2023-2024学年辽宁省沈阳市浑南区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市浑南区九年级上学期数学期末试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得：从上往下看，得到一共3列，从左往右依次有1，1，2块，即可求解．
【详解】解：根据题意得：从上往下看，得到一共3列，从左往右依次有1，1，2块，
∴这个几何体的俯视图是
．
故选：B
【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握俯视图就是从上往下看得到的图形是解题的关键．
2. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由关于x的一元二次方程有两个实数根，可得，再解不等式即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
解得：；
故选C
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解本题的关键．
3. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方程两边加上1，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
【详解】解：用配方法解方程，
变形得：，
即
故选：D
【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4. 国旗上大、小五角星的边长比是5：3，若大五角星的面积为50，则小五角星的面积为（ ）
A. 9B. 18C. 25D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】设小五角星的面积为x，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方列式计算即可．
【详解】解：设小五角星的面积为x，
∵国旗上大、小五角星相似，
∴=，
解得，x=18，
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为( )
A. (2，2)，(3，2)B. (2，4)，(3，1)
C. (2，2)，(3，1)D. (3，1)，(2，2)
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可．
【详解】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．
故选C．
【点睛】本题考查位似变换；坐标与图形性质，数形结合思想解题是本题的解题关键．
6. 下列现象中，属于中心投影的是（ ）
A. 白天旗杆的影子B. 阳光下广告牌的影子
C. 灯光下演员的影子D. 中午小明跑步的影子
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行投影和中心投影的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A．白天旗杆的影子为平行投影，所以A选项不合题意；
B．阳光下广告牌的影子为平行投影，所以B选项不合题意；
C．灯光下演员的影子为中心投影，所以C选项符合题意；
D．中午小明跑步的影子为平行投影，所以D选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．也考查了平行投影．
7. 某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6
【答案】D
【解析】
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.17左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【详解】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，不符合题意；
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，不符合题意；
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率是，不符合题意；
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6的概率是，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
8. 将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】∵二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴其顶点（0，0）也向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新函数的顶点（1，3）．
∴根据平移的性质，所得图象的函数解析式是：．
故选A．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
B. 对角线相等的四边形一定是矩形
C. 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D. 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据选项命题看是否能找一个反例出来，若有反例则是假命题；
【详解】解：A选项：一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，一组对边平行，另一组对边相等，不是平行四边形，故本选项为假命题．
B选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，故本选项为假命题．
C选项：两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如图所示：AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，本选项为假命题．
D选项：两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形．
已知：四边形ABCD，AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
求证：四边形ABCD为正方形，
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形为平行四边形，又AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为正方形，则本选项为真命题．
故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定；判断一个命题为假命题，只需找出一个反例即可；判断一个命题为真命题，必须经过严格的证明；掌握正方形的特征是解题的关键．
10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴是直线．下列判断正确的是（ ）

A. B.
C. D. 若点是图象上的任意一点，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据开口方向和与y轴交于正半轴得到，根据对称轴得到，由此可判定A、B；根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标，从而得到二次函数与x轴有两个不相同的交点，即可判定C；根据开口向下的二次函数在对称轴轴取得最大值，得到，即可判断D．
【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵二次函数对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故A、B说法错误，不符合题意；
∵二次函数的图象过点，对称轴为直线，
∴二次函数的图象过点，
∴二次函数与x轴有两个不相同的交点，
∴，故C说法错误，不符合题意；
∵二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y有最大值，
∴点是图象上的任意一点，则，即，故D说法正确，符合题意；
故选D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若≠0，则=_____．
【答案】1．
【解析】
【分析】根据 得到a=b，然后代入代数式约分化简即可．
【详解】：∵ ，
∴a=，
∴=1，故答案为1．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是能够用一个字母表示出另一个字母．
12. 如图，在小孔成像问题中，小孔 O到物体AB的距离是60 cm，小孔O到像CD的距离是30 cm，若物体AB的长为16 cm，则像 CD的长是 _____cm.

【答案】8
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质即可解题.
【详解】解：由小孔成像的特征可知,△OAB∽△OCD,
由相似三角形的性质可知：对应高比=相似比=对应边的比,
∴30:60=CD：16,
解得：CD=8cm.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉性质内容是解题关键.
13. 如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列举法求概率，本题随机闭合开关，，中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
【详解】解：随机闭合开关，，中的两个，可以闭合、；、 ；、三种情况，其中闭合、 或，时，灯泡可以发光，
∴．
故答案为：．
14. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作垂直于轴，，在轴上，，则平行四边形的面积是_______

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义就是曲线上任意一点作轴、轴的垂线，它们与轴、轴所围成的矩形面积为常数是解题的关键．由于点是反比例函数图像上一点，可以直接得到点的坐标，由此可以计算出平行四边形的面积．
【详解】解：设点坐标为，
点在反比例函数的图象上，
点坐标为，且点坐标为，
，
故答案为．
15. 如图，在菱形中，点分别在边上，，则的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质．延长至点G，使，连接，过点A作于点K，过点D作交的延长线于点P，可得是等边三角形，从而得到，再证明，可得，可证明，即可求解．
【详解】解：如图，延长至点G，使，连接，过点A作于点K，过点D作交的延长线于点P，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
和中，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：3
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）本题考查特殊角的三角函数值的计算．将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可；
（2）本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，进行求解即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）
∴，
∴，
∴或，
∴．
17. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为_________，表中的值为_________；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为学生人数；
（3）本次调查中，等级为的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）50，
（2）200 （3）
【解析】
【分析】（1）利用概率计算公式先求出总人数，再求出等级为A的学生人数；
（2）利用概率计算公式先求出等级为B的学生所占的百分比，再求出等级为B的学生人数；
（3）记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，通过列出表格列出所有可能的结果，用恰有一男一女的结果数除以总的结果数，即可得到恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【小问1详解】
解：∵D组人数8人，所占百分比为16%，
∴总人数为人，
∴．
【小问2详解】
解：等级为B的学生所占的百分比为，
∴等级为B的学生人数为人．
【小问3详解】
解：记两名男生为a，b，记两名女生为c，d，列出表格如下：
∴一共有12种情况，其中恰有一男一女的有8种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，概率计算公式的熟练应用是解答本题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点带入即可求解．
（2）将点代入可求得点B的坐标，令，得可求得点C的坐标，再利用即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴将A 坐标代入反比例函数解析式 中，得，
∴反比例函数解析式为．
【小问2详解】
将代入，得，
∴，
设直线与y轴交于点C，如图：
∵，
∴令，得，
∴点C 坐标，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及求函数值，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
19. 为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有.在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
（1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？
（2）乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）根据两组对角相等证明，再根据相似三角形对应边成比例列式求解；
（2）作于点D，延长线交于点E，先证，再根据相似三角形的相似比等于高的比列式求解．
【小问1详解】
解：由题意知，，
，
又，
，
，
由题意知，，，，
，
解得，
即小视力表中相应“”的高是
【小问2详解】
解：如图，如图，作于点D，延长线交于点E，
由题意知，，
，，
，
，
，，
，
，
由题意知，，，
，
，
，
镜长至少为．
20. 为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档与的长分别为，，且它们互相垂直，，，如图（2）．（结果精确到．参考数据：，，，，）

（1）求车架档的长；
（2）求车链横档的长．
【答案】（1）
（2）的长约为
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理解题即可；
（2）先过点B作, 得出求出设, 则，
，,, 根据 , 求出的值, 从而得出的长, 最后根据勾股定理即可求出的长.
【小问1详解】
解：，且，
∴；
【小问2详解】
过点作, 垂足为, 则
∵,，
，

∵,
∴,
，
设, 则，
,
则 ，
解得：
，
，
答: 车链横档长约为.
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，用到的知识点是勾股定理、平行线的性质.
21. 问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
模型建立
（1）请将以上调查数据在草稿纸上按照一定顺序重新整理，分析数据的变化规律，请求出日销售量y（盆）与售价x（元/盆）间的关系；
模型应用
（2）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，当售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少元．
【答案】（1）；（2）售价定为30元时，每天能够获得最大利润，为450元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用．
（1）将售价按照从小到大的顺序进行排列后，得到日销售量y（盆）与售价x（元/盆）间的关系为一次函数的关系，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设每天的利润为，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可．
读懂题意，正确的列出函数解析式，是解题的关键．
【详解】解：（1）按照售价从低到高排列列出表格如下：
由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆；
∴日销售量y（盆）与售价x（元/盆）是一次函数的关系，设，由表格可知：点，在函数图象上，
∴，解得：，
∴；
（2）设每天的利润为，由题意，得：
，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为元．
答：售价定为元时，每天能够获得最大利润．
22. 篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮或传球时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似看作一条抛物线的一部分．

（1）如图1，建立平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．
①某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
请你根据表格中数据，求出满足条件的函数表达式（写成的形式）；
②小孟同学想要研究自己的投篮情况，通过记录已经求得某一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：，则小孟同学这次投篮的出手点高度是多少米；
（2）小孟同学在此基础上想要研究自己的传球情况，如图2，建立平面直角坐标系，若小孟同学在三分线外，想要将球传给篮下的队友小林，小孟与小林的水平距离是7m，小孟的传球路线为抛物线，此时小林的接球点在x轴上方2m的高度上，且小林可以向前或向后在0.5m的范围内移动接球，要想让小林能成功接到球，求符合条件的b的整数值．
【答案】（1）①； ②2.1
（2）1
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用．
（1）①根据表格和抛物线的对称性找到顶点坐标，再把，代入求解即可；②求出时的函数值，即可；
（2）将代入解析式，求出的值，根据题意，列出一元一次不等式组，求出的整数解即可．
读懂题意，正确的列出函数解析式，是解题的关键．
【小问1详解】
解：①由表格可知，和时的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为：，
由表格可知，当时，，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∴设函数解析式为：，
把，代入解析式，得：，解得：，
∴；
②∵，
∴当时，；
∴小孟同学这次投篮的出手点高度是米；
【小问2详解】
解：∵，
当时，，
解得：，
由题意，得：，解得：；
∴的整数解为1．
23. [问题情境]
如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在射线上，点的对应点记为，折痕与边分别交于点．
【特例感知】
（1）如图2，连接，当点与点重合时，判断四边形的形状，并说明理由；
【问题解决】
（2）如图3，当点在线段上时，连接，设与分别交于点，当时，求证：；
【深入探究】
（3）将（2）中的点改为“在射线上时”，（2）中其它条件不变的情形下，若，时，请直接写出的长．

【答案】（1）菱形，理由见解析（2）见解析（3）或
【解析】
【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；
（2）矩形的性质，以及，得到，进而推出为等边三角形，，得到，折叠的性质，推出，进而得到，即可得证；
（3）分点在线段上和线段的延长线上，两种情况进行讨论求解．
【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形．
理由：设与交于点，如图，

由折叠得：，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）∵四边形矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）①当点在线段上时，过点作与点，

由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
设，
，
四边形是矩形，
，，，
，，
设交与点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作，
∴；
当点在线段的延长线上时，如图：

同法可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：的值为或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大．等级
时长：（单位：分钟）
人数
所占百分比
4
20
甲
乙
图例
方案
如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3m的小视力表②.通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）
使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长
A
B
C
D
E
售价x（元/盆）
20
30
18
22
26
日销售量y（盆）
50
30
54
46
38
售价（元/盆）
18
20
22
26
30
日销售量（盆）
54
50
46
38
30
水平距离
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
…
竖直高度
2
2.72
3.28
3.68
3.92
4
3.92
3.68
…