专题26.3 反比例函数中的存在性问题专项训练（30道）-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（人教版）

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考卷信息：
本套训练卷共30题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数中的存在性问题的理解！
一．解答题（共30小题）
1．（2022春•张家川县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=4x（x＞0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与x轴相交于N点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得S△ONP＝3S△AOB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；
（2）将△AOB的面积转化为S△AON﹣S△BON的面积即可；
（3）设P（m，﹣2m+6），根据S△ONP＝3S△AOB，列出m方程进行解答便可．
【解答】解：（1）∵点A 在反比例函数y=4x上，
∴4m=4，解得m＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
又∵点B也在反比例函数y=4x上，
∴42=n，解得n＝2，
∴点B的坐标为（2，2），
又∵点A、B在y＝kx+b的图象上，
∴k+b=42k+b=2，
解得k=−2b=6，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+6．
（2）直线y＝﹣2x+6与x轴的交点为N，
∴点N的坐标为（3，0），
∴S△AOB＝S△AON﹣S△BON=12×3×4−12×3×2＝3；
（3）令y＝0，得y＝﹣2x+6＝0，
解得x＝3，
∴N（3，0），
∴ON＝3，
设P（m，﹣2m+6），
∵S△ONP＝3S△AOB，
∴12×3|−2m+6|=3×3，
解得m＝0或6，
∴P（0，6）或（6，﹣6）．
2．（2022•山西模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点C，D，与反比例函数y2=mx（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（2，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）若x轴上存在一点P，使△ABP的面积为6，求点P的坐标．
【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；
（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为6得到关于a的方程，解之即可．
【解答】解：（1）由题意可得：
点B（2，﹣2）在反比例函数y2=mx（m≠0）的图象上，
∴m＝2×（﹣2）＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y2=−4x，
将A（﹣1，n）代入y2=−4x，得：n=−4−1=4，
∴A（﹣1，4），
将A，B代入一次函数解析式中，得2k+b=−2−k+b=4，
解得：k=−2b=2，
∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+2；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+2，令y＝0，则x＝1，
∴直线AB与x轴交于点（1，0），
由△ABP的面积为6，可得：12（yA﹣yB）•|a﹣1|＝6，即12×6⋅|a﹣1|＝6，
解得：a＝﹣1或a＝3，
∴点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）．
3．（2022春•侯马市期末）如图，直线y=−32x﹣2分别交x轴、y轴于A、B两点，与双曲线y=mx（m≠0）在第二象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD＝4．
（1）求双曲线的解析式；
（2）设点Q是双曲线上的一点，且△QOB的面积是△AOB的面积的2倍，求点Q的坐标；
（3）在y轴上存在点P，使PA+PC最短，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）把x＝﹣4代入可求出点C的坐标，再代入反比例函数关系式可确定k的值，进而确定反比例函数关系式；
（2）根据直线的关系式可求出与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形AOB的面积，得到三角形BOQ的面积后设点Q的坐标，由三角形的面积公式列方程求解即可；
（3）求出点A关于y轴对称的点A′的坐标，求出直线CA′与y轴的交点坐标即可．
【解答】解：（1）CD＝4，即点C的横坐标为﹣4，
当x＝﹣4时，y=−32×（﹣4）﹣2＝4，
∴点C（﹣4，4），
又∵点C（﹣4，4）在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝﹣4×4＝﹣16，
∴反比例函数的关系式为y=−16x；
（2）∵直线y=−32x﹣2分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（−43，0），点B（0，﹣2），
即OA=43，OB＝2，
∴S△AOB=12×43×2=43，
设Q（x，−16x），
由于△QOB的面积是△AOB的面积的2倍，
∴△QOB的面积为43×2=83，
即12OB×|x|=83，
解得x=±83，
当x=83时，y＝﹣16×38=−6，
当x=−83时，y＝﹣16×（−38）＝6，
∴点Q（83，﹣6）或（−83，6）；
（3）点A（−43，0）关于y轴的对称点A′（43，0），
设直线CA′的关系式为y＝kx+b，则
−4k+b=443k+b=0，
解得k=−34b=1，
∴直线CA′的关系式为y=−34x+1，
当x＝0时，y＝1，
即直线y=−34x+1与y的交点坐标为P（0，1），
此时，点P（0，1）使PA+PC最小．
4．（2022春•惠山区期末）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2=kx的图象相交于A（1，6），B（6，1）两点．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＞y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 1＜x＜6或x＜0 ；
（3）在平面内存在点P，使得点A、点B关于点P成中心对称的点恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标为 （12，12）或（3，3） ．
【分析】（1）将A（1，6），B（6，1）两点代入y＝ax+b，解方程组即可；
（2）观察图象即可得出答案；
（3）根据题意，AB∥A′B′，AB＝A′B′，据此求得B′（0，5）或（0，﹣5），然后利用中点公式即可求得．
【解答】解：（1）将A（1，6），B（6，1）两点代入y＝ax+b，得：a+b=66a+b=1，
解得：a=−1b=7，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+7，
将A（1，6）代入反比例函数y=kx得：k＝6，
∴反比例函数的解析式为：y=6x；
（2）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：1＜x＜6或x＜0；
故答案为：1＜x＜6或x＜0；
（3）设A、B关于点P成中心对称的点为A′、B′，则直线A′B′∥AB，A、B、A′、B′四点构成平行四边形，
∴直线A′B′的解析式为y＝﹣x±5，
∴B′（0，5）或（0，﹣5），
∵A（1，6），B（6，1），
∴P（12，12）或（3，3），
故答案为（12，12）或（3，3）．
5．（2022•柳南区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y=kx(x＞0)的图象交于点A（1，n）和点B（3，1），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数的表达式及一次函数解析式；
（2）双曲线上是否存在一点P，使点P到原点的距离最小，如果存在，求出P点坐标，并求出最小距离．如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点B（3，1）代入y=kx(x＞0)即可求得k，把A（1，n）代入反比例函数的解析式即可求得n，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）解方程组y=xy=3x即可求得．
【解答】解：（1）∵直线AB与反比例函数y=kx(x＞0)的图象交于点A（1，n）和点B（3，1），
∴把点B（3，1）代入y=kx(x＞0)得，1=k3，
∴k＝3，
∴反比例函数的表达式为y=3x，
把A（1，n）代入y=3x得，n=31=3，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴k+b=33k+b=1，
解得：k=−1b=4，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x+4；
（2）存在，
当P点中心直线y＝x上时，点P到原点的距离最小，
解y=xy=3x得x=3y=3或x=−3y=−3，
∴P的坐标为（3，3）．
6．（2022•呼和浩特一模）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，2）点B（﹣4，n）．
（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；
（2）如图所示，请直接写出不等式k1x+b≥k2x的解集；
（3）在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，然后再把点B的坐标代入反比例函数求出n的值，从而求出点B的坐标，再把点A、B的坐标代入一次函数表达式，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据两函数的交点坐标可得答案；
（3）作点B关于x轴的对称点C，连接AC，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，设直线AC的表达式为y＝ax+c，根据待定系数法求得解析式，令y＝0，即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，2）在反比例函数图象上，
∴k2−1=2，
解得k2＝﹣2，
∴反比例函数的解析式是y=−2x，
∵点B（﹣4，n）在反比例函数图象上，
∴n=−2−4=12，
∴点B的坐标是（﹣4，12），
∵一次函数y＝k1x+b的图象经过点A（﹣1，2）、点B（﹣4，12）．
∴−k1+b=2−4k1+b=12
解得k1=12b=52．
∴一次函数解析式是y=12x+52；
（2）不等式k1x+b≥k2x的解集为：﹣4≤x≤﹣1；
（3）作B点关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于P，则PA+PB＝AC，此时PA+PB最小，即△PAB的周长最小，
∵点C（﹣4，−12）和B关于x轴对称，
∴点C的坐标为（﹣4，−12），
设直线AC的表达式为y＝ax+c，
∴−a+c=2−4a+c=−12，
解得：a=56c=176，
∴直线AC的表达式为：y=56x+176，
当y＝0时，则x=−175，
∴P点坐标为（−175，0）．
7．（2022•海淀区校级模拟）一次函数y＝ax﹣1的图象与x轴交于点C（2，0），与反比例函数y=kx（k≠0）的图象的交点为A和B，且点B的横坐标是﹣2，
（1）求反比例函数解析式；
（2）若x轴上存在点D，使得BC＝CD，直接写出点D的坐标．
【分析】（1）把C的坐标代入y＝ax﹣1求得a的值，进而求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据等腰三角形的性质即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax﹣1的图象与x轴交于点C（2，0），
∴2a﹣1＝0，解得a=12，
∴一次函数为y=12x﹣1，
把x＝﹣2代入得，y=12×(−2)−1＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣2），
∵点B在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，
∴k＝﹣2×（﹣2）＝4，
∴反比例函数解析式为y=4x；
（2）∵B（﹣2，﹣2），C（2，0），
∴BC=42+22=25，
∴D（﹣25+2，0）或（25+2，0）．
8．（2022•香洲区校级一模）如图，A（﹣3，0），B（0，﹣4），将线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点B′恰好在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上．
（1）求k值；
（2）反比例函数的图象与线段AB是否存在交点？若存在，请求出交点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，利用旋转的性质证明△AB′D≌△BAO（AAS），即可求得点B′的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求出直线AB的解析式，联立方程即可求得交点坐标．
【解答】解：（1）如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，
则∠ADB′＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ADB′＝∠AOB，∠BAO+∠ABO＝90°，
∵将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AB′，
∴∠BAO+∠B′AD＝90°，AB′＝AB，
∴∠B′AD＝∠ABO，
∴△AB′D≌△BAO（AAS），
∴B′D＝OA＝3，AD＝OB＝4，
∴OD＝AD﹣OA＝4﹣3＝1，
∴B′（1，3），
∴3=k1，
∴k＝3；
（2）设直线AB的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），B（0，﹣4），
∴−3m+n=0n=−4，
解得：m=−43n=−4，
∴直线AB的解析式为y=−43x﹣4，
将y=3x代入y=−43x﹣4，得：3x=−43x﹣4，
∴4x2+12x+9＝0，
解得：x1＝x2=−32，
∴y＝﹣2，
∴反比例函数的图象与线段AB有且只有一个交点，该交点坐标为（−32，﹣2）．
9．（2022秋•绵阳期末）如图，在正方形OABC中，点O为坐标原点，点C（﹣3，0），点A在y轴正半轴上，点E，F分别在BC，CO上，CE＝CF＝2，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点E和F，交y轴于点G，过点E的反比例函数y=mx（m≠0）的图象交AB于点D．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在线段EF上是否存在点P，使S△ADP＝S△APG，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点C（﹣3，0），CE＝CF＝2，可得E（﹣3，2），F（﹣1，0），用待定系数法即得一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1，反比例函数解析式为y=−6x；
（2）在y＝﹣x﹣1中，得G（0，﹣1），在y=−6x中，得D（﹣2，3），设P（t，﹣t﹣1），根据S△ADP＝S△APG有12×2•[3﹣（﹣t﹣1）]=12×4×（﹣t），即可解得P（−43，13）．
【解答】解：（1）∵点C（﹣3，0），
∴正方形OABC边长为3，即OA＝AB＝BC＝CO＝3，
∵CE＝CF＝2，
∴OF＝1，
∴E（﹣3，2），F（﹣1，0），
把E（﹣3，2），F（﹣1，0）代入y＝kx+b得−3k+b=2−k+b=0，
解得k=−1b=−1，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1，
把E（﹣3，2）代入y=mx得2=m−3，
解得m＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y=−6x，
答：反比例函数解析式为y=−6x，一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）存在点P，使S△ADP＝S△APG，
在y＝﹣x﹣1中，令x＝0得y＝﹣1，
∴G（0，﹣1），
∴AG＝4，
在y=−6x中，令y＝3得x＝﹣2，
∴D（﹣2，3），
∴AD＝2，
设P（t，﹣t﹣1），
∵S△ADP＝S△APG，
∴12×2•[3﹣（﹣t﹣1）]=12×4×（﹣t），
解得t=−43，
∴P（−43，13）．
10．（2022秋•会宁县期末）如图，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A、B，与x轴交于点C，S△AOC＝1．
（1）求点A的坐标与反比例函数的表达式．
（2）设直线AB与y轴相交于点D，经过计算可知点B的坐标为（2，﹣3）．若点Q是y轴上一点，是否存在点Q，使得S△AQD＝S△AOB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）求﹣x﹣1≥kx的x的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数的解析式求得C点的坐标，根据三角形的面积求得A的纵坐标，代入直线解析式即可求得坐标，然后根据待定系数法求得即可；
（2）设点Q（0，y），由一次函数y＝﹣x﹣1可知D（0，﹣1），则DQ＝|y+1|，根据题意s△ADQ=12×3×|y+1|=52，解方程求得y的值，即可求得Q的坐标；
（3）观察图象即可求得．
【解答】解：（1）直线AB与x轴的交点C（﹣1，0）．设A（x，y），
∵S△AOC＝1，
∴12×y×1=1，
∴y＝2，
∴A（x，2）将点A代入y＝﹣x﹣1得，x＝﹣3，
∴A（﹣3，2），
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y=−6x；
（2）存在，
∵s△AOB=12×2×1+12×1×3=52，
设点Q（0，y），
由一次函数y＝﹣x﹣1可知D（0，﹣1），
∴s△ADQ=12×3×|y+1|=52，
∴y=23或y=−83，
∴Q(0，23)或(0，−83)；
（3）由图象可知，﹣x﹣1≥kx的x的取值范围是x≤﹣3或0＜x≤2．
11．（2022•永昌县一模）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象相交于点A（1，2），B（a，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC＝4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）把点A（1，2）代入y=mx得到反比例函数的解析式为y=2x；把点A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b得到一次函数的解析式为：y＝x+1；
（2）当y＝0时，得到C（﹣1，0），设P（x，0），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）把点A（1，2）代入y=mx得，2=m1，
∴m＝2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
把B（a，﹣1）代入y=2x得，a＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
把点A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b得k+b=2−2k+b=−1，
解得：k=1b=1，
∴一次函数的解析式为：y＝x+1；
（2）当y＝0时，0＝x+1，
解得：x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（x，0），
∴S△APC=12×|x+1|×2=4，
∴x＝3或x＝﹣5，
∴P（3，0）或（﹣5，0）．
12．（2022•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，−32），作直线AB与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点C，且A是线段BC的中点．
（1）求m的值；
（2）D是线段BC上一动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数的图象于点E，是否存在点D，使△ODE的面积有最大值？若存在，求出最大值及点D的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值；
（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式和二次函数的性质即可求得结论．
【解答】解：（1）∵点A（2，0），B（0，−32），
∴OA＝2，OB=32，
过C作CF⊥x轴于F，
∴∠AOB＝∠AFC＝90°，
∵A是线段BC的中点，
∴AB＝AC，
∵∠BAO＝∠CAF，
∴△AOB≌△AFC（AAS），
∴AF＝AO＝2，CF＝OB=32，
∴OF＝4
∴C（4，32），
∴m＝4×32=6；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把点A（2，0），B（0，−32），代入得2k+b=0b=−32，
解得k=34b=−32，
∴直线AB的解析式为y=34x−32；
∵点D为线段AB上的一个动点，
∴设D（x，34x−32）（0＜x≤4），
∵DE∥y轴，
∴E（x，6x），
∴S△ODE=12x•（6x−34x+32）=−38x2+34x+3=−38（x﹣1）2+278，
∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为278，点D的坐标为（1，−34）．
13．（2022春•沙坪坝区期中）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点A（﹣1，0），B，且OB＝2OA．直线AB与反比例函数y=kx（k≠0，x＜0）的图象交于点C（﹣3，n）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）在该反比例函数图象上存在点D，且D到x轴的距离为2；连接AD，直线CD交x轴于点E，求△ACD的面积．
【分析】（1）先求得点B的坐标，然后根据求得直线AB的解析式，进而求得C的坐标，代入入y=kx中，即可求得反比例函数的解析式；
（2）求得点D的坐标，从而求得直线CD的解析式，进一步求得点E的坐标，然后根据S△ACD＝S△ACE﹣S△ADE求得即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
又∵OB＝2OA＝2，
∴B（0，﹣2），
将A（﹣1，0），B（0，﹣2）分别代入y＝ax+b中，
得−a+b=0b=−2，解得：a=−2b=−2，
∴一次函数的表达式y＝﹣2x﹣2，
将C（﹣3，n）代入y＝﹣2x+2中，得n＝﹣2×（﹣3）﹣2＝4，
∴C（﹣3，4），
将C（﹣3，4）代入y=kx中，得4=k−3，
∴k＝﹣12，
∴该反比例函数的表达式为y=−12x；
（2）∵点D到x轴的距离为2，
∴yD＝2，
∵点D在函数y=−12x的图象上，
∴xD=−122=−6，
∴D（﹣6，2），
∴直线CD的表达式为y=23x+6，
∵直线CD交x轴于E，
∴E（﹣9，0），
∴AE＝8，
∴S△ACD＝S△ACE﹣S△ADE=12AE•yC−12AE•yD
=12×4×8−12×2×8
＝8．
14．（2022•拱墅区校级四模）定义：若一次函数y＝ax+b（a≠0）和反比例函数y=−cx（c≠0）满足a﹣b＝b﹣c，则称y＝ax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“等差”函数．
（1）y＝3x+b和y=−5x是否存在“等差”函数？若存在，请写出它们的“等差”函数；
（2）若y＝10x+b和y=−cx存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与y=−cx的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式．
【分析】（1）假设存在，根据等差函数定义得出b＝4，从而得出解析式；
（2）根据等差函数定义得出10+c＝2b，即c＝2b﹣10，根据“等差”函数的图象与y=−cx的图象的一个交点的横坐标为1，列出方程即可求得b，进而求得c，即可解决问题．
【解答】解：（1）存在，
假设y＝3x+b和y=−5x存在“等差”函数，
则a＝3，c＝5，3﹣b＝b﹣5，
解得：b＝4，
∴存在“等差”函数，其解析式为y＝3x2+4x+5；
（2）根据题意知：a＝10，10+c＝2b，
∴c＝2b﹣10，
则“等差”函数的解析式为y＝10x2+bx+2b﹣10，反比例函数的解析式为y=−2b−10x，
根据题意，将x＝1代入y=10x2+bx+2b−10y=−2b−10x，整理得：10+b+2b﹣10＝﹣2b+10，解得b＝2，c＝﹣6，
故一次函数的解析式为y＝10x+2，反比例函数的解析式为y=6x．
15．（2022•涪城区校级模拟）如图，正比例函数y=12x的图象与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B（a，b）为反比例函数在第一象限图象上的点，且b＝2a，试探究在x轴上是否存在点P，使|PA﹣PB|最大？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）结合反比例函数系数k的几何意义即可得出12|k|＝1，结合第一象限内含有函数的图象，即可求出k的值，从而问题得解；
（2）先根据反比例函数与一次函数的解析式求出A点坐标，再根据B（a，b）为反比例函数在第一象限图象上的点，且b＝2a得出B点坐标，．
【解答】解：（1）∵△OAM的面积为1，
∴12|k|＝1，解得：k＝±2，
∵第一象限内有反比例函数图象，
∴反比例函数的解析式为y=2x．
（2）存在，理由如下：
联立一次函数与反比例函数解析式：
y=12xy=2x，解得：x=2y=1或x=−2y=−1（舍去）．
∴点A的坐标为（2，1）．
∵B（a，b）为反比例函数在第一象限图象上的点，且b＝2a，
∴a•2a＝2，解得a＝1（负值舍去），
∴点B的坐标为（1，2）．
如图，点P′是x轴上任意一点，
由三角形三边关系可知，|PA﹣PB|≤AB，
即当B，A，P三点共线时，|PA﹣PB|＝AB取得最大值．
将点A（2，1），B（1，2）代入到y＝ax+b中得：
2a+b=1a+b=2，解得：a=−1b=3，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
令y＝﹣x+3中y＝0，则x＝3，
∴点P的坐标为（3，0）．
∴在x轴上存在一点P使|PA﹣PB|最大，点P的坐标为（3，0）．
16．（2022•金坛区二模）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与反比例函数y=ax（x＞0）的图象交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）已知点C（0，5），若在该一次函数图象上存在一点D，满足DB＝DC，求此时点D的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）设点M的坐标为（x，2x﹣5），根据MB＝MC，即可求解．
【解答】解：（1）把点A（4，3）代入函数y=ax得：a＝3×4＝12，
∴y=12x．
OA=32+42=5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得b=54k+b=3，解得k=2b=−5，
∴y＝2x﹣5；
（2）∵点D在一次函数y＝2x﹣5上，
∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），
∵DB＝DC，
x2+(2x−5+5)2=x2+(2x−5−5)2，
解得：x＝2.5，
∴点D的坐标为（2.5，0）．
17．（2022•石家庄模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（6，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先把A（﹣3，4）代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式为y=−12x；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为（6，﹣2），然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为y=−23x+2；
（2）先依据一次函数求得点C的坐标，进而得到△AOB 的面积；
（3）过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，可得P1点的坐标为（﹣3，0）；再证明Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，利用相似比计算出P1P2的长度，进而得到OP2的长度，可得P2点的坐标为（−173，0），于是得到满足条件的P点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣3，4）代入y=mx，得m＝﹣3×4＝﹣12
∴反比例函数的解析式为y=−12x；
将B（6，n）代入y=−12x，得6n＝﹣12，
解得n＝﹣2，
∴B（6，﹣2），
将A（﹣3，4）和B（6，﹣2）分别代入y＝kx+b（k≠0），得
−3k+b=46k+b=−2，
解得k=−23b=2，
∴所求的一次函数的解析式为y=−23x+2；
（2）当y＝0时，−23x+2＝0，
解得：x＝3，
∴C（3，0），
∴S△AOC=12×3×4＝6，S△BOC=12×3×2＝3，
∴S△AOB＝6+3＝9；
（3）存在．
过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，如图，
∴∠AP1C＝90°，
∵A点坐标为（﹣3，4），
∴P1点的坐标为（﹣3，0）；
∵∠P2AC＝90°，
∴∠P2AP1+∠P1AC＝90°，而∠AP2P1+∠P2AP1＝90°，
∴∠AP2P1＝∠P1AC，
∴Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，
∴AP1CP1=P1P2AP1，即46=P1P24，
∴P1P2=83，
∴OP2＝3+83=173，
∴P2点的坐标为（−173，0），
∴满足条件的P点坐标为（﹣3，0）、（−173，0）．
18．（2022春•侯马市期末）如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A（0，2），与反比例函数y2=kx的图象交于C（1，m），D（n，﹣1），连接OC，OD．
（1）求k的值；
（2）求△COD的面积．
（3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．
（4）点M是反比例函数y2=kx上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且CD为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A的坐标代入y1＝x+b求出b，即可得出一次函数的表达式，把C（1，m），D（n，﹣1）代入求出C、D的坐标，把C的坐标代入y2=kx的，求出k即可；
（2）求出OB，分别求出△AOB和△BOC的面积，相加即可；
（3）根据C、D的坐标和图象得出即可；
（4）分两种情况讨论求得即可．
【解答】解：（1）把A（0，2）代入y1＝x+b得：b＝2，
即一次函数的表达式为y1＝x+2，
把C（1，m），D（n，﹣1）代入得：m＝1+2，﹣1＝n+2，
解得m＝3，n＝﹣3，
即C（1，3），D（﹣3，﹣1），
把C的坐标代入y2=kx得：3=k1，
解得：k＝3；
（2）由y1＝x+2可知：B（﹣2，0），
∴△COD的面积为12×2×3+12×2×1＝4；
（3）由图象可知：y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜1；
（4）当M在第一象限，根据题意MC⊥CD，
∵直线y1＝x+2，
∴设直线CM的解析式为y＝﹣x+b1，
代入C（1，3）得，3＝﹣1+b1
解得b1＝4，
∴直线CM为y＝﹣x+4，
解y=−x+4y=3x得x1=3y1=1，x2=1y2=3，
∴M（3，1）；
当M在第三象限，根据题意MD⊥CD，
∵直线y1＝x+2，
∴设直线DM的解析式为y＝﹣x+b2，
代入D（﹣3，﹣1）得，﹣1＝3+b2
解得b2＝﹣4，
∴直线DM为y＝﹣x﹣4，
解y=−x−4y=3x得x=−1y=−3或x=−3y=−1，
∴M（﹣1，﹣3），
综上，点M的坐标为（3，1）或（﹣1，﹣3）．
19．（2022•江油市模拟）如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值小于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移5个单位长度得到点B，在x轴上是否存在点P，使S△OCP=13S四边形OABC？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y=kx，把A坐标代入y＝2x求出m的值，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）根据题意，利用对称性求出D的坐标，由A与D坐标，找出一次函数位于反比例函数图象下方时x的范围即可；
（3）求得B、C点的坐标，先证得四边形为菱形，然后求得AC和OB，从而求得四边形的面积，根据三角形的面积公式得出方程，解方程即可求得．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=kx（k＞0），
∵A（m，﹣2）在y＝2x上，
∴﹣2＝2m，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣2），
又点A在y=kx上，
∴﹣2=k−1，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
（2）由A的坐标为（﹣1，﹣2），得到D（1，2），
由图象得：正比例函数值小于反比例函数值时自变量x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜1；
（3）∵C（2，n）在y=2x上，
∴n＝1，即C（2，1）
∴OC=5，OA=5，BC=5，
∴四边形OABC为菱形，直线OC为：y=12x，
∴AB的解析式y=12x−32，
由正比例函数为y＝2x求得BC的解析式为y＝2x﹣3，
解y=2x−3y=12x−32得x=1y=−1，
∴B（1，﹣1），
∴AC=(−1−2)2+(−2−1)2=32，OB=12+12=2，
∴S四边形OABC=12AC×OB=12×2×32=3，
假设在x轴上存在P（a，0）使S△OCP=13S平行四边形OABC=13×3=1，
∴12⋅|a|×1=1，
∴a＝±2，
∴在x轴上存在点P1（2，0），P2（﹣2，0）使S△OCP=13S四边形OABC．
20．（2022•彭州市校级模拟）如图，已知反比例函数y=kx的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
（2）试根据图象写出不等式kx≥kx的解集；
（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A的坐标代入y=kx和y＝kx求出m的值，再运用A的坐标求出k，两函数解析式联立得出B点的坐标．
（2）根据函数图象以及交点坐标即可求得不等式kx≥kx的解集．
（3）讨论当C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，当C在第三象限时，设C（x，y）（x＜0），根据OA＝OC＝AC，列出方程组，解方程组得到x+y=−52，根据y=2x转化成x+2x=−52，整理成2x2+5x+4＝0，根据△＝52﹣4×2×4＝﹣7＜0，从而判定不存在符合条件的点C．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点A（m，﹣2）．
把A（m，﹣2）代入y=kx得﹣2=km，代入y＝kx得﹣2＝km，
∴km=km，
解得m＝±1，
∵A在第二象限，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣2）代入y＝kx，
∴﹣2＝k×（﹣1），解得，k＝2，
∴正比例函数的解析式为y＝2x，
又由2x=2x，解得x＝1或x＝﹣1，
∴B（1，2）．
（2）由图象可知不等式kx≥kx的解集x≤﹣1或0＜x≤1．
（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，
②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则OA＝OC＝AC，设C（x，y）（x＜0），

∵A（﹣1，﹣2），
∴OA=5，
∴x2+y2=5(x+1)2+(y+2)2=5，
解得x+2y=−52，
∵点C在反比例函数y=2x图象上，
∴x+2x=−52，
整理得，2x2+5x+8＝0，
∴△＝52﹣4×2×8＝﹣39＜0，
∴不存在符合条件的点C．
21．（2022秋•锦州期末）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点D，过点D作直线l⊥x轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形OPAQ是矩形，求出点P的坐标．
【分析】（1）根据题意得出B点坐标，进而得出反比例函数解析式，再利用待定系数法得出一次函数解析式；
（2）设P（﹣1，a），当∠PAO＝90°，如图2，当∠APO＝90°，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BM＝OM＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
设反比例函数的解析式为y=kx，
则﹣2=k−2，
得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，
∵点A的纵坐标是4，
∴4=4x，
得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
∴m+n=4−2m+n=−2，
解得：m=2n=2，
即一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）存在，
∵直线AB于x轴交于D，
∴D（﹣1，0），
∴OD＝1，
设P（﹣1，a），
如图2，当∠APO＝90°，
∵OP2＝OA2﹣PA2＝PD2+OD2，
∴12+42﹣[（1+1）2+（4﹣a）2]＝12+a2，
解得：a＝2±2，
∴P（﹣1，2+2）或（﹣1，2−2），
综上所述，点P的坐标为（﹣1，2+2）或（﹣1，2−2）．
22．（2022•房山区一模）如图，点A在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上．
（1）求反比例函数y=kx(k≠0)的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，使得△AOP是直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（2，﹣4）代入y=kx，即可求得k的值，从而求得函数的解析式；
（2）分∠OPA＝90°和∠OAP＝90°，两种情况进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）把A（2，﹣4）代入y=kx得：﹣4=k2，
解得：k＝﹣8，
则函数的解析式是：y=−8x；
（2）当∠OPA＝90°时，AP⊥y轴，则P的坐标是（0，﹣4），
当∠OAP＝90°时，
根据OA2＝4OP，
则20＝4OP，
∴OP＝5，
则P的坐标是（0，﹣5）．
则P的坐标是（0，﹣4）或（0，﹣5）．
23．（2022•东营模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=mx的图象有一个交点A（2，2）．
（1）求m，k的值；
（2）将直线OA向上平移与x轴交于点B，与反比例函数在第一象限内交于点A，连接AB，AC，S△OAC＝3，求直线BC的解析式；
（3）反比例函数图象上是否存在点P（A除外）使AP⊥AO？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）想办法求出点B坐标即可解决问题；
（3）不存在．把问题转化为方程组解决即可；
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=mx的图象有一个交点A（2，2），
∴k＝1，m＝4．
（2）∵BC∥OA，
∴S△AOC＝S△AOB＝3，
∴12×OB×2＝3，
∴OB＝3，
∴B（﹣3，0），
设直线BC的解析式为y＝x+b，
把B（﹣3，0）代入得到b＝3，
∴直线BC的解析式为y＝x+3．
（3）不存在．理由如下：
∵过点A垂直OA的直线的解析式为y＝﹣x+4，
由y=4xy=−x+4，解得x=2y=2，
∴直线y＝﹣x+4与反比例函数y=4x只有一个交点，
∴反比例函数图象不存在点P（A除外）使AP⊥AO；
24．（2022•岱岳区三模）如图，直线y1=−14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2=mx（x＜0）的图象交于点P，过点P，作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC
（1）求反比例函数y2的解析式；
（2）反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）首先求得直线与x轴和y轴的交点，根据AC＝BC可得OA＝OB，则B的坐标即可求得，BP＝2OC，则P的坐标可求出，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）连接DC与PB交于点E，若四边形BCPD是菱形时，CE＝DE，则CD的长即可求得，从而求得D的坐标，判断D是否在反比例函数的图象上即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y1=−14x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A（4，0），C（0，1），
又∵AC＝BC，CO⊥AB，
∴O是AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，
∴P的坐标是（﹣4，2），
将P（﹣4，2）代入y2=mx，得m＝﹣8，
即反比例函数的解析式为y2=−8x；
（2）假设存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形，
如图，连接DC，与PB交于点E．
∵四边形BCPD是菱形，
∴CE＝DE＝4，
∴CD＝8，
将x＝﹣8代入反比例函数解析式y=−8x，得y＝1，
∴D的坐标是（﹣8，1），
即反比例函数的图象上存在点D使四边形BCPD是菱形，
此时D的坐标是（﹣8，1）．
25．（2022春•江阴市期末）如图所示，直线y1=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2=kx（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC．
（1）求点C的坐标和反比例函数y2的解析式；
（2）点P在x轴上，反比例函数y2图象上存在点M，使得四边形BPCM为平行四边形，求▱BPCM的面积．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据S△BPC＝S△APC﹣S△APB，▱BPCM的面积＝2 S△BPC，只要求出△APC，△APB的面积即可；
【解答】解：（1）∵直线y1＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣4，0），B（0，1）
过C作CD⊥x轴于D，
∵AB＝BC，
∴D（4，0），C（4，2），
∵点C（4，2）反比例函数y2=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝8，
∴反比例函数y2的解析式y2=8x；
（2）∵四边形BPCM为平行四边形，
∴G为BC、MP的中点，
由BG＝CG，则G（2，32），
设M（m，8m），P（n，0），
由MG＝PG，
∴m+n2=28m2=32，
∴m=83，n=43，即P（43，0），
S△APC=12AP•CD=12×（4+43）×2=163，S△ABP=12×AP•OB=12×（4+43）×1=83
S△BPC＝S△APC﹣S△APB=83，
∴▱BPCM的面积＝2 S△BPC=163．
26．（2022•乐山）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC．若△ABC的面积为2．
（1）求k的值；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y=kx的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于12|k|，从而求出k的值；
（2）先将y＝2x与y=2x联立成方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论：①当AD⊥AB时，求出直线AD的关系式，令y＝0，即可确定D点的坐标；②当BD⊥AB时，求出直线BD的关系式，令y＝0，即可确定D点的坐标；③当AD⊥BD时，由O为线段AB的中点，可得OD=12AB＝OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D点的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，
又∵A是反比例函数y=kx图象上的点，且AC⊥x轴于点C，
∴△AOC的面积=12|k|，
∴12|k|＝1，
∵k＞0，
∴k＝2．
故这个反比例函数的解析式为y=2x；
（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．
将y＝2x与y=2x联立成方程组得：
y=2xy=2x，
解得：x1=1y1=2，x2=−1y2=−2，
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），
①当AD⊥AB时，如图1，
设直线AD的关系式为y=−12x+b，
将A（1，2）代入上式得：b=52，
∴直线AD的关系式为y=−12x+52，
令y＝0得：x＝5，
∴D（5，0）；
②当BD⊥AB时，如图2，
设直线BD的关系式为y=−12x+b，
将B（﹣1，﹣2）代入上式得：b=−52，
∴直线BD的关系式为y=−12x−52，
令y＝0得：x＝﹣5，
∴D（﹣5，0）；
③当AD⊥BD时，如图3，
∵O为线段AB的中点，
∴OD=12AB＝OA，
∵A（1，2），
∴OC＝1，AC＝2，
由勾股定理得：OA=OC2+AC2=5，
∴OD=5，
∴D（5，0）．
根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（−5，0）．
故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（5，0）或（−5，0）．
27．（2022•贵阳模拟）如图，△ABC的顶点A，C落在坐标轴上，且顶点B的坐标为（﹣5，2）将△ABC沿x轴向右平移7个单位得到△A′B′C′，点B′恰好在反比例函数y=kx的图象上，且反比例函数图象与A′C′相交于点D．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点D的坐标为（5，45），在x轴上存在点P，使得线段PB′与线段PD之差最大，求出点P的坐标，并说明理由．
【分析】（1）根据平移的规律得到B'（2，2），再根据点B′恰好在反比例函数y=kx的图象上，即可得到k的值；
（2）根据|PB'﹣PD|≤B'D，可得当B'、D、P在同一直线上时，PB'﹣PD＝B'D成立，此时线段PB′与线段PD之差最大，再设直线B'P解析式为y＝ax+b，将D（5，45），B'（2，2）代入，可得直线B'P解析式，进而得出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵顶点B的坐标为（﹣5，2），将△ABC沿x轴向右平移7个单位得到△A′B′C′，
∴B'（2，2），
∵点B′恰好在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为y=4x；
（2）如图所示，连接PB'，PD，B'D，
∵|PB'﹣PD|≤B'D，
∴当B'、D、P在同一直线上时，PB'﹣PD＝B'D成立，
此时线段PB′与线段PD之差最大，
设直线B'P解析式为y＝ax+b，
把D（5，45），B'（2，2）代入，可得
45=5a+b2=2a+b，解得a=−25b=145，
∴直线B'P解析式为y=−25x+145，
令y＝0，则0=−25x+145，
解得x＝7，
∴P（7，0）．
28．（2022•南京联合体二模）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A、B，AB＝25，
（1）求k的值；
（2）若反比例函数y=kx的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标．
【分析】（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由点A、B的对称性可知OA=5，根据点在直线上，设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，通过勾股定理即可求出点A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法即可求出结论；
（2）由点A、B的对称性结合点A的坐标求出点B的坐标，根据点C在反比例函数图象上，设出点C的坐标为（n，2n），分△ABC三个角分别为直角来考虑，利用勾股定理可得出关于n的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，如图1所示．
由题意可知点A与点B关于点O中心对称，且AB＝25，
∴OA＝OB=5．
设点A的坐标为（a，2a），
在Rt△OAD中，∠ADO＝90°，由勾股定理得：
a2+（2a）2＝（5）2，
解得：a＝1，
∴点A的坐标为（1，2）．
把A（1，2）代入y=kx中得：2=k1，
解得：k＝2．
（2）∵点A的坐标为（1，2），点A、B关于原点O中心对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）．
设点C的坐标为（n，2n），
△ABC为直角三角形分三种情况：
①∠ABC＝90°，则AC2＝AB2+BC2，
∴（n﹣1）2+（2n−2）2＝20+（n+1）2+（2n+2）2，即n2+5n+4＝0，
解得：n1＝﹣4，n2＝﹣1（舍去），
此时点C的坐标为（﹣4，−12）；
②∠BAC＝90°，则有BC2＝AC2+AB2，
∴（n+1）2+（2n+2）2＝20+（n﹣1）2+（2n−2）2，即n2﹣5n+4＝0，
解得：n3＝4，n4＝1（舍去），
此时点C的坐标为（4，12）；
③∠ACB＝90°，则有AB2＝AC2+BC2，
∴20＝（n+1）2+（2n+2）2+（n﹣1）2+（2n−2）2，即n4﹣5n2+4＝0，
解得：n2＝4或1，
∴n5＝﹣2，n6＝2，n7＝1（舍去），n8＝﹣1（舍去），
此时点C的坐标为（﹣2，﹣1）或（2，1）．
综上所述：当△ABC为直角三角形，点C的坐标为（﹣4，−12）、（4，12）、（﹣2，﹣1）或（2，1）．
29．（2022•肥城市模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点P（2，4），与y轴交于点A（0，﹣4），与x轴交于点C，PB⊥y轴于点B．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）在反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）由点A、P的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；再由点P坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）假设设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，画出图形，利用菱形的性质：对角线垂直平分可以找出点D的坐标为（1，8），再验证点D是否在反比例函数图象上即可．
【解答】解：（1）将点A（0，﹣4）、点P（2，4）代入到一次函数y＝kx+b中得：
−4=b4=2k+b，解得：k=4b=−4，
∴一次函数表达式为y＝4x﹣4．
将点P（2，4）代入反比例函数y=mx（x＞0）中得：
4=m2，解得：m＝8．
∴反比例函数的表达式为y=8x．
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示．
令y＝4x﹣4中y＝0，则有0＝4x﹣4，解得：x＝1，
∴点C的坐标为（1，0）．
∵四边形BCPD为菱形，
∴BP⊥CD，且CD＝2OB，
∵点P（2，4），
∴点B（0，4），OB＝4，CD＝8，
又∵点C（1，0），
∴点D（1，8）．
将x＝1代入反比例函数y=8x中，得：
y=81=8，
即点D在反比例函数图象上，
∴在反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，点D的坐标为（1，8）．
30．（2022•峨边县模拟）如图，反比例函数y=k2x和一次函数y＝2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点且点A在第一象限，是两个函数的一个交点；
（1）求反比例函数的解析式？
（2）在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）列出关于a、b、k方程组，解方程组可以求出k的值．
（2）先求出点A坐标，再分三种情形：①当点O为等腰三角形△AOP的顶点，②当点A为等腰三角形△AOP的顶点，③当点P为等腰三角形△AOP的顶点，分别求出点P坐标即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x﹣1经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点，
∴b=2a−1b+k+2=2(a+k)−1，
解得k＝2，
∴反比例函数解析式为y=1x．
（2）存在．
由y=1xy=2x−1解得x=1y=1或x=−12y=−2，
∴点A坐标（1，1）．
∴OA=2，
①当点O为等腰三角形△AOP的顶点时，点P坐标为（−2，0）或（2，0）．
②当点A为等腰三角形△AOP的顶点时，点P坐标为（2，0）．
③当点P为等腰三角形△AOP的顶点时，点P坐标为（1，0）．
∴△AOP为等腰三角形，点P坐标为（1，0）或（2，0）和（−2，0）或（2，0）．