2023-2024学年辽宁省沈阳市和平区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市和平区九年级上学期数学期末试题及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值，则表中“▲”处的数为（ ）
A. B. C. 1.5D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的点的特征，先待定系数法求出值，再把代入计算，即可作答．
【详解】解：∵y是x的反比例函数
∴设
则代入
得
故
把代入，
得
故选：A
2. 如图，一个几何体水平放置，它的俯视图是（ ）
B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查几何体的三视图，根据几何体的俯视图是从物体的上面看到的视图进行判断即可，熟练掌握几何体的三视图的定义是解题的关键．
【详解】解：从上面看，看到的是一个正方形，内部有两条虚线，
即，
故选：．
3. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：依题意，，根据物距为，像距为，得，即可作答．
【详解】解：如图：
依题意，
∵物距为，像距为
∴
∵蜡烛火焰倒立的像的高度是
∴
∴
故选：A
4. 将方程配方成的形式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了配方法的基本步骤，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键．
【详解】，
∴变形为，
即，
故选C．
5. 如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则的长为（ ）
A. 1B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余、勾股定理：先由对角线相等，结合等边对等角，得 ，结合直角三角形两个锐角互余，得，故，根据勾股定理列式，计算即可作答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴
即
解得
故选：B
6. 为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了数学素养大赛，老师将三道题的题号1，2，3，分别写在完全相同的3张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．小李先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字，则两张卡片上的数字是“1”和“3”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况，利用概率公式计算即可．注意此题是放回实验还是不放回实验．
【详解】解：画树状图如下：
由图可知，共有6种等可能的情况，其中两张卡片上的数字是“1”和“3”的情况有2种，
，
即两张卡片上的数字是“1”和“3”的概率为，
故选B．
7. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 点在它的图象上B. 它的图象在第二、四象限
C. 当时，y随x的增大而增大D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．对于反比例函数，可得，时，，图象在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：对于反比例函数，
A、当时，，则点在它的图象上，故该选项不符合题意；
B、，则它的图象在第二、四象限，故该选项不符合题意；
C、当时，随的增大而增大，故该选项不符合题意；
D、当时，，则当时，，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
8. 2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素邮品．图1所示的为摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是）
图1 图2
A. 四边形与四边形的相似比为
B. 四边形与四边形的相似比为
C. 四边形与四边形的周长比为
D. 四边形与四边形的面积比为
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线，先利用位似的性质得到然后根据相似的性质进行判断．
【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点A是线段的中点，
∴,
∴，
∴四边形与四边形的相似比为，周长的比为，面积比为．
故选∶B．
9. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握左加右减，上加下减的平移原则是解题的关键.
【详解】根据题意，得. 向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度即可得到，
故选C.
10. 如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了黄金三角形，规律型等知识；
由黄金三角形的定义得，同理求出，，可得第1个黄金三角形的腰长为，第2个黄金三角形的腰长是，第3个黄金三角形的腰长是，第4个黄金三角形的腰长是，得出规律第n个黄金三角形的腰长是，即可得出答案．
【详解】解：∵是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为，
∴，
，
∵是第2个黄金三角形，
∴，第2个黄金三角形的腰长是，
，
∵是第3个黄金三角形，
∴，第3个黄金三角形的腰长是，
，
∴第4个黄金三角形的腰长是，
…
第n个黄金三角形的腰长是，
第2024个黄金三角形的腰长是，
故选：A．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 已知，若，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查等比性质的应用，若，，则，由此可解．
【详解】解：，
，，
，
故答案为：5．
12. 2023年9月29日开通沈阳地铁四号线，如图是某站地铁扶梯的示意图，扶梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．小明乘扶梯从扶梯底端A以米/秒的速度用时39秒到达扶梯顶端B，则小明上升的铅直高度为______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坡度和勾股定理，由可得，设，，根据勾股定理求出，再根据长度求出k值，即可求解．
【详解】解：由题意知（米），
扶梯的坡度，
，
设，，
则，
，
（米），
故答案为：．
13. 如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，连接，，，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的判定和性质等知识，由四边形是菱形，则有，，再根据等边三角形和中位线性质定理即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，为的中点，
∴是等边三角形，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点，交轴于点，则的面积为______．
【答案】2.5
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形、反比例函数的图象上的点的坐标特征，设则，，从而得出，，最后根据三角形面积计算即可，用字母表示出各点的坐标是解此题的关键．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
设，
点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点，交轴于点，
，，
，，
，
故答案为：．
15. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点A，点B，且与x轴的正半轴交于点．有以下结论：①抛物线的函数表达式为：；②抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是；③动点D在线段上（点D与点O，点A不重合），动点E在线段上，且，以DE为边作正方形，当点F恰好落在抛物线上，点G恰好落在y轴上时，则；④点H是第三象限内的抛物线上的一个动点，连接，，当的面积最大时，则点H的坐标为．其中正确的结论有______（只填写序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】利用待定系数法求出二次函数表达式并求出顶点坐标即可判断①②，构造正方形，利用三角形全等，构造二次函数求面积的最值解答即可．
【详解】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当时，，即，
当时，，即，
设抛物线表达式为，
把，，代入：
，
解得：，
，
故①正确；
，
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，
故②正确；
如图，过点E作轴于点M，过点F作轴于点P，交于点N，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
同理可证，，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
设，
∴，
∵点F在第三象限，
∴，
∵点F在上，
∴，
整理得，
解得，
故，
∴，或（舍去），
∴，
故③错误；
过点作轴的平行线，交于，设，则，则，
∴
，由此可得，
当，最大为1，
当时，，
∴．
故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查二次函数，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，熟练掌握抛物线的性质，最值是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、因式分解法解一元二次方程，准确进行计算是解此题的关键．
（1）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指数幂，进行计算即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
，
或，
，．
17. 某书店在2023年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书标价为每本20元．该书店举行了国庆大回馈活动，课外阅读书连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本元的价格售出，求课外阅读书每次降价的百分率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设课外阅读书每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价每次降价的百分率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
【详解】解：设课外阅读书每次降价的百分率为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：课外阅读书每次降价的百分率为．
18. 如图，在中，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交边于点M，交边于点N；
②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；
③作射线交边于点E；
④分别以点A，E为圆心，以大于长为半径在两侧作弧，交于两点G，H；
⑤作直线，分别交，于点D，F；
⑥连接，．
求证：四边形为菱形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先证明，，，再证明，可得，则有，从而可得结论．
【详解】证明：记，的交点为，
由作图可得：是的垂直平分线，
∴，，，
∴，
由作图可得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的定义和垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定．
19. 在北京举行的第届冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，从“雨水”开始，一路倒数，最终行至“立春”，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．老师为了让学生深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
（1）下列四种说法，正确说法的序号是______．
若随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”的概率为；
随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是必然事件；
随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是随机事件；
随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是不可能事件．
（2）老师选出写有“立春、立夏、立秋”（分别用，，依次表示这三种节气）的三张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小明同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）直接利用概率公式计算和必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可；
（）画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可．
本题考查简单的概率计算，画树状图或列表法求概率．掌握概率公式和正确地列出表格或画出树状图是解题关键．
【小问1详解】
∵共有24张卡片，且抽取每张卡片的可能性相同，
∴若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为，故正确；
随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是随机事件，故说法正确，错误，
故选：；
【小问2详解】
由“立春、立夏、立秋”的三张卡片分别记为、、，
画树状图如下：
由树状图可知：共有种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有种，
∴两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为．
20. 【问题引入】
（1）如图1，若，点E为平分线上一点，，的两边分别与射线交于C，D两点，若，求的度数．

【尝试探究】
（2）如图2，点F是函数图象上的一个动点，过点F的直线分别交x轴和y轴于点M，N两点，且满足，点G为平分线上一点，若，当点G在第一象限时，求出点G的坐标．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，反比例函数：
（1）根据推出，结合，可证，推出，通过等量代换即可求解；
（2）连接，，作轴于点P，先证，推出，设，则，，再用含a的式子表示出，，代入求出，结合点G为平分线上一点，即可求出点G的坐标．
详解】解：（1），平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接，，作轴于点P，

，
，
，，
，
，
设，则，，
此时点F的横坐标为，
点F是函数图象上的一个动点，
，
，
点G为平分线上一点，
的解析式为，
，
，
，
，（舍），
点G在直线上，
，
点G坐标为．
21. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】（）米；（）米．
【解析】
【分析】（）过作于点，证明四边形是矩形，则有米，点太阳高度角为，则米；
（）过作于点，过作于点，证明，则，从而，则有米；
此题考查了真实情景下的三角函数的实际应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
【详解】（）过作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵小明打算在这天点露营休息，
∴太阳高度角为，
∴，
则（米）；
（）过作于点，过作于点，
∵米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
∴，
∴，
同（）理得四边形是矩形，
∴，米，
∴，
∴米．
22. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y是销售单价x的函数，其销售单价x，周销售量y，周销售利润w的三组对应值如下表：
（1）请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x之间的函数表达式；
（2）①请求出该商品的进价；
②若该公司想每周获利2000元，并尽可能让利给顾客，请求出此时该商品销售单价；
（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件商品向希望小学捐款10元，要使该公司在捐款后该商品每周获利最大，请求出周利润最大时，该商品的销售单价及此时每周的最大利润．（注：物价部门最新规定该商品每件的售价不得超过65元）
【答案】（1）
（2）①30元；②50元
（3）65元，1750元
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，待定系数法求一次函数解析式：
（1）设y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解即可；
（2）①设该商品进价为a元，从表格中选择1列数据列一元一次方程，即可求解；②设此时该商品销售单价为m元，则周销量为件，根据售价、进价、销量、利润之间的关系列一元二次方程，解方程即可；
（3）列出w关于x的二次函数解析式，变形为顶点式，结合x的取值范围求出w的最值即可．
【小问1详解】
解：设y关于x的函数解析式为，
将和代入，得，
解得，
y关于x的函数解析式为；
【小问2详解】
解：①由表格知，时，，，
设该商品进价为a元，
则，
解得，
即该商品进价为30元；
②设此时该商品销售单价为m元，
则，
整理得，
解得，，
每件的售价不得超过65元，
此时该商品销售单价为50元；
【小问3详解】
解：由题意知，，
，
w关于x的函数图象开口向下，当时，w随x的增大而增大，
又每件的售价不得超过65元，
当时，w取最大值，
，
即周利润最大时，该商品的销售单价为65元，每周的最大利润为1750元．
23. 在数学活动课上，王老师给出如下问题：在中，，点D在边上，点E在边上，作点C关于直线的对称点F．
【问题初探】
（1）如图1，连接、，当四边形是正方形时，求的值．

【问题再探】
王老师为了帮助学生更好地感悟四边形之间关系，将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
（2）如图2，当，且时，连接、，求证：四边形是矩形．

【解决问题】
（3）如图3，当，，过点E作交于点G，时，若点F落在直线上，求的长．

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，得到，再根据，即可得到答案；
（2）连接，于直线的交点为，由轴对称的性质可知，，由平行的性质，易证，，得到，，进而得出四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论；
（3）由特殊角的三角函数值，求得，，然后分两种情况讨论：①当点在的延长线上时，过点作于点，由平行的性质和轴对称的性质，易证是的等边三角形，得到，再由等腰三角形三线合一的性质和特殊角的三角函数，得出，然后根据列式，求出的长，即可得到的长；②当点在的延长线上时，由平行的性质和轴对称的性质，易证，得到，再分别表示出，，求出的长，即可得到的长．
【详解】（1）解： 四边形是正方形，
，，
，
；
（2）证明：如图，连接，于直线的交点为，
点F是点C关于直线的对称点，
，即，
，
，
，
，，
，，
，，即、互相平分，
四边形是平行四边形，
，
四边形ABCF是矩形；
（3）解：，，，
，，
①如图1，当点在的延长线上时，过点作于点，
，
，
，
点F是点C关于直线的对称点，
，，
是的等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
②如图2，当点在的延长线上时，
，，
，
，
点F是点C关于直线的对称点，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上可知，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题关键是利用分类讨论的思想，熟练掌握相关性质，灵活运用特殊角的三角函数求边长．x
2.5
y
1
▲
探究遮阳伞下的影子长度
素材1
图是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化．自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2
某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻
14点
15点
16点
太阳高度角（度）
60
45
30
参考数据：，.
解决问题
（1）
确定影子长度
小明打算在这天16点露营休息，请帮小明求出此时影子GH的长度．
（2）
探究影子长度
若某一时刻测得BD＝1.9米，请求出此时影子GH的长度．
销售单价x（元）
60
65
70
75
周销售量y（件）
80
70
60
50
周销售利润w（元）
2400
2450
2400
2250