2023-2024学年辽宁省沈阳市铁西区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市铁西区九年级上学期数学期中试题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程”进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，是一元一次方程，本选项不符合题意；
B、，是一元二次方程，本选项符合题意；
C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
故选：B．
2. 同一枚硬币小明先抛一次，然后小亮再抛一次，两次都是反面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出树状图或是列表，求概率即可．
【详解】解：如下图：
由列表知：共有4种等可能的结果，其中两次都是反面朝上的结果有1种，所以．
故选：B
【点睛】本题考查用列表或是树状图求概率，根据相关要求解题是关键．
3. 如图，直线，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，若，，则（ ）
A 4B. 4．5C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例，可知，因为，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，，，，
∴，且，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，理解和掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在轴上，顶点B，C的坐标分别为(−6，0)，(4，0)，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在Rt△ABO中，求出OA即可解决问题．
【详解】解：∵B（-6，0），C（4，0），
∴BC=10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=DC=BC=10，
在Rt△ABO中，OA==8，
∴A（0，8），
∵AD∥BC，
∴D（10，8），
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5. 一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A. 33B. C. 17D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，直接利用一元二次方程根的判别式求出答案．
【详解】∵，，，
∴．
故选：A．
6. 下列图形中不一定是相似图形的是( )
A. 两个等边三角形B. 两个等腰直角三角形
C. 两个正方形D. 两个长方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似来分析解答本题.
【详解】等边三角形的三个内角都是，所以任意两个等边三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等边三角形一定相似，故A选项错误；等腰直角三角形的三个内角分别为，所以任意两个等腰直角三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等腰直角三角形一定相似，故B选项错误；正方形可以看作是两个全等的直角三角形拼接而成，故任意两个正方形也相似，故C选项错误；任意两个长方形的长和宽对应比例不确定，长之比和宽之比不一定相等，所以任意两个长方形不一定相似，故正确答案为D选项.
【点睛】本题主要考查相似三角形的定义和判定定理以及正方形相似和长方形相似的判定方法.
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．
【详解】解：设CE=x，则BE=3-x，
由折叠性质可知，
EF=CE=x，DF=CD=AB=5
在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，
∴AF=，
∴BF=AB-AF=5-4=1，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即(3-x)2+12=x2，
解得x=，
故选：D．
【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．
8. 若直角三角形的条两直角边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A. 6B. 12C. D. 6或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，先解出方程的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴或．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是；
②当长是4的边是斜边时，第三边是，该直角三角形的面积是．
故选：D．
9. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的球共有个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）个．
A. 48B. 60C. 18D. 54
【答案】A
【解析】
【分析】根据频率估计概率得到摸到红色、黑色球的概率分别为0.15和0.45，则摸到白球的概率为0.4，然后利用概率公式计算即可．
【详解】∵小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，
∴估计摸到红色、黑色球的概率分别为0.15和0.45，
∴摸到白球的概率为1−0.15−0.45=0.4，
∴口袋中白色球的个数为120×0.4=48，
即口袋中白色球的个数很可能48个.
故选A.
【点睛】本题考查的是概率问题，熟练掌握根据频率估计概率是解题的关键.
10. 小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A. 0.5mB. 0.55mC. 0.6mD. 2.2m
【答案】A
【解析】
【分析】、
根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，求解即可
【详解】设小刚举起的手臂超出头顶是xm，则有，
解得：x=0.5．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，对于关于的一元二次方程，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项．
根据一元二次方程的一般形式确定常数项，根据题意列出方程，解方程求出．
【详解】解：关于的一元二次方程的常数项是，
则，
解得：，
，
的值为6，
故答案为：6．
12. 甲、乙两人玩游戏，把一个均匀的小正方体的每个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，任意掷出小正方体后，若朝上的数字比3大，则甲胜；若朝上的数字比3小，则乙胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？________．
【答案】不公平
【解析】
【分析】分别求出甲、乙获胜的概率比较即可得出答案.
【详解】∵掷得朝上数字比3大可能性有：4，5，6，
∴掷得朝上的数字比3大的概率为：，
∵朝上的数字比3小的可能性有：1，2，
∴掷得朝上的数字比3小的概率为：=，
∴这个游戏对甲、乙双方不公平．
【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查比例的性质，设，得，代入进行计算即可．
【详解】解：设，得，
∴．
故答案为：
14. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】主要考查位似图形的性质．
根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得：，
设直线的解析式为：，将点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，，
∴位似中心的坐标为，
故答案为：．
15. 如图，在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的，则所截去小正方形的边长是___．
【答案】2
【解析】
【分析】设所截去小正方形的边长是，再根据“留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的”建立方程，然后解方程即可得．
【详解】设所截去小正方形的边长是，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
则所截去小正方形的边长是，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
16. 如图，在中，，点在边上，且，点是边上的点，当时，的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，求得是解题的关键．
分两种情况讨论，当，得，则，由，，求得，则；二是与不平行，且时，则，可证明是等边三角形，则，可求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，
，
当时，
，
，
，，
，
；
当与不平行时，且时，则，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：或．
三、（17题8分，18题10分，共18分）
17. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【详解】解：整理得
解得：，
【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握一元二次方程的几种常用解法是解题关键.
18. 有3张卡片，正面分别印有“大”（用字母A代替）、“沈”（用字母B代替）、“阳”（用字母代替）字样，卡片的形状、大小、质地等都相同，放在一个不透明的盒子中，将卡片洗匀． 先从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回并洗匀，再从其中任意取出一张卡片，请用画树状图或列表法，求取出的两张卡片中至少有1张印有“沈”字的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列出表格或画出树状图得到所有等可能性的结果是，再找到取出的两张卡片中至少有1张印有“沈”字的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表格可以看出，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等，其中取出的两张卡片中至少有1张印有“沈”字的结果有5种，
∴取出的两张卡片中至少有1张印有“沈”字的概率为．
四、（本题12分）
19. 如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点．

（1）求证：；
（2）当时，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证；
（2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形．
【小问1详解】
证明：与中，
∴，
∴，
又∵、分别是、的中点，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
五、（本题12分）
20. 如图，在中，对角线与相交于点，过点作交延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证，得是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，再由勾股定理得，则，然后由菱形面积即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形；
∴平行四边形是菱形，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）可知，是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
六、（本题12分）
21. 惠民生鲜超市出售一种进价为20元/千克的水果，如果按每千克40元销售，每天可卖出20千克．通过市场调查发现，如果该种水果售价每千克降低1元，日销售量将增加2千克．
（1）若销售这种水果的日利润保持不变，该种水果每千克售价可降低多少元？
（2）通过降低售价的方法，销售这种水果的日利润能达到460元吗？如果能，请求出售价应该降低多少元；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）每千克水果售价可降低10元
（2）不能，理由见详解
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，
（1）设每千克水果售价降低元，则每千克销售利润为元，日销售量为千克，利用总利润每千克的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设每千克水果售价降低元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，可得：，方程的，问题得解．
【小问1详解】
解：设每千克水果售价降低元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，降价前的日利润为：（元），
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），．
答：若日利润保持不变，每千克水果售价可降低10元．
【小问2详解】
解：设每千克水果售价降低元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，
根据题意得：，
整理得：，
方程的，
方程无实数解，
故销售这种水果的日利润不能达到460元．
七、（本题14分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求直线的函数表达式；
（2）点在轴上，且在点的上方，当时，求直线的函数表达式；
（3）点为线段上的一个动点，且不与点重合，过点作直线与轴垂直，交直线于点，交直线于点，连接，当以点为顶点的三角形与相似时，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数综合应用，相似三角形的性质、面积的计算、待定系数法求函数的表达式；
（1）由待定系数法求解求解；
（2）求出点，即可求解；
（3）当以点，，为顶点的三角形与相似时，则和两种情况，再分类求解即可．
【小问1详解】
解：直线与轴交于点，与轴交于点，
则点、的坐标分别为：、；
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
即直线的表达式为：；
【小问2详解】
解：
，即
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：；
【小问3详解】
由题意得，，
当以点，，为顶点的三角形与相似时，则存在和两种情况，
，则点、的坐标分别为：、，
由点、、、、的坐标得：，，，
当时，
，即，
解得：，
当，
，即，
解得：．
综上所述，的值为或．
八、（本题14分）
23. 基础运用
（1）如图1，在正方形中，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边上的点处，点不与点重合．
①求证：；
②求证：
创新探究
（2）如图2，在菱形中，，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边延长线上的点处．求证：．
【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形对角线的性质，垂直平分，进而得出①结论；过点作于点，于点（如图），去证明四边形是矩形，，，从而推出结论；
（2）根据菱形对角线的性质，证明出，作交于点，交于E点（如图），得出；根据菱形性质和题意，和都是等边三角形；作交于点，根据等腰三角形和等边三角形性质得出，，进而证明出结论．
【详解】（1）①证明：根据正方形对角线的性质，
垂直平分，
上的点到和B距离相等，
．
②过点作于点，于点，如图
线段绕点旋转得到，
；
又，
；
又，，，
四边形是矩形，
；
是正方形，
，
则，
，
．
（2）证明：根据菱形对角线的性质，
垂直平分，
上的点到和B距离相等，
；
又由旋转得到，
．
作交于点，交于E点，如图
则四边形是平行四边形，；
根据菱形性质：菱形的四条边都相等，及题意：，
得：，
和都是等边三角形；
作交于点，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了正方形、菱形、等腰、等边三角形的性质及旋转性质，根据题意作出正确的辅助线是解题关键．第一次
第二次