2023-2024学年辽宁省沈阳市皇姑区九年级上学期数学月考试题及答案

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市皇姑区九年级上学期数学月考试题及答案，共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图所示的钢块零件的左视图为（ ）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握从左面看到的平面图形是左视图是解本题的关键，画出从左面看到的图形即可．
【详解】解：从左面看是一个长方形，中间看不到的水平的棱为虚线，
故选：B．
2. 如图，四边形和都是平行四边形，点F在边上，且，连接分别交于点G，H，设与面积的比为k，则k的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，连接，证明，可得，，设，则，可得，设，则，，，，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形和都是平行四边形，
∴，
∴，
∴，，
∵，设，则，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
由，
∴，
∴，
∴
故选A．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解本题的关键．
3. 如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）

A. 8B. C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】要使DN+MN最小，首先应分析点N位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．由此可知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．
【详解】解：如图，连接，，，设交于点，

∵四边形正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴点B与点是关于直线对称，
∴，
∴，
∵点为上的动点，
∴当B、M、N三点不共线时，BN+MN＞BM，
当点运动到点时，，
∴的最小值为的长度，
∵四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴的最小值是10．
故选：D．
【点睛】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，能够根据轴对称的性质以及三角形的三边关系找到点N与点P重合时取最小值是解决本题的关键．
4. 如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论．
【详解】解：四边形内接于，，
，
，
的长．
故选：．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5. 如图，在矩形中，，，的顶点E在边上，且，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过F作，交的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到，；设，则，，再根据勾股定理，即可得到，可得，再利用锐角的正切的定义可得答案．
【详解】解：如图所示，过F作，交的延长线于G，则，
∵四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
设，则，，
∵中，，，
∴，
解得，
即，
∴，
∴；
故选A
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形和勾股定理的结合，锐角三角函数的应用，准确分析计算是解题的关键．
6. 如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A=∠B=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得 ，，则 ，所以 ， ，接着确定m的取值范围为： ，然后根据二次函数的性质求出S的最小值．
【详解】解：设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=60°， ，
在Rt△ADN中，，
在Rt△BPF中，，
∵BD+DE+EF+CF=AB，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵当点M落在AC上，则正方形DEMN的边长最大，正方形EFPH的边长最小，
当点H落在BC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，
∴当点M落在AC上时：
为正三角形，
在中，，，
∴ ，解得
中，，
∵BD+DE+EF+CF=AB，
∴
解得，
∴，
∴当 时，S最小，S的最小值为 ．
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质、等边三角形的性质和二次函数的性质．
7. 如图，两个全等的矩形，矩形如图所示放置. 所在直线与分别交于点.若.则线段的长度是（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】作于.则四边形是矩形．先证明，再证明AH=MH=CH．设CH=AH=x，利用勾股定理列方程，再求解即可．
【详解】解：作于.则四边形是矩形，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，设，
在中，，解得，
∴，
故答案为D．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构建直角三角形并利用勾股定理列方程是解答本题的关键．
8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝2，DC＝1，则AB的值为（ ）
A 1＋B. 3C. 2＋D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长CB到E，使得BE＝BA，设BE＝AB＝a，证明△ADB∽△EDA，利用相似三角形的性质和勾股定理构建方程，解方程求解．
【详解】解：延长CB到E，使得BE＝BA，
设BE＝AB＝a，
∵BE＝BA，
∴∠E＝∠BAE．
∵∠ADC＝∠ABD＋∠BAD＝2∠E＋∠BAD＝3∠BAD，
∴∠BAD＝∠E．
∵∠ADB＝∠EDA，
∴△ADB∽△EDA，
∴＝，
∴AD2＝ED•BD＝2（2＋a）＝4＋2a，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2﹣CD2，
在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AD2﹣CD2＝AB2﹣BC2，
∴4＋2a﹣12＝a2﹣32，
解得：a1＝1＋，a2＝1﹣（舍去），
∴AB＝1＋，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，证明△ADB∽△EDA．
9. 如图，中，，分别以为边作正方形，交于点O．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求得，根据即可求得的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
在中，；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确证得是解决问题的关键．
10. 如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与重合），过点作垂直交于点，连结．下列四个结论：①；②；③；④若，则的最小值是1．其中正确结论是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC,△AON≌△BOM，△OCM≌△OBN，,根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．
【详解】∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90，
∴∠BCN＋∠DCN＝90，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM＋∠DCN＝90，
∴∠BCN＝∠CDM，
又∵∠CBN＝∠DCM＝90，
∴△CNB≌△DMC（ASA），
∴BN=CM,
故AN=BM
∵AO=BO，∠OAN＝∠OBM=45°，
∴△AON≌△BOM，
∵BO=CO，∠OCM＝∠OBN =45°，
∴△OCM≌△OBN，
∴=S△OBN+ S△BOM= S△OBN+S△AON=S△AOB=
即，①正确；
∵△AON≌△BOM，
∵∠MON＝∠BOM+∠BON=∠AON +∠BON=90°，ON=OM
∴△MNO是等腰直角三角形，
∴MN=
∵△MNB是直角三角形，
∴
又CM=BN
∴
即，②正确；
∵∠CON＝90°+∠BON, ∠DOM＝90°+∠COM，∠BON=∠COM
∴∠CON＝∠DOM
又CO=DO, ON=OM,
∴，③正确；
④∵AB＝2，
∴S正方形ABCD＝4，
∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN＝x＝CM，则BM＝2−x，
∴△MNB的面积＝x（2−x）＝− x2＋x＝− （x−1）2＋，
∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，
此时S△OMN的最小值是1− ＝，
故④不正确；
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，二次函数的最值以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．
二、填空题（共18分，每小题3分）
11. 如图，中，为，，，在上有一动点D，过点D做，在上有一动点P，当为等腰直角三角形时，长为_______________ ．
【答案】或
【解析】
【分析】先求解，，设，则，，再分三种情况讨论：如图，为等腰直角三角形，，，如图，为等腰直角三角形，，，如图，为等腰直角三角形，，，再利用特殊角的三角函数值与方程求解即可．
【详解】解：∵为，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
设，则，，
如图，为等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
如图，为等腰直角三角形，，，

过作于，则，过作于，
∴，而，
同理可得：，
解得：，
∴，
如图，为等腰直角三角形，，，
由，
而，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：为或．
【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
12. P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，则∠APC的度数为_____．
【答案】142°
【解析】
【分析】在AC的延长线上截取AF=AB，连BF，PF，延长AP交BC于D，交BF于E，证得△APB≌△APF，则AP为BF的垂直平分线，由∠PBA=8°可得∠CBF=30°=∠CBP，∠BFP=60°=∠BPF，可得BC平分PF，进一步可求出∠APC的度数．
【详解】在AC的延长线上截取AF＝AB，连BF，PF，延长AP交BC于D，交BF于E，
在△APB和△APF中，
，
∴△APB≌△APF（SAS），
∴AB＝AF，PB＝PF，∠AFP＝∠ABP＝8°，
∴AP垂直平分BF，∠BPE＝∠BAP+∠ABP＝30°°，∠FPE＝∠CAP+∠AFP＝30°
∴∠AEP=∠FEP=90°，
∴∠PBF=∠PFB=60°
∵∠PBC＝30°
∴∠CBF＝30°＝∠PBC，∠BPF＝∠BFP＝∠PBF=60°，
∴三角形BPF是等边三角形，BC平分∠PBF
∴BC垂直平分PF
∴PC=PF
∴∠CPF＝∠CFP＝8°
∴∠DPC＝38°
∴∠APC＝142°；
故答案为：142°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线，证明△APB≌△APF．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上的一动点，以点为直角顶点构造直角三角形（点A，B，C按顺时针排列），使，已知点D的坐标是，连接DB，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，过作轴的垂线，过分别作且垂直于过点与轴垂直的直线，垂足分别为，交轴于，与轴交于点，证明，利用相似三角形的性质可得在直线上运动，作关于直线的对称点，则，当三点共线时，，此时最小，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，过作轴的垂线，过分别作且垂直于过点与轴垂直的直线，垂足分别为，交轴于，与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设 则 而，
∴，
解得：，
∴在直线上运动，
作关于直线的对称点，则，
当三点共线时，，此时最小，
∴
∴的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的性质证明在直线上运动是解本题的关键．
14. 如图，在等边中，点E、F分别是边、上两点，将沿翻折，点A正好落在线段上的点D处，若．若，则线段的长度是______．
【答案】##
【解析】
【分析】设，则，过点E作交于点M，先求出，，，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
设，则，
∴，
过点E作交于点M，
∵，则，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，，
∴，
由折叠可知，，
在中，，
∴，
解得(舍去)或，即
故答案为：．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，熟练掌握图形折叠的性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
15. 如图，将平行四边形纸片折叠，折痕为，点分别在边上，点的对应点分别为点，且点在平行四边形内部，的延长线交边于点，交边于点，当时，的长为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明，求出，过点作于点，设，则，根据勾股定理列方程求出即可．
【详解】解：当时，，
∵将平行四边形纸片折叠，折痕为，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，，
过点作于点，
设，则，
在中，，
∴，
∴
∴，
∵，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴
即
解得：，
∴或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
16. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为_____．
【答案】12.5
【解析】
【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×5×5=12.5，即可得出结论．
【详解】如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，
∴∠D=∠ABE，
又∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
又∵AD=AB，
∴△ACD≌△AEB（ASA），
∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，
∵S△ACE=×5×5=12.5，
∴四边形ABCD的面积为12.5，
故答案为12.5．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题
三、解答题（共4小题，共30分）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），；
【解析】
【分析】本题考查的是零次幂的含义，负整数指数幂的含义，含特殊角的三角函数值的混合运算，一元二次方程的解法，掌握相应的运算法则是解本题的关键；
（1）先计算零次幂，算术平方根，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，再合并即可；
（2）先把方程整理为，再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
整理得：，
解得：，．
18. 如图，甲、乙是两个可以自由转动的转盘，指针固定不动，甲转盘被分成了大小相同的3个扇形，分别标有数字1，2，3，乙转盘被分成了大小相同的4个扇形，分别标有数字1，2，3，4，自由转动两个转盘，用列表或画树状图的方法求两个转盘指针指向的数字均为偶数的概率．（规定：指针恰好停留在分界线上时重转）
【答案】
【解析】
【分析】由题意画出树状图得出所有等可能的结果，再找出两个转盘指针指向的数字均为偶数的结果，最后利用概率公式计算即可．
【详解】由题意可画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能的结果，其中两个转盘指针指向的数字均为偶数的结果有2种，
∴两个转盘指针指向的数字均为偶数的概率为．
【点睛】本题考查用列表或画树状图的方法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键．
19. 如图，在中，平分交于点D，垂直平分，分别交于点E，F，G，连接．
（1）求证：四边形是菱形
（2）若，请直接写出四边形的面积为__________．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质可得，可得，，由角平分线的性质可得，可证，可得四边形是平行四边形，即可得结论；
（2）由菱形的性质和外角性质可得，由直角三角形的性质可求的长进而求出面积．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解:过点D作于点H，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∵，
∴菱形的面积，
故答案为：2．
20. 某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校3000名学生每人都参加且只参加了其中一个社闭的活动，校团委从这3000名学生中随机选取部分学生进行了参加活动情况的调查，并将调查结果绘制了如图不完整的统计图，请根据统计图完成下列问题．
（1）参加本次调查有________名学生；请你补全条形图；
（2）在扇形图中，表示机器人扇形的圆心角的度数为________度；
（3）根据调查数据分析，全校大概会有名学生参加了合唱社团．
【答案】（1）500，图见解析
（2）54 （3）1200名
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）先根据演讲的人数和百分比求出调查的人数，再分别求出舞蹈，航模，机器人的人数，最后补全统计图即可；
（2）用360度乘以机器人所占的比例求解即可；
（3）用3000乘以合唱所占的比例即可．
【小问1详解】
参加本次调查的学生有：名；
参加舞蹈的有：名，
参加航模的有：名，
参加机器人的有：名；
如图所示，
小问2详解】
，
∴在扇形图中，表示机器人扇形的圆心角的度数为54度；
【小问3详解】
名，
答：校共有1200名学生参加了合唱社团．
四、综合题（共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 北京奥运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩挂件．则A款冰墩墩进价30元，售价45元；B款冰墩墩进价25元，售价37元．
（1）网店第一次用850元购进A、B两款冰墩墩挂件共30件，则购进A款冰墩墩_______个；购进B款冰墩墩________个．
（2）冬奥会临近结束，网店打算把B款冰墩墩挂件打折销售，如果按原价销售，平均每天可销售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天多卖出2件．则将销售价定为每件多少元时，才能使B款冰墩墩挂件平均每天销售利润为90元．
【答案】（1）购进A款冰墩墩挂件20件，购进B款冰墩墩挂件件
（2）30元或34元
【解析】
【分析】本题是方程的综合，考查了一元一次方程与一元二次方程在实际中的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出方程是钥匙的关键．
（1）设购进A款冰墩墩挂件x件，购进B款冰墩墩挂件件，根据等量关系：两款冰墩墩挂件共花费850元，建立一元一次方程即可求解；
（2）设将B款冰墩墩挂件销售价定为每件y元时，才能使B款冰墩墩挂件平均每天销售利润为90元；由题意列出关于y的一元二次方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设购进A款冰墩墩挂件x件，购进B款冰墩墩挂件件，
由题意得：，
解得：，
则（件）；
答：购进A款冰墩墩挂件20件，购进B款冰墩墩挂件件．
【小问2详解】
设将B款冰墩墩挂件销售价定为每件y元时，才能使B款冰墩墩挂件平均每天销售利润为90元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：将B款冰墩墩挂件销售价定为每件30元或34元时，才能使B款冰墩墩挂件平均每天销售利润为90元．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数图象交于点和，与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，请直接写出使的x取值范围；
（3）M是y轴上的一个动点，作MN⊥y轴，交反比例函数图象于点N，当由点O，C，M，N构成的四边形面积为时，直接写出点N的坐标．
【答案】（1），
（2）的x取值范围为：或．
（3）的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）把代入可得反比例函数解析式，再求解的坐标，再由的坐标求解一次函数的解析式即可；
（2）根据函数图象可得一次函数的图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，从而可得答案；
（3）令，则，求解，再分两种情况讨论，如图，当在轴的正半轴上时，设，当在轴的负半轴上时，设，再利用面积公式列方程求解即可．
【小问1详解】
解：把代入可得：
，
∴反比例函数为：，
把代入可得：，
∴，
把，代入可得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为：．
【小问2详解】
∵，，结合图象可得：的x取值范围为：
或．
【小问3详解】
∵一次函数的解析式为：，
令，则，即，
如图，当在轴的正半轴上时，设，
∵轴，
∴，
∴，
解得：，经检验符合题意；
∴，
当在轴的负半轴上时，设，如图，设，
∵轴，
∴，
∴，
解得，经检验符合题意；
∴．
综上：的坐标为或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例与一次函数的解析式，利用图象法解不等式，坐标与图形面积，清晰的分类讨论是解本题的关键．
23. 如图，正方形的边长是2，边在轴上，边在轴上，将一把三角尺如图放置（图1），其中为的中点，逆时针旋转三角尺．
（1）当三角尺的一边经过点时，此时三角尺的另一边和边交于点（如图，求此时直线的解析式；
（2）继续旋转三角尺，三角尺的一边与轴交于点，三角尺的另一边与交于（如图，的延长线与的延长线交于点，若三角形的面积为4，求此时直线的解析式；
（3）当旋转到三角尺的一边经过点，另一直角边的延长线与轴交于点（如图，求此时三角形的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）10
【解析】
【分析】（1）通过作辅助线利用三角形相似求出于轴的交点的坐标，的坐标容易求出，然后根据待定系数法求出直线的解析式．
（2）通过作辅助线利用证明三角形全等得到，利用三角形的面积等于4求出的值，再根据勾股定理求出的长后确定的坐标，最后根据待定系数法求直线的解析式．
（3）通过作辅助线利用证明三角形全等得到，利用勾股定理的值，利用三角形全等求出的值，从而求出三角形的底与高，从而求解．
【小问1详解】
解：过点作轴于点，设交轴于点．
，，
四边形是正方形，
，，
，
是得中点，
，，
由旋转可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，由题意得
解得：，
直线的解析式为：；
【小问2详解】
解：作于，于交的延长线于点．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
设的解析式为：由题意得：，
解得：，
直线的解析式为；
【小问3详解】
解：过点作于，于，交的延长线于点，
，
，
，，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
三角形的面积为10．
【点睛】本题是一道一次函数的综合试题，考查了全等三角形的运用、相似三角形的运用，勾股定理的运用，运用待定系数法求函数的解析式、以及三角形面积公式的运用，本题难度较大，对学生的综合理解能力要求较高．
24. 在中，，，点D在直线上，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是线段的中点，连接．
（1）如图1，当点D在的延长线上时，连接，若，求线段的长度；
（2）如图2，当点D在的延长线上时，若点G是线段的中点，连接，求证：；
（3）如图3，连接和，若，当线段取最小值时，请直接写出的面积．
【答案】（1）3 （2）见解析
（3）3
【解析】
【分析】（1）根据旋转性质和全等三角形的判定证明得到，再根据等腰直角三角形的性质证得，然后直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；
（2）连接AE，证明得到，利用三角形的中位线性质得到即可证的结论；
（3）由等腰直角三角形的性质知当最小时，最小，根据垂线段最短知当时，最小，即最小，证明，利用等高模型得到，即可求解．
【小问1详解】
解：由旋转性质得：，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵F为线段的中点，，
∴；
【小问2详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵F为线段的中点，点G是线段的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴为等腰直角三角形，，
又F为斜边的中点，
∴，，
∴当最小时，最小，
根据垂线段最短知当时，最小，即最小，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于几何旋转综合题型，考查了旋转性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、垂线段最短、等高等底等面积等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，寻找全等三角形解决问题是解答的关键．
25. 以直线为x轴，为y轴，与交点O为原点做平面直角坐标系，点B坐标为，点C坐标为，点A坐标为．
（1）如图1，请求出抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线上有一点D，点D在第一象限与直线上，过点D向直线作垂，交于点E，把长设为L，则当L长度最大时，请求出D点坐标与L最大值．
（3）如图2，在（2）D点坐标的基础上，在x轴上有一点P，使，请直接写出点P的坐标为_________．
【答案】（1）
（2），L的最大值为
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点D作的平行线，交于点，连接，由，易得当面积最大时，长为L最大，求出直线的解析式，设点，则，由，得到当时，面积最大为8，则长为L最大，得到，，利用勾股定理求出，根据，即可求出的最大值；
（3）过点E作的平行线，交于点，过点C作的垂线，交延长线于点Q，连接，由（2）知直线的解析式，设点，则，根据，，得到为等腰直角三角形，则有，证明，得到，由，得到，求出，由等腰直角三角形的性质得到，利用勾股定理建立方程，求解即可．
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为，
将代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图过点D作的平行线，交于点，连接，
，
当面积最大时，长为L最大，
设直线的解析式为，
，
，
解得：，
直线的解析式为，
设点，则，
，
，
，
当时，面积最大为8，则长为L最大，
，，
，
，
，
L的最大值为；
【小问3详解】
解：过点E作的平行线，交于点，过点C作的垂线，交延长线于点Q，连接，
由（2）知直线的解析式，
设点，则，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得：（负值舍去），
，
，
故答案：．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质及面积综合，二次函数的解析式，三角形全等的判定及性质，勾股定理，熟练掌握垂直模型构造全等三角形是解题的关键．