上海市西南模范中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元二次方程组的定义，解题的关键是掌握“组成二元二次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是二次的整式方程．”据此逐个判断即可．
【详解】解：A、不是整式方程组，故不是二元二次方程组，不符合题意；
B、含有3个未知数，故不是二元二次方程组，不符合题意；
C、是二元二次方程组，符合题意；
D、不是整式方程组，故不是二元二次方程组，不符合题意；
故选：C．
2. 下列选项中正确的是（ ）
A. 方程有实数根B. 方程的解是
C. 方程有实数根D. 方程只有一个解
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了理方程，分式方程，整式方程是否有实数根，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据无理方程，分式方程，整式方程是否有实数根逐项分析判断即可
【详解】解：A、∵，
∴没有实数根，故A不正确，不符合题意；
B、当时，，
∴不是原分式方程的解，故B不正确，不符合题意；
C、∵，
∴，解得：，故C正确，符合题意；
D、，
解得：或，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
3. 方程组有两组不同的实数解，则（ ）
A. ≥B. ＞C. ＜＜D. 以上答案都不对
【答案】B
【解析】
【分析】将y=x²与y=x+m函数联立，根据解的个数求解即可．
【详解】方程组有两组不同的实数解，两个方程消去y得，，需要△＞0，即1+4m＞0，所以＞,故选B.
【点睛】本题考查了二元二次方程，用到的知识点是加减消元法解方程组，根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是根据根的判别式求出m的值．
4. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的增减性，熟练掌握相关函数的增减性是解题的关键．
根据一次函数，二次函数，反比例函数的增减性，逐个判定即可．
【详解】解：A、∵，
∴在每一象限内，y随x的增大而增大，故A不符合题意；
B、∵，
∴该二次函数开口向上，对称轴为y轴，
∴当时，y随x的增发而增大，当时，y随x的增大而减小，故B不符合题意；
C、∵，
∴y随x的增大而减小，故C不符合题意；
D、∵，
∴y随x的增大而增大，故D符合题意；
故选：D．
5. 当a＜0，b＞0函数y＝ax+b与y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数图像与各项系数关系，分别判断y＝ax＋b与y＝bx＋a所过的象限，最后得出结论.
【详解】解：∵a＜0，b＞0
∴y＝ax＋b经过一、二、四象限
y＝bx＋a经过一、三、四象限
∴选B
故答案是：B.
【点睛】本题主要考查一次函数图形与性质，掌握和正确应用图像与系数关系是解题的关键.
6. 甲乙两地间公路长300千米，为适应经济发展，甲地通往乙地的客车的速度比原来每小时增加了40千米，时间缩短了1.5小时．若设客车原来的速度为每小时x千米，则下列方程中符合题意的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从实际问题抽象出分式方程，根据时间缩短了1.5小时列方程即可．
【详解】解：由题意，得
．
故选C．
二、填空题
7. 若函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的定义和增减性，解一元二次方程，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大，反之，y随x的增大而减小．先根据一次函数的定义，得出，求出m的值，再根据增减性，得出，即可得出结论．
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴，
解得：，
∵y随着x的增大而增大，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：1．
8. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是______边形．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式列方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
∴．
故答案为：18．
9. 方程的根是______．
【答案】，，
【解析】
【分析】本题考查了解高次方程，通过因式分解化为低次方程求解即可．
详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得，，．
故答案为：，，．
10. 方程：的根为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
当时，，
∴是原方程的增根；
当时，，
∴原方程的解为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解题的关键．
11. 方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再根据二次根式有意义的条件得出符合方程的x的值，可得答案．
【详解】解：
两边平方得,
则或,
解得：或,
又
解得：，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
12. 分式方程，如果设，原方程则化为整式方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是利用换元法解分式方程，掌握整体换元的思想是解本题的关键．根据完全平方公式得出，即可解答．
【详解】解：设，
则，
∴，
∴原方程则化为整式方程为，
故答案为：．
13. 方程组的解是______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解二元一次方程组．
将①代入②，得出关于x一元二次方程，求出x的值，再将x的值代入①，求出y的值即可．
【详解】解：，
把①代入②得：，
整理得：，
解得：或，
把代入①得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为，．
14. 方程组的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解方式方程组，用换元法求解即可．
【详解】解：设，
则原方程组可化为，
，得
，
∴，
把代入①，得
，
∴，
∴，
∴，
经检验符合题意．
故答案为：．
15. 当______时，关于x的方程会产生增根．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，解题的关键是掌握使分式方程分母为0的未知数的值，是分式方程的增根．先去分母，将分式方程化为整式方程，得出，再根据增根的定义，即可求出m．
【详解】解：，
，
，
当时，原方程会产生增根，
即当时，原方程会产生增根，
∴，
解得：．
故答案为：．
16. 某学生计划每天平均看书若干页，则在预定日期可看完300页的书，读了15天后，改变计划每天多读6页，结果比预定日期提前2天读完，设该学生原计划每天读x页，则可列方程：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找出合适的等量关系，列出方程．设他原计划平均每天读x页书，则他需要天读完，根据改变计划后结果比预定日期提前2天读完可列出关于x的方程．
【详解】解：设他原计划平均每天读x页书，根据题意得：
，
故答案为：．
17. 明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程S（单位：千米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为______分钟．
【答案】14
【解析】
【分析】此题考查了从函数图象获取信息，关键是正确理解图象所表示的意义，求出上下坡的速度．根据图象计算出上坡速度和下坡路程，然后根据放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，再结合路程可得答案．
【详解】解：根据函数图象可得：上坡速度为（千米/分），
下坡速度为（千米/分），
放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，
那么他回来时，上坡路程为2千米，速度为千米/分，下坡路程为1千米，速度为千米/分，
因此走这段路所用时间为．
故答案为：14．
18. 如图，在中，是的中线，将沿直线翻折，点是点B的对应点，点E是线段上的点，如果，那么的长是__．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证得得到是解题的关键．
根据旋转的性质可得进而可得，然后证明可得，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：如图：∵是由翻折，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，∵，
在中, ．
故答案为：．
三、解方程（组）
19.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤．先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
当时，，
∴不是原方程的解．
20.
【答案】，，，
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，用换元法求解即可．
【详解】解：设，
则原方程变为，
∴，
∴，．
当时，解得，．
当时，解得，．
21.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的技巧和解一元二次方程是解题的关键．
根据方程的特点可以构造平方差公式，进而转化为一元二次方程，解一元二次方程即可，最后根据无理方程的特点，要进行检验．
【详解】解：①
设②，
得：，
解得：，
∴
∴③，
得：，
两边同时平方，得：，
整理得：
解得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
当时，，不符合题意，舍去，
∴原方程的解为．
22.
【答案】或或或．
【解析】
【分析】本题考查了解二元二次方程组，通过因式分解转化为二元一次方程组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
或或或，
解得或或或．
23.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用换元法解分式方程，利用换元法把分式方程化为整式方程是解决本题的关键，注意检验．
设，则将原，求出a的值，再将a的值代入①，求出b的值，进而得出，即可求解．
【详解】解：设，
∴，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
四、解答题
24. 学校组织为贫困地区儿童捐资助学的活动，其中甲班和乙班捐款总额分别为1000元和900元．已知甲班比乙班少5名学生，而甲班的人均捐款额比乙班的人均捐款额多5元．问甲班和乙班各有多少名学生？
【答案】甲班有40名学生，则乙班有45名学生．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设甲班有x名学生，则乙班有名学生，根据甲班的人均捐款额比乙班的人均捐款额多5元列方程求解即可．
【详解】解：设甲班有x名学生，则乙班有名学生，由题意得
，
解得，（舍去）．
经检验是原方程的解且符合题意，
名．
答：甲班有40名学生，则乙班有45名学生．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，，，将沿直线翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上．
（1）求k的值；
（2）如果将绕的中点旋转得到．
①请直接写出点P的坐标；
②请判断点P是否在双曲线上，并说明理由．
【答案】（1）
（2）①P点坐标，②点P在双曲线上，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数综合，轴对称的性质，旋转的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
（1）根据翻折的性质得出，则，设，得出， ，联立求出x和y的值，再用待定系数法，即可求出k的值；
（2）①设中点D，根据中点坐标公式得出 ，设P点坐标，根据中心对称的性质，列出方程组，求出a和b的值，即可得出点P的坐标；②求出当时，的函数值，即可判断．
【小问1详解】
解：∵沿直线翻折得到，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴， ，
联立得：
，
解得 ，
∴，
把代入得：；
【小问2详解】
解：①设中点为D，
∵，，
∴点D坐标横坐标，点D纵坐标，
∴ ，
设P点坐标，
∵，
∴ ，
解得∶ ，
∴P点坐标为；
②由①可知，，
∴双曲线的表达式为，
当时，，
∴点P在双曲线上．
26. 已知在中，，，斜边的中点为P点，动点D、E分别在边、上，且．
（1）求证：；
（2）设，，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）若为等腰三角形，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）2或或4
【解析】
【分析】（1）过点P作，，可得四边形矩形，得到，结合，可得，根据三角形中位线性质可得， ，得到，可得，得到；
（2）根据中点性质可得，结合，得到，可证矩形是正方形，得到，根据勾股定理得到，根据，得到；
（3）连接，根据等腰直角三角形性质可得，，得到，结合，证得，可知是等腰三角形，当时，点D与点A重合，可得；，成立；当时，，可得，点D与点F重合，得到．
【小问1详解】
如图1，过点P作，，
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵P是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图1，∵F是中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
即；
【小问3详解】
如图2，连接，
∵，，
∴，
∵P是中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当是等腰三角形时，也是等腰三角形，
当时，，
∴点D与点A重合，
∴；
当时，成立；
当时，，
∴，点D与点F重合，
∴．
综上，的长为 ：2或或4．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形性质和判定，三角形中位线判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键．