2024省哈尔滨师大附中高一下学期开学考试数学含解析

这是一份2024省哈尔滨师大附中高一下学期开学考试数学含解析，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A B. C. D. 120
4. 已知函数，则函数减区间是（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数的图象大致是（ ）
A B. C. D.
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知实数，且，则的最小值是（ ）
A. 21B. 25C. 29D. 33
8. 已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. ，
10. 已知函数在区间上单调，且，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在，使得是偶函数B.
C. 为奇数D. 最大值为7
11. 已知函数满足对任意的都有，，若函数的图象关于点对称，且对任意的，，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 的图象关于直线对称
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 将函数的图像向左平移个单位后得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是______.
13. （1）______.
（2）若，且，，则______.
14. 对于给定的区间，如果存在一个正的常数，使得都有，且对恒成立，那么称函数为上的“成功函数”.已知函数，若函数是上的“4成功函数”，则实数的取值范围是______.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且.
（1）求的值；
（2）若点的横坐标为，求的值.
16. 已知函数 .
（1）求函数的最小正周期和对称中心；
（2）设是锐角，且，求 的值.
17. 某医院发热门诊改造，如图，原发热门诊是区域，可利用部分为扇形区域，，米，米，区域为三角形，区域为以为半径的扇形，且.
（1）若需在区域外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度;
（2）在区域中，设置矩形区域作为便民门诊，求便民门诊面积最大值.
18. 已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若存在两不相等的实数a，b，使，且，求实数m的取值范围.
19. 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.
（1）设复数，，求、的三角形式；
（2）设复数，，其中，求；
（3）在中，已知、、为三个内角对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①；
②，，.
注意：使用复数以外的方法证明不给分.
哈师大附中2023级高一下学期开学考试数学试卷
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合中元素范围，再求交集即可.
【详解】，，
则.
故选：C.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得的范围，依据小范围推出大范围的原则判定充分必要条件.
【详解】由，解得或，
故由能够推出；由不能够推出，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
3. 《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A. B. C. D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据求出扇形圆心角.
【详解】因为直径16步，故半径为步，
（平方步），
设扇形的圆心角为，则，
即．
故选：A
4. 已知函数，则函数的减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数单调性的规则来解答.
【详解】因为函数在定义域上单调递减，
故函数的减区间即为函数的增区间，
所以，解得，
即函数的减区间是.
故选：D.
5. 函数的图象大致是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求函数定义域得，再根据定义域分，，三种情况分别讨论即可得答案.
【详解】解：函数的定义域为：，
当时，函数，故排除CD选项；
当时，，故函数，故排除B选项；
当时，函数，该函数图象可以看成将函数的图象向右平移一个单位得到.
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小.
【详解】因为，，，
所以．
故选：A
7. 已知实数，且，则的最小值是（ ）
A. 21B. 25C. 29D. 33
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】∵，等式恒成立，
∴，
由于，所以
∵，
当且仅当时，即时取等号．
∴，∴，故的最小值为21．
故选：A
8. 已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得函数的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果.
【详解】由题意知函数的最小正周期，则，得，.
将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
要使该图象关于原点对称，则，，所以，，
又，所以当时，取得最大值，最大值为．
故选：A
【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. ，
【答案】AD
【解析】
【分析】先通过最高点和周期求出，再代入点求出，则函数的解析可求出，然后逐一计算判断选项即可.
【详解】对于A，由已知，
得，A正确，
对于C，所以，
又，且，解得，C错误，
对于B，所以，
所以 ，B错误
对于D，
，D正确.
故选：AD.
10. 已知函数在区间上单调，且，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在，使得是偶函数B.
C. 为奇数D. 最大值为7
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A：通过求出来判断；对于B：通过为的对称轴来判断；对于C：通过和分别求出，进而可得；对于D：将和代入函数，确定在的单调性即可判断.
【详解】对于A：若是偶函数，则，得，又，所以无解，A错误；
对于B：因为，所以为的对称轴，所以，B正确；
对于C： 因为，可得，解得，
又恒成立，即，可得，解得，
所以，得，C正确；
对于D，当时，，此时，
当时，，函数在上不单调，
即当时，函数在区间上不是单调函数，D错误.
故选：BC.
11. 已知函数满足对任意的都有，，若函数的图象关于点对称，且对任意的，，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 的图象关于直线对称
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A选项：根据函数的图象关于点对称,则函数的图象关于点对称，即可判断；
对于B选项：由A选项可知函数为奇函数，可推得，即可判断图象关于直线对称；
对于C选项：由可推出函数是周期为4的周期函数，结合函数奇偶性可推得，，即可判断C；
对于D选项： 由可得，推出函数在区间上单调递增，结合函数性质求得，，即可得.
【详解】A选项：由函数的图象关于点对称，
可得函数的图象关于点对称，所以函数为奇函数，故A不正确.
B选项：由函数为奇函数可得，
故函数的图象关于直线对称，故B正确.
C选项：由函数满足对任意的都有，
可得，所以函数是周期为4的周期函数.
因为为奇函数，所以，由得，
故，则，
，
所以，故C正确.
D选项：由对任意，，都有，
即对任意的，，都有，
可得函数在区间上单调递增.
因为，
，且，所以，即,故D正确，
故选：.
【点睛】方法点睛：对于此类关于函数图象的对称问题，要理解并能应用以下常见结论：
（1）对于函数，若其图象关于直线对称（当时，偶函数），则①；②；③.
（2）对于函数，若其图象关于点对称（当时，为奇函数），则①；②；③.
（3）对于函数，若其图象关于点对称，则①；②；③.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 将函数的图像向左平移个单位后得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】求得平移后的函数解析式，然后根据对称性求得的取值范围，进而求得的最小值.
【详解】函数的图像向左平移个单位后，
得到，其图像关于轴对称，
所以，
由于，所以的最小值为.
故答案为：
13. （1）______.
（2）若，且，，则______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）通分，利用倍角公式以及利用展开化简计算即可；
（2）先通过角的范围求出，，再利用展开计算即可.
【详解】（1）
;
（2）因为，所以，
又，所以，则，
因为，，所以，
又，所以，
所以，
因为，，
所以，
所以
，
所以.
14. 对于给定的区间，如果存在一个正的常数，使得都有，且对恒成立，那么称函数为上的“成功函数”.已知函数，若函数是上的“4成功函数”，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】方法一：先分析出为偶函数，为奇函数，所以为偶函数，且在R上单调递增，分，与三种情况，结合函数的单调性和对称性，得到实数的取值范围；
方法二：先得到在R上单调递增，进而得到，变形后得到在上恒成立，分和两种情况，结合函数单调性得到答案.
【详解】方法一：设，则定义域为R，
且，故为偶函数，
所以为偶函数，
定义域为R，
且
故为奇函数，
且在上单调递增，
故在R上单调递增，
若，则画出的图象如下：
即在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，
在上单调递增，
因为为偶函数，所以有在上恒成立，
满足4成功函数，
若，画出的图象如下：
则在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，
所以只需任取，使得，
由对称性可知，存在，使得，且，
故满足，故满足在上为4成功函数，
若时，画出的图象如下：
则在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，
故只需满足任取，使得，
由对称性可知：存在，使得，
所以要满足，结合，解得：，
综上：实数的取值范围是.
方法二：定义域为R，
且
故为奇函数，
由于在上单调递增，
故在R上单调递增，
由题意得，即，
故，即在上恒成立，
当时，，
由于，故，
当时，恒成立，
当时，，故，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：复合函数的单调性，先考虑函数的定义域，再拆分为内层函数和外层函数，利用同增异减来判断复合函数的单调性；
复合函数的奇偶性，先考虑函数定义域是否关于原点对称，再拆分为内层函数和外层函数，利用“内偶则偶，内奇同外”进行判断，即若内层函数为偶函数，则复合函数为偶函数，若内层函数为奇函数，则复合函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，若外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数，若外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且.
（1）求的值；
（2）若点横坐标为，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)根据给定条件可得，再利用诱导公式化简计算作答.
(2)由给定条件求出，再利用和角公式、倍角公式计算作答.
【小问1详解】
依题意，，所以.
【小问2详解】
因点的横坐标为，而点在第一象限，则点，即有，
于是得，，
，，
所以.
16. 已知函数 .
（1）求函数的最小正周期和对称中心；
（2）设是锐角，且，求 的值.
【答案】（1），对称中心为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式，结合正弦二倍角公式、余弦型函数的对称性和周期进行求解即可；
（2）根据特殊角的正弦和余弦值进行求解即可.
【小问1详解】
，
所以函数的最小正周期为，
令，
所以函数的对称中心为；
【小问2详解】
因为是锐角，所以，
所以由，
.
17. 某医院发热门诊改造，如图，原发热门诊是区域，可利用部分为扇形区域，，米，米，区域为三角形，区域为以为半径的扇形，且.
（1）若需在区域外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度;
（2）在区域中，设置矩形区域作为便民门诊，求便民门诊面积最大值.
【答案】（1）（米）
（2）（平方米）
【解析】
【分析】（1）根据已知求得，再利用弧长公式求出弧的长即可求解；
（2）连接，设，结合已知条件分别求出的值，表示出矩形的面积，化简后利用正弦函数的性质即可求出最大值.
【小问1详解】
因为，，，
所以，
则，
所以弧的长为，
所以隔离带的总长度为（米）.
【小问2详解】
连接，如图:
设，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以
，
因为，
所以，
当即时取得最大值.
所以便民门诊面积最大值为（平方米）.
18. 已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若存在两不相等的实数a，b，使，且，求实数m的取值范围.
【答案】（1）奇函数，理由见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求得函数定义域，结合函数奇偶性的定义，即可判断和证明；
（2）根据得到关系；再根据不等式有界，构造函数，转化为函数的最值问题即可求得结果.
【小问1详解】
，解得，
的定义域为，其定义域关于原点对称.
又，
故为定义域内的奇函数.
【小问2详解】
函数都是上的减函数，
是定义域内减函数.
，且为定义在的奇函数，
且，
原问题等价于不等式在有解，
而，
令，则，
令，可知，则，
构造函数
根据对勾函数的单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，
由，可得，所以，
所以在上有解，
注意到当时，，因此在有解.
取，则，从而.
因此在上有解.
根据对勾函数的性质，可知函数在上单调递增，
所以，
所以，即
【点睛】本题考查指数函数和对数函数的性质，其中第二问中，处理不等式有解问题，往往要使用分离参数的手段，转化为函数最值的问题；本题中多次使用对勾函数的单调性，并进行了多次换元，对学生处理问题的能力提出了较高的要求，属综合中档题.
19. 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.
（1）设复数，，求、的三角形式；
（2）设复数，，其中，求；
（3）在中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①；
②，，.
注意：使用复数以外的方法证明不给分.
【答案】（1），
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用复数的乘除法计算即可；
（2）设，的模为，的模为，，通过题意可得，发现，从而无意义，再根据角的范围求解即可；
（3）建立平面直角坐标系，根据，利用复数的向量表示，以及复数的定义列式计算即可.
【小问1详解】
,
；
【小问2详解】
设，的模为，的模为，，
对于有，，
对于有，，
所以，
所以，
，
所以无意义，即的角的终边在轴上，
又，
所以，
即
【小问3详解】
如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作的平行线，过作的平行线，交于点，则，
所以，
即，
即
根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得，
所以，，
同理，，
，，
所以，，，.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.