2024饶平县二中高一下学期期初检测试题数学含解析

这是一份2024饶平县二中高一下学期期初检测试题数学含解析，共19页。试卷主要包含了02， 已知集合则， 以下四个命题中，是假命题的是， 已知，则的值为， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
2024.02
试卷共4页，卷面满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 以下四个命题中，是假命题的是（ ）
A. 若，且为锐角，则
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 若命题：，，则的否定为：，
D. 若，则
4. 函数图象的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知实数，则函数零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ）．
A. B. 10C. D.
8. 已知是定义在上奇函数，且，若，，则实数的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 为偶函数B. 最小正周期为，在区间单调递减
C. 最大值为2D. 图象关于直线对称
10. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A B.
C D.
11. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：；，当时，都有；.则下列选项成立的是（ ）
A
B. 若，则
C. 若，则
D. ，，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数是定义在上的偶函数，并且当时，，那么__________.
13. 当______（填入恰当的数）时，函数在上递增．
14. 在中，已知边上的高等于，当角时，_____；当角时，的最大值为_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求以下式子的值
（1）；
（2）
16. （1）已知角终边上有一点的坐标是，其中，求的值．
（2）证明恒等式：．
17. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额－成本）
（1）求2023年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
18. 已知函数（其中），将其图象上所有的点向左平移个单位长度得到的新函数图象关于原点对称．
（1）求所有可能取值组成的集合；
（2）若函数在单调递减，求在的值域．
19. 对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称为“不友好”的．
（1）若，，则与在区间上是否“友好”；
（2）现在有两个函数与，给定区间．
①若与在区间上都有意义，求的取值范围；
②讨论函数与与在区间上是否“友好”．
2023-2024学年度饶平二中第二学期高一级期初考试
数学
2024.02
试卷共4页，卷面满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，解一个一元二次不等式和一个一元一次不等式即得集合，再利用集合的交集定义即得.
【详解】由集合中不等式可解得：，即,
由集合中函数有意义，可得：，，即，
则.
故选：D
2. 下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据解析式可直接判断出单调性和奇偶性.
【详解】对于A：为奇函数且在上单调递增，满足题意；
对于B：为非奇非偶函数，不合题意；
对于C：为非奇非偶函数，不合题意；
对于D：在整个定义域内不具有单调性，不合题意.
故选：A.
3. 以下四个命题中，是假命题的是（ ）
A. 若，且为锐角，则
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 若命题：，，则的否定为：，
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】由同角三角函数的关系验证选项A；根据包含关系结合充分条件必要条件的定义判断选项B；由特称命题的否定判断选项C；由不等式的性质判断选项D.
【详解】对于选项A：若，则，
由为锐角，，解得，故A选项为真命题；
对于选项B：因为是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为真命题；
对于选项C：由特称命题的否定可知：的否定为：，，故C选项为真命题；
对于选项D：若，则，，故D选项为假命题.
故选：D.
4. 函数图象的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合指数函数单调性以及特殊点即可判断.
【详解】由题意，
所以当时，单调递增，且，
当时，单调递减，且，
且当从左边趋于0时，趋于，当从右边趋于0时，趋于1.
故选：A
5. 已知实数，则函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用零点存在定理即可判断出函数的零点所在的区间.
【详解】实数，在定义域上递增，
则，
，
，
，
，
则，
则函数在内必有零点.
故选：B
6. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式化简得，再利用齐次式代入求值即可.
【详解】因为，所以得
则
故选：C
7. 对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ）．
A. B. 10C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由勾股定理得，再利用基本不等式易得，由此得到，问题得解.
【详解】不妨设该直角三角形的斜边为，直角边为，则，
因为，所以，即，
当且仅当且，即时，等号成立，
因为，所以，
所以该直角三角形周长，即这个直角三角形周长的最大值为.
故选：C.
8. 已知是定义在上的奇函数，且，若，，则实数的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用所给条件求出的最小正周期，再转化到给定的函数值求范围即可.
【详解】由，是定义在上的奇函数，可得，
故的最小正周期为4，且已知，
故，，，已知，
则，解得.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 为偶函数B. 最小正周期为，在区间单调递减
C. 最大值为2D. 图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】先由，再利用函数的奇偶性定义判断.
【详解】解：因为的定义域为，
又，
且，
所以为偶函数，故A正确,
的最大值为，故C错误；
当时，，故的图象关于对称，故D正确.
的最小正周期为，且当时，，
结合余弦函数的单调性可得在上为减函数，故B正确，
故选：ABD.
10. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】对进行分、和讨论即可.
【详解】当时，此时解集为；
当时，此时解集为；
当时，此时解集为；
故选：CD.
11. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：；，当时，都有；.则下列选项成立的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. ，，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的单调性，奇偶性以及最值的应用，对每个选项进行注意判断，即可选择.
【详解】因为函数定义在上的函数，
所以由：，得函数为偶函数．
又因为由知：，，当时，都有，所以函数在上单调递减．
对：因为函数为偶函数，所以，
而函数在上单调递减，因此，即，故正确；
对：因为定义在上的偶函数在上单调递减且连续，且，
所以，解得或，故错误；
对：因为，函数为偶函数，所以．
因为函数为偶函数，在单调递减，
当时，令，解得；当时，令，解得，
所以由，得或，故正确；
对：由知：是函数最大值，
因此，，使得，故正确.
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数是定义在上的偶函数，并且当时，，那么__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合对数的运算，以及，即可求解.
【详解】由函数是定义在上的偶函数，且时，，
又由.
故答案为：.
13. 当______（填入恰当数）时，函数在上递增．
【答案】1（答案不唯一，只需即可）
【解析】
【分析】由题意可知：的单调递增区间为，结合单调性分析求解.
【详解】因为的单调递增区间为，
若函数在上递增，
则，可取.
故答案为：1（答案不唯一，只需即可）.
14. 在中，已知边上的高等于，当角时，_____；当角时，的最大值为_____________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】第一空：由锐角三角函数结合两角和的正切公式即可得解；第二空：注意到，结合基本不等式得，由此即可进一步得到，注意取等条件是否成立.
【详解】设为边上的高，所以，
如图所示：
又因为，所以，又，
所以，，，
所以；
因为，，又，
所以垂足落在线段上，故都是锐角，所以均大于0，
因为
，
即，等号成立当且仅当，
所以；
所以，
因为，所以，所以当且仅当时，有.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：第二空的关键是发现，由此结合基本不等式以及两角和的正切公式即可得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求以下式子的值
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指、对数运算求解即可；
（2）根据两角和差公式运算求解即可.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
16. （1）已知角终边上有一点的坐标是，其中，求的值．
（2）证明恒等式：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据角终边上的点坐标求、，进而求即可；
（2）利用二倍角正余弦公式、同角的弦切关系，即可证恒等式.
【详解】（1）当时，点到原点的距离为，
由三角比的定义得：，，
∴；
（2）证明：．
17. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额－成本）
（1）求2023年利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）
（2）100百辆，最大利润为1800万元．
【解析】
【分析】（1）根据给定的函数表达式结合利润的求法即可得到函数关系；
（2）分和,再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较即可.
【小问1详解】
∵
∴当时，，
当时，．
故
【小问2详解】
由（1）得
当时，，
∴；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故．
∵，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．
18. 已知函数（其中），将其图象上所有的点向左平移个单位长度得到的新函数图象关于原点对称．
（1）求所有可能取值组成的集合；
（2）若函数在单调递减，求在的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变化得，进一步得是奇函数，由此得，结合即可得解.
（2）由复合函数单调性得，且，结合得，进一步得函数，结合余弦函数有界性分析求解.
【小问1详解】
由题意，
将其图象上所有的点向左平移个单位长度得到的新函数解析式为
，
由题意是奇函数，则，解得，
且，所以所有可能取值组成的集合为.
【小问2详解】
由（1）可知：或，
而时，有，且关于单调递增，
若函数在上关于单调递减，
由复合函数单调性可知或在上单调递减，
可得，且，即，解得，
又因为，则，所以，
因为，则，可得 ，
所以在的值域为．
19. 对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称为“不友好”的．
（1）若，，则与在区间上是否“友好”；
（2）现在有两个函数与，给定区间．
①若与在区间上都有意义，求的取值范围；
②讨论函数与与在区间上是否“友好”．
【答案】（1）与在区间上是“友好”的
（2）①；②答案见解析
【解析】
【分析】（1）按照定义，只需判断在区间上是否恒成立；
（2）①由题意解不等式组即可；②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”的，即，即，只需求出函数在区间上的最值，解不等式组即可.
【小问1详解】
由题意可得：，
因为时，则，可知恒成立，
故与在区间上是“友好”的.
【小问2详解】
①与在区间上都有意义，
可得，解得，
且且，所以的取值范围为；
②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”的，
则，即，
因为，则，，所以在的右侧，
可知在上为减函数，在上为增函数，
由复合函数的单调性可得在区间上为减函数，
从而，，
所以，解得，
所以当时，与与在区间上是“友好”的；
当时，与与在区间上是“不友好”的.