北京市2024届九年级上学期期末模拟训练数学试卷(含解析)

这是一份北京市2024届九年级上学期期末模拟训练数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
1. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2 .如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ）

A．B．C．D．
如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，
当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ）

A．30°B．45°C．55°D．75°
4 . “今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”
这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：
如图，为的直径，弦于E，寸，弦寸，则的半径为多少寸（ ）

A．5B．12C．13D．26
5 . 如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，
若∠APD=60°，则CD的长为（ ）

A．B．C．D．1
反比例函数的图象在直角坐标系中的位置如图，
若点，，的在函数的图象上，
则，，的大小关系为（ ）

A． B． C． D．
7 . 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、
用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，
若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）

A．12B．C．D．
8 . 如图，抛物线与x轴交于点和B，下列结论：
① ；②；③；④．
其中正确的结论个数为（ ）

A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. . 若，则___________．
10． 已知一个扇形的弧长为，圆心角是150°，则它的半径长为 ，扇形的面积为 ．
11． 关于 x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为 ．
12． 如图，中，，于D，，，则的长为 ．

13 .如图，A，B、C三点都在上，，过点A作的切线与的延长线交于点P，
则的度数是_________．

如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，
托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD=8cm，∠CDE=60°，
则点C到底座DE的距离为 cm（结果保留根号）．

15 .平面直角坐标系中，已知抛物线与直线如图所示，
有下面四个推断：

①二次函数有最大值；
②抛物线C关于直线对称；
③关于x的方程的两个实数根为，；
④若过动点垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点和，
则当时，m的取值范围是．
其中所有正确推断的序号是 ．
如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，
连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，
连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于 ．

解答题（本题有10个题，共68分）
17. 计算：．
18. 已知：如图，在中，D为边的中点，连接，，，求的长．

19 . 如图，在中，，平分交边于点D，于点E，
若，，求的长．

要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，
使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，
水柱落地处离池中心3m，水管应多长？

21 .某中学决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，
促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？
（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，
并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：

(1)共有_______名学生参与了本次问卷调查；
(2)“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，
请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
22. 教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，
某学校组织了一次测量探究活动．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，
小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，
沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，
已知山坡的坡度，米，米．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据，，）

(1)求点B距水平地面的高度；
(2)若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．
23. 如图，内接于，是的直径，，垂足为D．

（1）求证：；
（2）已知的半径为5，，求长．
24．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中．

(1)求的值；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点在轴上，且的面积为16，求点的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，
与y轴交于点C，点D为的中点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
26. （1）问题呈现】
如图1，和都是等边三角形，连接，．易知_________．
（2）类比探究】
如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则_________．
（3）拓展提升】
如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．
①求的值；
②延长交于点，交于点．求的值．
2023-2024学年第一学期北京市九年级数学期末模拟训练试卷解析
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
1. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
解析：解：抛物线向左平移1个单位可得，再向下平移3个单位可得，
故选：B
2 .如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
解析：解：在中，，，，
由勾股定理得，，
∴，
故选：D．
如图，在等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，
当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．75°
答案：B
解析：解：，，
，
由旋转得，，，
，
，
故选：B．
4 . “今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”
这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：
如图，为的直径，弦于E，寸，弦寸，则的半径为多少寸（ ）
A．5B．12C．13D．26
答案：C
解析：解：连接，如图所示，
设直径的长为，则半径，
为的直径，弦于，，
，
而，
根据勾股定理得，
解得，
即的半径为13寸．
故选C．
5 .如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，
若∠APD=60°，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．1
答案：B
解析：解：∵∠APC=∠ABP+∠BAP=60+∠BAP=∠APD+∠CPD=60+∠CPD，
∴∠BAP=∠CPD．
又∵∠ABP=∠PCD=60，
∴ABP∽△PCD．
∴，即．
∴CD=．
故选B．
反比例函数的图象在直角坐标系中的位置如图，
若点，，的在函数的图象上，
则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴，
∴点在第二象限，
∴，
∵，
∴，两点在第四象限，
∴，
∵函数图象在第四象限内为增函数，
∴．
∴，，的大小关系为．
故选：D．
7 .我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、
用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，
若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A．12B．C．D．
答案：C
解析：解：连接，交于点M，连接，
∵六边形是的内接正六边形，
∴，，
∴，
∵经过圆心O，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
故选C．
8 .如图，抛物线与x轴交于点和B，下列结论：
① ；②；③；④．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
答案：B
解析：解：由图像知，开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴在y轴右侧
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，，
∴，故②正确；
∵抛物线与x轴交于点，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵抛物线与x轴交于点，对称轴，
∴点B的横坐标小于3，
∴，故④正确；
故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. . 若，则___________．
答案：
解析：解：，
，
，
故答案为：．
10．已知一个扇形的弧长为，圆心角是150°，则它的半径长为 ，扇形的面积为 ．
答案：
解析：设扇形的半径为r㎝,据弧长公式得：，解得r=6；
扇形的面积为：（㎝2）．
故答案为：、．
11．关于 x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为 ．
答案：4
解析：解：∵关于 x 的一元二次方程有一根为，
∴，
解得，
故答案为：4．
12．如图，中，，于D，，，则的长为 ．
答案：2
解析：解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：（负值舍去），
故答案为：2．
13 .如图，A，B、C三点都在上，，过点A作的切线与的延长线交于点P，
则的度数是_________．
答案：##20度
解析：连接
∵
∴
∵过点A作的切线与的延长线交于点P
∴
∴
故答案为：
如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，
托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD=8cm，∠CDE=60°，
则点C到底座DE的距离为 cm（结果保留根号）．
答案：
解析：如图，过点C作CM⊥DE，点C到底座DE的距离为CM
∵CD=8cm，∠CDE=60°，
∴CM=8sin60°=8×=4
故答案为：4．
15 .平面直角坐标系中，已知抛物线与直线如图所示，
有下面四个推断：
①二次函数有最大值；
②抛物线C关于直线对称；
③关于x的方程的两个实数根为，；
④若过动点垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点和，
则当时，m的取值范围是．
其中所有正确推断的序号是 ．
答案：①③/③①
解析：解：∵二次函数的图象的开口向下，
∴二次函数有最大值，故①正确；
观察函数图象可知二次函数的图象的对称轴在和之间，不是关于直线对称，故②错误；
观察函数图象可知和的交点横坐标为：和，
方程的两个实数根为，，故③正确；
当或时，直线在抛物线的上方，
∴m的取值范围为：或，故④错误．
故答案为：①③．
如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，
连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，
连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于 ．
答案：
解析：解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：
四边形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5， CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
∴NC=MD=8-5=3，
在中，
∴MF=5-4=1，
在中，设EF=x，则ME=3-x，
由勾股定理得， ，
解得：，
∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG，
又∵∠FGP=∠CNF=90°
∴，
∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，
设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，
四边形ABNM是正方形，

∴GN=PH=BH=4-3m，HN=5-（4-3m）=1+3m=PG=4m，
解得：m=1，
∴PF=5m=5，
∴PE=PF+FE=，
故答案为：．
三、解答题（本题有10个题，共68分）
17. 计算：．
答案：
解析：解：
．
18. 已知：如图，在中，D为边的中点，连接，，，求的长．
答案：
解析：解：∵D为边的中点，，
∴，
∵，，
∴
∴，即，
解得：（负值舍去），
19 .如图，在中，，平分交边于点D，于点E，
若，，求的长．
答案：6
解析：解：∵，，，
∴在中，，
在中，根据勾股定理可得：，
∵平分， ，，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，根据勾股定理可得：
要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，
使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，
水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
答案：水管长为2.25m．
解析：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0）求得：a＝．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y＝（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
令x＝0，则y＝＝2.25．
故水管长为2.25m．
21 .某中学决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，
促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？
（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，
并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有_______名学生参与了本次问卷调查；
(2)“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，
请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
答案：(1)
(2)
(3)小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为
解析：（1）解：（人）
故答案为：．
（2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是，
故答案为：．
（3）把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A、B、C
共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
22. 教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，
某学校组织了一次测量探究活动．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，
小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，
沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，
已知山坡的坡度，米，米．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据，，）
(1)求点B距水平地面的高度；
(2)若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．
答案：(1)点B距水平地面的高度为5米
(2)该公司的广告牌不符合要求，理由见解析
解析：（1）解：过点B作于点M，
由题意可知，，
设米，米，
则米
∴，解得，
∴米，米，
即点B距水平地面的高度为5米．
（2）解：作于点N，
∵，，
∴四边形是矩形．
∴米，米．
在中，，
∴米，米，
在中，，米，
∴米
∴米
∵，
∴该公司的广告牌不符合要求．
23. 如图，内接于，是的直径，，垂足为D．
（1）求证：；
（2）已知的半径为5，，求长．
答案：（1）见解析 （2）8
小问1解析：
证明：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∴；
小问2解析：
∵是的直径，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴．
24．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中．
(1)求的值；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点在轴上，且的面积为16，求点的坐标．
答案：(1)，；
(2)或；
(3)或．
解析：（1）解：将代入，得，
解得，
将代入，得，
解得，
，；
（2）解：由反比例函数图象的对称性可得点的坐标为，
由图象可得：不等式的解集为或；
（3）解：由反比例函数图像的中心对称性知点，
设，则，
解得，
或．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，
与y轴交于点C，点D为的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
答案：(1)
(2)
(3)面积的最大值为2
解析：（1）解：把代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴，
∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，
∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 直线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点G的坐标为：；
（3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴当面积最大时，面积最大，
设，则，
，
，
∴当时，面积取最大值4，
∴面积的最大值为．
26. （1）问题呈现】
如图1，和都是等边三角形，连接，．易知_________．
（2）类比探究】
如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则_________．
（3）拓展提升】
如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．
①求的值；
②延长交于点，交于点．求的值．
答案：（1）1；（2）；（3）①；②
解析：解：（1）∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
（2）∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）①，
，
，
，
，，
，
，
；
②由（1）得：，
，
，
，
.