MQ＝NP＝10，
∴MQ的长为定值．