18.1.5 三角形的中位线 人教版数学八年级下册教学设计

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人教版初中数学八年级下册18.1.5 三角形的中位线 教学设计一、教学目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 二、教学重、难点：重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线.难点：中位线定理的应用.三、教学过程：问题引入问题：A、B两地被池塘隔开，如何测量A、B两地的距离呢？你能用学过的知识来解决吗？ 还有别的方法吗？知识精讲你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？ 猜想：增加的线段与它所对的边有什么关系？【归纳】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？探究：观察上图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？猜想：DE∥BC，且DE=BC.定理证明如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且DE=BC.证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.∵ AE=EC，DE=EF∴ 四边形ADCF是平行四边形∴ CF∥DA，CF=DA ∴ CF∥BD，CF=BD ∴ 四边形DBCF是平行四边形∴ DF∥BC，DF=BC 又∵ DE=DF∴ DE∥BC，且DE=BC你还有其它证法吗？证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC.∵ AE=CE，∠AED=∠CEF∴ △ADE≌△CFE (SAS)∴ AD=CF，∠ADE=∠F∴ AD∥CF∴ BD∥CF，BD=CF ∴ 四边形BCFD是平行四边形∴ DF∥BC，DF=BC 又∵ DE=DF∴ DE∥BC，且DE=BC【归纳】三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.几何符号语言：∵ DE是△ABC的中位线∴ DE∥BC，且DE=BC.学以致用：问题：A、B两地被池塘隔开，如何测量A、B两地的距离呢？你能用学过的知识来解决吗？解:分别取OA，OB的中点E，F，连接EF，测量出EF的距离，然后根据三角形的中位线定理可知AB=2EF.典例解析例1.如图，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D.若BC＝4，求CD的长．解：∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线．∴MN＝12BC＝2，MN∥BC.∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE.∵点E是CN的中点，∴NE＝CE.∴△MNE≌△DCE(AAS)．∴CD＝MN＝2.【针对练习】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=12AB，PN=12DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°，∴∠PMN=(180°−130°)÷ 2 =25°．例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.证明：取AC的中点F，连接BF.∵BD＝AB，∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.∵E为AB的中点，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE.例3.如图，D、E是△ABC边AB，AC的中点，O是△ABC内一动点，F、G是OB，OC的中点．判断四边形DEGF的形状，并证明．解：四边形DEGF是平行四边形．理由如下：∵D、E是△ABC边AB，AC的中点，∴DE＝12BC，DE∥BC.∵F、G是OB，OC的中点，∴FG＝12BC，FG∥BC.∴DE＝FG，DE∥FG.∴四边形DEGF是平行四边形．例4.如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.证明:连接BD.∵E、H分别是AB，AD的中点∴EH//BD，EH=12BD同理FG//BD，FG=12BD∴EH//FG，EH=FG∴四边形EFGH是平行四边形.【针对练习】如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.证明：如图，连接BD.∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，∴EH是△ABD的中位线， FG是△BCD的中位线，∴EH∥BD且EH=12BD， FG∥BD且FG=12BD，∴EH∥FG且EH=FG，∴四边形EFGH为平行四边形.例5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使得AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE相交于点O.求证：AF与DE互相平分；如果AB＝6，BC＝10，求DO的长．（1）证明：∵点E，F分别是BC，AC的中点，∴EF∥AB，AB＝2EF.∵AB＝2AD，点D是BA延长线上的一点，∴AD＝EF，AD∥EF.∴四边形ADFE是平行四边形．∴AF与DE互相平分．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC＝102-62＝8.∵EF∥AD，∴∠EFO＝180°－∠BAC＝90°.∵EF＝12AB＝3，OA＝OF＝14AC＝2，∴在Rt△OEF中，OE＝EF2+OF2＝13.∴DO＝OE＝13.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测1.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC=6，则DE的长为( )A.2 B.3 C.4 D.62.如图，在□ABCD中， 对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，若OE=2cm,则CD的长为( )A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm3.如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( )A.线段EF的长逐渐增长 B.线段EF的长逐渐减少C.线段EF的长不变 D.线段EF的长不能确定4.如图，已知△ABC的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，依次类推，第2000个三角形的周长是( )A.11998 B.11999 C.121998 D. 1219995.如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，且AB=11cm、BC=8cm、 AC =6cm.则: DE=____cm，DF=____cm,EF=____cm,△DEF的周长是_____cm.6.如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=10cm， AC=6cm， 则四边形ADEF的周长为_____cm.7.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O,点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_______.8.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．9.如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．10.如图，在△ABC中，M是BC的中点，AN⊥BN于N点，AN平分∠BAC， 且AB=12， AC=16， 求MN的长.【参考答案】BBCD3，4,5.5,12.516158.解：∵ □ABCD的周长为36，∴BC+CD=18．∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=12CD，∴OE=12BC，∴△DOE的周长为OD+OE+DE=12(BD+BC+CD)=15，即△DOE的周长为15．9.（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥ BC，DE=12BC.∵CF=12BC，∴DE=FC；（2）解：∵DE∥FC，DE=FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴EF=DC= 3 ．10.解:延长BN交AC于D.∵AN⊥BN∴∠BNA=∠DNA=90°∵∠BAN=∠DAN，AN=AN∴△ABN≌△ADN (ASA)∴AB=AD=12，BN=DN又∵M是BC的中点∴MN是△BCD的中位线，且CD=AC-AD=16-12=4∴MN=12CD=2四、教学反思：本节课，通过做一做引出三角形的中位线，又从动画演示和理论上进行了验证中位线的性质定理.在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机.对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.