无锡市阳山中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份无锡市阳山中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题（含答案），共13页。

（时间：120分钟满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色签字笔将准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答卷上涂写相应的选项标号）
1．下列方程中是一元二次方程的是（）
A．x2﹣1＝0B．y2+x＝1C．2x+1＝0D．x+＝1
2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（）
A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝2C．（x+2）2＝10D．（x﹣2）2＝10
3．如图，在长为100m，宽为80 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为（）
A．100×80－100x－80x=7644
B．(100－x)(80－x)＋x2=7644
C．(100－x)(80－x)=7644
D．100x＋80x－x2=7644
第3题
第5题
第7题
4．以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径．其中正确的命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在中，，，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）
A．28°B．64°C．56° D．124°
6．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝55°，∠B1＝95°，则∠C等于（）
A．30°B．55°C．95°D．40°
7．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）
A．∠C＝∠AEDB．∠B＝∠DC．D．
8．如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE//BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点F，则下列等式中不成立的是（）
A．B．C．D．
9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（）
A．AC的长B．CD的长C．BC的长D．AD的长
10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是（）
A．－1B．－1C．－1D．2
第8题
第10题
第9题
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分. 不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置）
11．若a是一元二次方程x2+2x－3＝0的一个根，则2a2+4a的值是_____________．
12．请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比1小，比－1大，则你构造的一元二次方程是__________________________．
13．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2－4x－5＝0的一个根，则点P在⊙O _____________．（填“内”、“外”或“上”）
14．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为___________寸．
第15题
第14题
第16题
第18题
15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝60cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，则树高AB为_____________m．
16．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则＝_____________．
17．已知关于的方程（a、b、m为常数，）的解是，，那么方程的解_____________．
18．如图，，直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，等边的三个顶点分别在直线、直线、直线上，则等边三角形的边长是_____________．
解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卷指定区域内作答，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤）
19．（12分)解下列方程:
（1）4(x－2)2－25＝0；（2）(m＋1)2＝4(m＋1)；
(x＋3) (x－1)＝12；（4）3x2－5x＋4＝0.
20．（8分)已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值．
21．（8分)如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）.
（1）外接圆的圆心坐标为_____________，外接圆⊙P的半径是_____________．
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的得到，请在y轴左侧画出；点P（a，b）为内的一点，则点P在内部的对应点的坐标为_____________．
22．（8分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
23．（8分)如图，在中，，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若，求的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
24．(10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F分别是边AB、BC上的两个点，点B关于直线EF的对称点P恰好落在边AC上且满足EP⊥AC．
（1）请你利用无刻度的直尺和圆规画出对称轴EF；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若BC＝3，AC＝4，则四边形BEPF的周长＝_____________，线段EF＝_____________．
25．(10分)某大型电子商场销售某种空调，每台进货价为2500元，标价为3200元．
（1）若电子商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2592元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为3000元时，平均每天能售出10台，当每台售价每降100元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种空调的销售利润平均每天达到5400元，且顾客得到优惠，则每台空调的定价应为多少元？
26．（10分）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．
（1）当PQ//BC时，求x的值．
（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，AC=8，
（1）如图①，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标；
定义：若以不在同一直线上的三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点，这样的圆叫做黄金圆．如图②，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动；求：当P、Q、C三点恰好构成黄金圆时点P的坐标．
28．（12分）已知△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且．
（1）点D与点B重合时，
①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是_____________，位置关系是_____________；
②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；
（2）BD＝2CD时，
①如图3，k＝1时，若AE＝2，S△CDF＝6，求FC的长度；
②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．6；
12．x(x-2)=0(答案不唯一) ；
13．外；
14． 26 ；
15． 6.5 ；
16． 9:25 ；
17．x1=0，x2=-3 ；
18．.
三、解答题（共8大题，共96分）
19．(每小题3分，共12分)
解∶（1）， 分（2），
∴，∴，分
∴，；分∴，；分
（3）∵(x＋3) (x－1)＝12，（4）∵a＝3，b＝－5，c＝4 分
∴ 分∴分
∴，∴原方程没有实数根．分
∴分
20．（8分）
证明：关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣4m，c＝4m2﹣4．分
∴Δ＝（﹣4m）2﹣4×1×（4m2﹣4）＝16＞0．
∴此方程有两个不相等的实数根；分
（2）解：若此方程的两个根分别为x1，x2，由题意得，
x1+x2＝4m，x1x2＝4m2﹣4．
∵x1＝3x2，∴3x2+x2＝4m，
即x2＝m，∴x1＝3m，分
∴3m•m＝4m2﹣4，即m2＝4，解得m＝±2．分
当m＝﹣2时，x1＝﹣6，x2＝﹣2．此时x1＜x2，不符合题意．∴m＝﹣2舍去
故m的值为2．分
21．（8分）
（1）（0，-2），．分
（2）图略．分
分
22．（8分）证明：四边形是平行四边形，
，，
，．分
，，．分
在与中，．分
（2）解：四边形平行四边形，．
由（1）知，，．分
，，，，
在中，由勾股定理得：．分
23．（8分）解：（1）如图，连接．
，，．
，，分
．
．分
（2）如图，过点作，垂足为．
，，，．分
，分
．分
，，．分
（其他方法也可酌情给分）
24．（10分）
（1）先画∠B的平分线，与AC交点即为P，再画BP的垂直平分线即可得到EF．分
（2），．分
25．(10分)解：（1）设每次降价的百分率为，
依题意得：，分
解得：，（不合题意，舍去）．分
答：每次降价的百分率为．分
（2）设每台空调的定价应为元，则每台空调的销售利润为元，平均每天能售出台，
依题意得：，分
整理得：，
解得：，．分
又要顾客得到优惠，．
答：每台空调的定价应为2800元．分
26．（10分）解：（1）当PQ∥BC时，AP：AB＝AQ：AC，分
∵AP＝4x，AQ＝30﹣3x，∴，分
解得：x＝；即当x＝，PQ∥BC；分
（2）能，
①当△APQ∽△CQB时，有，即：，分
解得：x＝，∴AP＝4x＝（cm），分
②当△APQ∽△CBQ时，有，即：，分
解得：x＝5或x＝﹣10（舍去），∴PA＝4x＝20（cm），
综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．分
27．（10分）
（1）G的坐标为(8，) 分
（2）设运动的时间为t秒，
当点C为黄金圆的圆心时，则CQ=CP，
P点坐标为． 分
当点P为黄金圆的圆心时，则PC=PQ，
P点坐标为．分
当点Q为黄金圆的圆心时，则QC=PQ，
P点坐标为．分
综上所述，P点坐标为，，．
28．（12分）解：（1）① AE＝FC ， AE⊥FC ；．分
②AE＝2CF，AE⊥CF，理由如下：
∵，∴△ABE∽△CBF，
∴，∠A＝∠BCF，∴AE＝2CF，分
∵∠A+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACB＝90°，∴AE⊥CF；分
（2）①如图，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T，
由题意知AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∵DT∥AB，∴∠DTC＝∠DCT＝45°，∴DT＝DC，
∵DH⊥CT，∴HT＝HC，
∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，
∴DT∥AB，∴，
∴AT＝4m，
∵AE＝2，∴ET＝4m﹣2，
∵DE＝DF，DT＝DC，∠EDF＝∠TDC＝90°，
∴∠EDT＝∠FDC，∴△EDT≌△FDC（SAS），
∴S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，
∴，
解得m＝2或﹣（舍去），
∴CF＝ET＝4m﹣2＝6；分
②MN的最小值为．分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
A
C
A
C
B
D
B