湖南省益阳市赫山区箴言龙光桥学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：
1.本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；
2.请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；
3.请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效；
4.本学科为闭卷考试，考试时量为120分钟，卷面满分为120分；
5.考试结束后请将试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. B. 1C. D. 无解
【答案】B
【解析】
【分析】根据分子等于零，分母不等于零列式求解即可．
【详解】解：由题意得
x2-1=0且x+1≠0，
解得
x=1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．
2. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A. x＞0B. x≥0C. x≠0D. x≥0且x≠1
【答案】D
【解析】
【详解】解：根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，
可知x-1≠0，x≥0，
解得x≥0且x≠1.
故选D.
3. 的平方根是（ ）
A. 3B. ±3C. D. ±
【答案】D
【解析】
【分析】先计算的值为3，再利用平方根的定义即可得到结果．
【详解】解：∵=3，
∴的平方根是±．
故选：D．
【点睛】此题考查了平方根，以及算术平方根，解决本题的关键是先求得的值.
4. 下列各数中为无理数的是（ ）
A. B. 1.7C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：由无理数的定义可知，四个数中，只有是无理数，
故选：A．
5. 下列二次根式中，最简二次根式（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，正确理解最简二次根式的概念是解题关键．
根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：解：A，不是最简二次根式；
B、，不是最简二次根式；
C、是最简二次根式；
D、，不是最简二次根式；
故选：C．
6. 下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式性质及二次根式运算，由二次根式运算及性质逐项验证即可得到答案，熟记二次根式性质及运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选：B．
7. 若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．关键是求出最大的角的度数判断．
根据三角形的内角和为，即可求出三角形的最大的角的度数，即可判断．
【详解】解：设三角形三个内角度数分别为，
解得：，
这个三角形最大的角是，是锐角，所以这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
8. 把不等式x﹣1＜2的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】移项，求出不等式的解集，判断选项；
【详解】解：移项得，x＜1+2，
得，x＜3．
在数轴上表示为：
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解不等式时尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．
9. 如果将分式中的字母与的值分别扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（ ）
A. 扩大为原来的5倍B. 扩大为原来的10倍
C. 缩小为原来的D. 不改变
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的性质，根据题意将字母与的值分别扩大为原来的5倍，化简即可得到答案，熟记分式性质是解决问题的关键．
【详解】解：将分式中的字母与的值分别扩大为原来的5倍，
，即这个分式的值不改变，
故选：D．
10. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）

A. B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【详解】解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8，
∵8是有理数，
∴结果为无理数，
∴y==．
故选A．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.请将答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
11. 计算：=___．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根．
【详解】∵（－2）3=－8，
∴，
故答案为：-2
12. 的倒数是________.
【答案】.
【解析】
【分析】根据倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数进行计算，注意将分式的分母有理化进行化简即可.
【详解】解：
∴的倒数是
故答案为.
【点睛】本题考查倒数的定义及对分式的分母有理化，掌握利用平方差公式进行分母有理化是解题关键.
13. 已知等腰三角形两边长分别为2和3，则这个等腰三角形的周长为_____．
【答案】7或8##8或7
【解析】
【分析】分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3时和当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2时，先利用三角形三边关系验证是否成立，再求周长即可．
【详解】解：分类讨论：当该等腰三角形腰长为2，底边长为3时，
∵，
∴该等腰三角形成立，
∴此时这个等腰三角形的周长为；
当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2时，
∵，
∴该等腰三角形成立，
∴此时这个等腰三角形的周长为．
综上可知这个等腰三角形的周长为7或8．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系．利用分类讨论的思想是解题关键．
14. 若不等式组的解集是，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】先分别求得两个不等式的解集，再根据求不等式组的解集的口诀求解即可.
【详解】解:得
因为不等式组的解集是
所以的取值范围是．
【点睛】本题考查解不等式组，解题的关键是熟练掌握求不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到（无解）.
15. 已知x，y为实数，且，则x-y=___________．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性和平方的非负性即可求出x和y，代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴
解得：
∴x-y=-1
故答案为：-1．
【点睛】此题考查的是非负性的应用，掌握算术平方根的非负性和平方的非负性是解决此题的关键．
16. 若关于x的方程=0有增根，则m的值是______．
【答案】2
【解析】
【详解】去分母得，m-1-x=0，
∵方程有增根，
∴x=1，
∴m-1-1=0，
∴m=2．
故答案为：2
三、解答题（本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、零指数幂、负整数指数幂及绝对值运算等知识，先由二次根式性质、零指数幂、负整数指数幂及绝对值运算分别计算，再由二次根式加减运算求解即可得到答案，熟记相关运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：
．
18. 先化简再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】先把括号里式子通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简，最后代值计算．
【详解】原式=
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19. 解方程：．
【答案】原方程无解.
【解析】
【分析】根据分式方程的解法去分母把方程化成整式方程即可求解.
【详解】1，
解：
，
，
经检验是方程的增根，
∴原方程无解；
【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是进行验根.
20. 如图，已知，求证：
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由两个三角形全等的判定定理得到，再由三角形全等性质即可得证，熟练掌握两个三角形全等判的定定理及性质是解决问题的关键．
【详解】证明：在与中
，
，
．
21. 如图，D是的边上的一点，
（1）根据以下信息，用不带刻度的直尺和圆规，在图下中完成了这道作图题并填空．（保留作图痕迹）
①在上分别截取线段，，使；
②分别以E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，在内两弧交于点G；
③作射线交于点H，则射线是的 .
（2）在（1）的条件下，求证：
【答案】（1）作图见解析，角平分线；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，平行线的判定，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，
（1）根据作图可知，再根据可证明，即可得出是的角平分线，
（2）由内错角相等可推出两直线平行，
【小问1详解】
解：作图如下，
易知：,,,
,
是的角平分线，
故答案为：角平分线
【小问2详解】
解：,
,
是的角平分线，
，
又，
22. 阅读下列内容：
我们在学习二次根式时，式子有意义，则；式子 有意义，则；若式子有意义，求的取值范围，这个问题可以转化为不等式组来解决，即求关于的不等式组的解集，解这个不等式组，得．
（1）式子有意义，求的取值范围；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】本题考查阅读理解，涉及二次根式有意义，解方程等知识，读懂题意，又不等式组转化为方程求解是解决问题的关键．
（1）读懂题意，由题中材料中的方法，得到，即，求解即可得到答案；
（2）读懂题意，由题中材料中的方法，得到，即，求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意，式子有意义，可得，
，解得或；
【小问2详解】
解：对于中，，
，解得，
，则．
23. 已知：如图，在中，，，，、交于点．
（1）求证：；
（2）请判断与的大小关系并证明．
【答案】（1）证明见解析
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）利用定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理证明．
【小问1详解】
证明：，
，即，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：，
证明如下：，
，
，
，
，
．
24. 市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长900米，改造总费用不超过63万元，至少安排甲队工作多少天？
【答案】（1）甲工程队每天能改造道路45米，乙工程队每天能改造道路30米．（2）至少安排甲队工作15天．
【解析】
【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路长度x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用=甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过63万元，即可得出关于m一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲工程队每天能改造道路的长度为45米，乙工程队每天能改造道路的长度为30米；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，
根据题意得：，
解得：，
答：至少安排甲队工作15天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
25. 阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：；
解决下列问题：
（1）分式是________分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果为整数，分式值为整数，求所有符合条件的的值．
【答案】（1）真；（2）；（3），0，，
【解析】
【分析】（1）根据阅读材料中的内容可知：分式是真分式；
（2）参照阅读材料中的例子，把分式的分子化为即可把原分式化为带分式；
（3）先把分式化成带分式的形式可得：，由原分式的值为整数，可得的值为整数，由此即可分析得到整数的值．
【详解】解：（1）由“真分式、假分式”的定义可知，分式是真分式；
故答案为：真；
（2）原式；
（3）原式，
由为整数，分式的值为整数，
得到，解得：，
，解得：，
，解得：，
，解得：，
则所有符合条件的值为，0，，．
【点睛】本题考查的是一道有关分式运算的阅读理解类的题目，分式新定义，解一元一次方程，解题时需注意：认真阅读理解所给内容，通过例题，弄清把“假分式”化为“带分式”的方法是解题的关键．