第10讲 多项式因式分解（核心考点讲与练)-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第10讲多项式因式分解（核心考点讲与练)一．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．二．公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：　　（1）找出公因式；　　（2）提公因式并确定另一个因式：　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．四．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．　　平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；　　完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；　2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．五．提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用．六、因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax+ay+bx+by＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y）②2xy﹣x2+1﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）七．因式分解-十字相乘法等借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．八．实数范围内分解因式实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）九．因式分解的应用1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．3、利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．一．因式分解的意义（共3小题）1．（2021秋•莱州市期末）已知多项式ax2+bx+c因式分解的结果为（x﹣1）（x+4），则abc为（　　）A．12 B．9 C．﹣9 D．﹣122．（2021秋•阳江期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+33．（2021秋•淇县期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴．解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．二．公因式（共2小题）4．（2021秋•沂源县期末）6x3y2﹣3x2y3分解因式时，应提取的公因式是（　　）A．3xy B．3x2y C．3x2y3 D．3x2y25．（2021春•南京期中）多项式3a2b﹣6a3b各项的公因式是　 　．三．因式分解-提公因式法（共4小题）6．（2021春•天宁区校级月考）因式分解：x（m﹣1）+y（1﹣m）＝　 　．7．（2021秋•启东市期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝　 　．8．（2021•高邮市校级模拟）因式分解：3x4﹣9x2＝　 　．9．（2021•江都区二模）若ab＝2，a+b＝﹣1，则代数式a2b+ab2的值等于　 　．四．因式分解-运用公式法（共4小题）10．（2021春•乐亭县期末）下列各式能用公式法因式分解的是（　　）A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．4x2+4xy﹣y2 D．x2+xy+y211．（2021•宜兴市模拟）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y212．（2021春•遵化市期末）我们所学的多项式因分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；③完全平方公式法．现将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有（　　）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③13．（2021秋•朝天区期末）分解因式：a2﹣4ab+4b2＝　 　．五．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）14．（2021秋•绿园区期末）因式分解：（1）4m2﹣36； （2）2a2b﹣8ab2+8b3．15．（2021秋•通州区期末）分解因式：（1）2x2﹣8y2； （2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）2．六．因式分解-分组分解法（共3小题）16．（2018春•玄武区校级期中）因式分解（1）m2（x﹣2）+m（2﹣x） （2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）；（3）（x2+y2）2﹣4x2y2； （4）x3+x2y﹣xy2﹣y3．17．（2017秋•临西县期末）阅读下面的文字与例题．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n） （2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+ab+2ac+bc+c2＝　 　．18．（2021春•金坛区期末）因式分解：4x2﹣y2﹣2y﹣1＝　 　．七．因式分解-十字相乘法等（共5小题）19．（2021秋•淮阳区期末）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为　 　．20．（2020秋•虹口区期末）分解因式：2a2﹣a﹣6＝　 　．21．（2021春•玄武区校级期中）分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）（4m2+9）2﹣144m2；（3）x2﹣xy+4x﹣4y； （4）（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2．22．（2021春•济阳区期末）阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝（y+1）2再将“y”还原即可．解：设x2+2x＝y．原式＝y（y+2）+1（第一步）＝y2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2+2x+1）2（第四步）．问题：（1）①该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果　 　；②根据材料1，请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣6x+8）（x2﹣6x+10）+1进行因式分解；（2）根据材料1，请你模仿以上方法尝试计算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2020）×（2+3+…+2021）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2020）．23．（2021春•南京月考）在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．先阅读，再分解因式：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．（1）按照这种方法把多项式x4+4y4分解因式；（2）分解因式：a4+a2b2+b4．八．实数范围内分解因式（共3小题）24．（2021秋•如皋市校级月考）在实数范围内分解因式：a2﹣3b2＝　 　．25．（2022•南岗区模拟）在实数范围内分解因式：x2y﹣2y＝　 　．26．（2020秋•崇川区校级月考）因式分解：（1）x2﹣2（实数范围内）； （2）﹣3ax2+18axy﹣27ay2．九．因式分解的应用（共3小题）27．（2021秋•亭湖区期末）把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新的两位数与原两位数相加，则所得的和一定是（　　）A．偶数 B．奇数 C．11的倍数 D．9的倍数28．（2021秋•崇川区期末）（阅读材料）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q）．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定当p×q是n的最佳分解时，F（n）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，从而F（18）＝＝．（探索规律）（1）F（15）＝　 　，F（24）＝　 　，…；（2）F（4）＝1，F（9）＝1，F（25）＝　 　，…；猜想：F（x2）＝　 　（x是正整数）．（应用规律）（3）若F（x2+x）＝，且x是正整数，求x的值；（4）若F（x2﹣11）＝1，请直接写出x的值．29．（2021秋•南昌期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共8小题）1．（2021•饶平县校级模拟）下列因式分解正确的是（　　）A．6x+9y+3＝3（2x+3y） B．x2+2x+1＝（x+1）2 C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y）2 D．x2+4＝（x+2）22．（2021春•扬州期末）下列各式从左到右的变形是因式分解为（　　）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣y2+3＝（x+y）（x﹣y）+3 C．a2﹣4＝（a﹣2）2 D．x2y﹣xy+x3y＝xy（x﹣1+x2）3．（2021春•镇江期中）下列变形，属于因式分解的有（　　）①a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）②x2+3x﹣16＝x（x+3）﹣16③（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16④m2+2m+1＝（m+1）2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2021•婺城区校级模拟）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（　　）A．x2+2x﹣1 B．x2﹣x+ C．x2+xy+y2 D．9+x2﹣3x5．（2021春•乐亭县期末）下列各式能用公式法因式分解的是（　　）A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．4x2+4xy﹣y2 D．x2+xy+y26．（2021春•拱墅区校级期中）若多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是x+1，b﹣c的值是（　　）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．17．（2021春•江都区月考）如果把多项式x2﹣3x+m分解因式得（x﹣1）（x+n），那么m﹣n的值为（　　）A．﹣4 B．4 C．0 D．88．（2021•宜兴市模拟）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2二．填空题（共6小题）9．（2021秋•无锡期末）若x2+x﹣2＝0，则x3+2x2﹣x+2020＝　 　．10．（2021秋•河口县期末）若m+n＝3，则2m2+4mn+2n2﹣6的值为　 　．11．（2021•高邮市校级模拟）因式分解：3x4﹣9x2＝　 　．12．（2021•武都区二模）分解因式：4a2﹣4ax+a＝　 　．13．（2021•连云港）分解因式：9x2+6x+1＝　 　．14．（2021春•金坛区期末）因式分解：4x2﹣y2﹣2y﹣1＝　 　．三．解答题（共4小题）15．（2021春•东台市月考）因式分解：（1）2x2﹣6x． （2）﹣x2+2xy﹣y2．16．（2021秋•姜堰区月考）因式分解：（1）a4﹣1； （2）x3﹣2x2y+xy2．17．（2021秋•嵩县期中）因式分解：（1）9x2﹣81． （2）m3﹣8m2+16m．18．（2021春•金坛区期末）因式分解：（1）2m2﹣2n2； （2）a3b﹣4a2b+4ab．题组B 能力提升练一．填空题（共4小题）1．（2020秋•西峰区期末）若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于　 　．2．（2020秋•濮阳期末）已知a﹣b＝3，ab＝﹣2，则a2b﹣ab2的值为　 　．3．（2021秋•龙凤区期中）两位同学将同一个二次三项式进行因式分解时，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4），则原多项式因式分解的正确结果是：　 　．4．（2019春•吴江区期中）已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是　 　．二．解答题（共12小题）5．（2021春•奉化区校级期末）因式分解：（1）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2； （2）16a2b﹣16a3﹣4ab2；（3）（x2﹣4x）2+8（x2﹣4x）+16．6．（2021春•广陵区校级期中）阅读材料并回答问题：如图，有足够多的边长为a的小正方形卡片（A类）、长为a宽为b的长方形卡片（B类）以及边长为b的大正方形卡片（C类），发现利用图①中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）取图①中卡片若干张（A、B、C三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虚框Ⅰ中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝　 　．（2）取图①中卡片若干张（A、B、C三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．①你的图中需要A类、B类、C类卡片共 　 　张．②根据图形，可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为 　 　．（3）试在虚框Ⅱ中画出一个几何图形，结合面积表示，把多项式b2﹣3ab+2a2因式分解．7．（2021春•仪征市期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）判断28，50是否为“神秘数”？如果是，请写成两个连续偶数平方差的形式；（2）观察上式，猜想“神秘数”是4的倍数吗？并说明理由．8．（2021春•常熟市期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．（1）由图1可得乘法公式　 　；（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为　 　；（3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝52，求a2+b2+c2的值；（4）如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD，BF，若m+n＝12，mn＝24，求图3中阴影部分的面积．9．（2020秋•柳南区校级期末）已知a，b，c为△ABC的三条边的长，当b2+2ab＝c2+2ac时，（1）试判断△ABC属于哪一类三角形；（2）若a＝4，b＝3，求△ABC的周长．10．（2021春•永嘉县校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．11．（2019秋•柘城县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请问：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　 　A．提取公因式法 B．平方差公式C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　 　（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．12．（2019秋•莱山区期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．13．（2019秋•平山县期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．14．（2021春•邗江区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）a2+b2﹣2a+1＝0，则a＝　 　．b＝　 　．（2）已知x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求xy的值．（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长．15．（2018春•南京期中）发现与探索．（1）根据小明的解答将下列各式因式分解小明的解答：a2﹣6a+5＝a2﹣6a+9﹣9+5＝（a﹣3）2﹣4＝（a﹣5）（a﹣1）①a2﹣12a+20②（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+7③a2﹣6ab+5b2（2）根据小丽的思考解决下列问题：小丽的思考：代数式（a﹣3）2+4无论a取何值（a﹣3）2都大于等于0，再加上4，则代数式（a﹣3）2+4大于等于4，则（a﹣3）2+4有最小值为4．①说明：代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16．②请仿照小丽的思考解释代数式﹣（a+1）2+8的最大值为8，并求代数式﹣a2+12a﹣8的最大值．16．（2018•江都区模拟）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．（1）若F（a）＝ 且a为100以内的正整数，则a＝　 　（2）如果m是一个两位数，那么试问F（m）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大（或最小）值以及此时m的取值并简要说明理由．