2024九年级数学下册第30章二次函数集训课堂练素养2.二次函数的图像和性质的九种常见类型习题课件新版冀教版

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2.二次函数的图像和性质的九种常见类型练素养　　课题 集训课堂 冀教版 九年级下第三十章 二次函数1【点拨】【答案】A∴函数y＝x2－bx＋k－1的图像不过原点．符合以上条件的只有A选项．故选A.2【2023·南京九中月考】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(2，0)，B(3n－4，y1)，C(5n＋6，y2)三点，对称轴是直线x＝1.关于x的方程ax2＋bx＋c＝x有两个相等的实数根．(1)求抛物线的表达式；(2)若n＜－5，试比较y1与y2的大小；(3)若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．【2022·雅安】抛物线的函数表达式为y＝(x－2)2－9，则下列结论中，正确的序号为(　　)①当x＝2时，y取得最小值－9；②若点(3，y1)，(4，y2)在其图象上，则y2＞y1；③将其图像向左平移 3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为y＝(x－5)2－5；④函数图像与x轴有两个交点，且两个交点之间的距离为6.　　　　　　　　　　　　　　　A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④3【点拨】∵抛物线的函数表达式为y＝(x－2)2－9，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向上，顶点坐标为(2，－9)．∴当x＝2时，y取最小值－9，①正确．∵当x＞2时，y随x的增大而增大，且2＜3＜4，∴y2＞y1，②正确．【答案】B将函数图像向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为y＝(x＋1)2－5，③错误．令(x－2)2－9＝0，解得x1＝－1，x2＝5，5－(－1)＝6，④正确．4【新考法·函数平移法】把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2.(1)直接写出抛物线C2的函数表达式．解：抛物线C2的函数表达式为y＝(x－3)2－3.解：动点P(a，－6)不能在抛物线C2上．理由：∵抛物线C2的函数表达式为y＝(x－3)2－3，∴函数的最小值为－3.∵－6＜－3，∴动点P(a，－6)不能在抛物线C2上．(2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？请说明理由．解：y1＞y2.理由：∵抛物线C2的函数表达式为y＝(x－3)2－3，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3.　∴当x＜3时，y随x的增大而减小．∵点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，∴y1＞y2.(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．【点方法】比较抛物线上两点对应的函数值大小的方法：①如果两点在对称轴的同侧，可以用二次函数的增减性比较大小；②如果两点在对称轴的两侧，可以利用二次函数图像的对称性将对称轴两侧的函数值大小比较问题转化为同侧的函数值大小比较问题．5(2)求四边形ACDB的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．解：如图②，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO＝∠PBC时，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F.6【2022·常德】如图，已知抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为直线x＝2.(1)求此抛物线的表达式；解：∵抛物线过点O(0，0)，且它的对称轴为直线x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4，0)．设抛物线的表达式为y＝ax(x－4)，把点A(5，5)的坐标代入，得5a＝5，解得a＝1.∴y＝x(x－4)＝x2－4x.解：如图，∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B(2，m)(m＞0)．设直线OA的表达式为y＝kx，将点A(5，5)的坐标代入，得5k＝5，解得k＝1. ∴直线OA的表达式为y＝x.(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；(3)在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当PA－PB的值最大时，求P的坐标以及PA－PB的最大值．解：由题意得y＝－(x＋1)(x－3)，∴y＝－x2＋2x＋3.7【2022·贺州】 【新考法·条件探究题】如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式．解：由(1)可得该抛物线的对称轴为直线x＝1.令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)．设P(1，m)．∵PB＝PC，∴PB2＝PC2.∴(3－1)2＋m2＝12＋(m－3)2，解得m＝1.∴P(1，1)．(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标．解：存在．假设存在点M满足条件，作PQ∥BC，PQ交y轴于点Q，作MN∥BC交y轴于点N.设直线BC的表达式为y＝kx＋n，将点B(3，0)、点C(0，3)的坐标分别代入，得直线BC的表达式为y＝－x＋3.(3)在(2)的条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．8(2)在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A′，连接MA′交y轴于点Q，连接AM，AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标．解：存在．点N的坐标为(6，6)或(－6，－6)或(－2，6)． (3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A，O，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．9【2022·嘉兴】已知点A(a，b)，B(4，c)在直线y＝kx＋3(k为常数，k≠0)上，若ab的最大值为9，则c的值为(　　)【点拨】【答案】C10(1)求k的值；解：∵点A(t，0)在x轴负半轴上，∴OA＝－t.∵四边形OABC为正方形，∴OC＝BC＝OA＝－t，BC∥x轴，(2)连接BP，CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S－2t2，求T的最大值．已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1的顶点为A，点B的坐标为(3，5)．(1)求抛物线过点B时顶点A的坐标．11解：∵抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1过点B(3，5)，∴把点B(3，5)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，整理得m2－4m＋3＝0，解得m1＝1，m2＝3.当m＝1时，y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，顶点A的坐标为(1，1)；当m＝3时，y＝x2－6x＋14＝(x－3)2＋5，顶点A的坐标为(3，5)．综上，顶点A的坐标为(1，1)或(3，5)．解：∵y＝x2－2mx＋m2＋2m－1＝(x－m)2＋2m－1，∴顶点A的坐标为(m，2m－1)．∵点A的坐标记为(x，y)，∴x＝m，y＝2m－1. ∴y＝2x－1，即y与x的函数表达式为y＝2x－1.(2)点A的坐标记为(x，y)，求y与x的函数表达式．解：由(2)可知，抛物线的顶点在直线y＝2x－1上运动，且形状不变．由(1)知，当m＝1或3时，抛物线过点B(3，5)． (3)如图，已知C点的坐标为(0，2)，当m取何值时，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1与线段BC只有一个交点？把C(0，2)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，得m2＋2m－1＝2，解得m＝1或m＝－3.∴当m＝1或m＝－3时，抛物线经过点C(0，2)．如图，当m＝－3或m＝3时，抛物线与线段BC只有一个交点(即线段CB的端点)；当m＝1时，抛物线同时过点B，C，不合题意．∴m的取值范围是－3≤m≤3且m≠1.