专题28.1 锐角的三角函数【十大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（人教版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16346" 【题型1 锐角的三角函数概念辨析】 PAGEREF _Tc16346 \h 1
\l "_Tc23852" 【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】 PAGEREF _Tc23852 \h 2
\l "_Tc7706" 【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】 PAGEREF _Tc7706 \h 4
\l "_Tc18387" 【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】 PAGEREF _Tc18387 \h 5
\l "_Tc8076" 【题型5 根据特殊角的三角函数值求角的度数】 PAGEREF _Tc8076 \h 6
\l "_Tc2660" 【题型6 求特殊角的三角函数值】 PAGEREF _Tc2660 \h 7
\l "_Tc25027" 【题型7 同角的三角函数值的证明或求值】 PAGEREF _Tc25027 \h 8
\l "_Tc2592" 【题型8 互余两角的三角函数关系的计算】 PAGEREF _Tc2592 \h 8
\l "_Tc25360" 【题型9 利用增减性判断三角函数的取值范围】 PAGEREF _Tc25360 \h 9
\l "_Tc2524" 【题型10 三角函数在等腰直角三角形中的应用】 PAGEREF _Tc2524 \h 10
【知识点1 锐角三角函数】
在中，，则的三角函数为
【知识点2 特殊角的三角函数值】
【题型1 锐角的三角函数概念辨析】
【例1】（2022·广东·佛山市南海区金石实验中学九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°，BCAB=35，则（ ）
A．csA＝35B．sinB＝35C．tanA＝43D．tanB＝43
【变式1-1】（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于csB的是（ ）
A．CDACB．BDCBC．CDCBD．CBAB
【变式1-2】（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（ ）
A．b＝a•sinAB．b＝a•tanAC．c＝a•sinAD．a＝c•csB
【变式1-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1 ， 点A、点B和点C在小正方形的顶点上. 请在图①、图②中各画一个图形， 满足以下要求：
(1)在图①中以AB和BC为边画四边形ABCE， 点E在小正方形的顶点上， 且此四边形有两组对边相等．
(2)在图②中以AB为边画△ABD， 使tan∠ADB=34．
【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】
【例2】（2022·山东·肥城市湖屯镇初级中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为( )．
A．13B．45C．23D．35
【变式2-1】（2022·河南南阳·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，csA=35，BE＝2，则tan∠DBE的值是（ ）
A．12B．2C．52D．55
【变式2-2】（2022·广东·惠州一中二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cs∠BDE的值等于（ ）
A．52B．53C．23D．34
【变式2-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，点E在AB上，点F在BC上．若AE=2，CF=1，则sin∠1+∠2=（ ）
A．12B．22C．32D．33
【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】
【例3】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（ ）
A．3B．2C．22D．32
【变式3-1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB=3，BC=1，点D在AB上，且BDAD=13，则tan∠BCD的值是（ ）
A．13B．1C．223D．332
【变式3-2】（2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，将△ABC沿着CE翻折，使点A落在点D处，CD与AB交于点F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，则tan∠CEF＝___．
【变式3-3】（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，则ACBC的值为 _____．
【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】
【例4】（2022·全国·九年级课时练习）如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，若CD=2，则AB的长为（ ）
A．3B．22+2C．4D．2+2
【变式4-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（ ）
A．32B．332C．6D．3
【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC．点D在△ABC内部，AD⊥CD，且∠ADB=2∠ACB，若BD=2，tan∠BAC=43，则AC的长为______．
【变式4-3】（2022·安徽·九年级专题练习）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．
(1)求证：四边形BCED是菱形．
(2)已知点F为BC中点，过点F作GF⊥BC交AB于点G，BG=5，cs∠ABC=0.6，请直接写出BE的长度．
【题型5 根据特殊角的三角函数值求角的度数】
【例5】（2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末）已知△ABC中，点D为BC边上一点，则下列四个说法中，一定正确的有（ ）
①连接AD，若D为BC中点，且AD平分∠BAC，则AB=AC；
②若∠BAC=90°，且BC=2AC，则∠B=30°；
③若∠B=30°，且BC=2AC，则∠BAC=90°；
④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，则△ABC的重心在AD上．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5-1】（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模）在△ABC中，若，sinB−12+tanA−32=0，则∠C=__________度．
【变式5-2】（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学二模）若菱形的周长为82，高为2，则菱形两邻角的度数比为（ ）
A．6：1B．5：1C．4：1D．3：1
【变式5-3】（2022·山东日照·三模）如图，直线AB=−33x+3与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段AB上，动点Q在线段OA上，连接OP，且满足∠BOP=∠OQP，则当∠POQ=______度时，线段OQ的最小值为______．
【题型6 求特殊角的三角函数值】
【例6】（2022·广东·东莞市东华初级中学九年级阶段练习）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A．13B．12C．33D．32
【变式6-1】（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）计算：
(1)3tan30°+tan45°+2sin30°．
(2)cs230°+tan30°×sin60°−2cs45°．
【变式6-2】（2022·江苏·涟水县麻垛中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，则sin∠ABC＝____．
【变式6-3】（2022·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正切值是______．

【题型7 同角的三角函数值的证明或求值】
【例7】（2022·全国·九年级课时练习）下列结论中（其中α，β均为锐角），正确的是___________．（填序号）
①sin2α+cs2α=1；②cs2α=2csα；③当0°<α<β<90°时，0【变式7-1】（2022·江苏·镇江市外国语学校一模）已知sinα⋅csα=18，且0°<α<45°，则csα−sinα的值为___．
【变式7-2】（2022·福建莆田·一模）求证：若α为锐角，则sin2α+cs2α＝1．
要求：①如图，锐角α和线段m用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角的Rt△ABC保留作图痕迹，不写作法）
②根据①中所画图形证明该命题．
【变式7-3】（2022·全国·九年级课时练习）已知sinα，csα为方程x2+px+q=0的两根，则p、q应满足的关系式为_______.
【题型8 互余两角的三角函数关系的计算】
【例8】（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，则sinB等于( )
A．25B．35C．45D．34
【变式8-1】（2022·全国·九年级单元测试）若α为锐角，且csα＝1213，则sin(90°－α)的值是( )
A．513B．1213C．512D．125
【变式8-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知α，β都是锐角，且α+β=90°，sinα+csβ=3，则α=________．
【变式8-3】（2022·福建·龙海二中九年级阶段练习）李华在作业中得到如下结果：
tan7°⋅tan83°=1
tan22°⋅tan68°=1
tan29°⋅tan61°=1
tan37°⋅tan53°=1
tan45°⋅tan45°=1
根据以上，李华猜想：对于任意锐角α，均有tanα⋅tan90°−α=1
（1）当α=30°时，验证tanα⋅tan90°−α=1是否成立；
（2）李华的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
（3）小明发现一次函数解析式中的k值（一次项系数的值）其实就是该一次函数图像与x轴所形成的夹角的正切值，已知平面直角坐标系中有两条直线互相垂直，l1：y1=k1x+b1，l2：y2=k2x+b2b1≠b2，k1⋅k2≠0根据以上结论，探究当平面直角坐标系中两直线垂直时k1和k2的数量关系，并画图证明．
【题型9 利用增减性判断三角函数的取值范围】
【例9】（2022·福建省泉州实验中学九年级期中）三角函数sin40°、cs16°、tan50°之间的大小关系是（ ）
A．tan50°>cs16°>sin40°B．cs16°>sin40°>tan50°
C．cs16°>tan50°>sin40°D．tan50°>sin40°>cs16°
【变式9-1】（2022·浙江·九年级专题练习）已知△ABC是锐角三角形，若AB>AC，则（ ）
A．sinA【变式9-2】（2022·四川·西昌市俊波学校九年级阶段练习）已知32A．30°【变式9-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，梯子地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡
B．csA的值越小，梯子越陡
C．梯子的长度决定倾斜程度
D．梯子倾斜程度与∠A的函数值无关
【题型10 三角函数在等腰直角三角形中的应用】
【例10】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝102cm，D为AB边上一点，tan∠ACD＝15，点P由C点出发，以2cm/s的速度向终点B运动，连接PD，将PD绕点D逆时针旋转90°，得到线段DQ，连接PQ．
(1)填空：BC＝ ，BD＝ ；
(2)点P运动几秒，DQ最短；
(3)如图2，当Q点运动到直线AB下方时，连接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；
(4)在点P运动过程中，若∠BPQ＝15°，请直接写出BP的长．
【变式10-1】（2022·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标是(0,−1)，点A1，A2，A3，A4，A5…所在直线与x轴交于点B0(−2,0)，点B1，B2，B3，B4…都在x轴上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形A2022B2022B2023的腰长A2022B2022为_______________．
【变式10-2】（2022·广东深圳·九年级期末）如图1，分别以ΔABC的AB、AC为斜边间外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACF，点G是AC的中点，连接DG、BF．
（1）求证：ΔADG∽ΔABF；
（2）如图2，若∠BAC=90°，AB=22，AC=32，求∠AGD的正切值；
（3）如图3，以ΔABC的BC边为斜边问外作等腰直角三角形BCE，连接EG，试探究线段DG、EG的关系，并加以证明．
【变式10-3】（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）（1）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线MN经过点C，AE⊥MN，垂足为E，BF⊥MN，垂足为F，则AE与CF的数量关系是 ．
（2）【拓展探究】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直线MN经过点C，AE⊥MN，垂足为E，BF⊥MN，垂足为F，试猜想AE与CF的数量关系，并加以证明．
（3）【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，E为AC的中点，F为边BC上一点，CE＝CF，P为AB上一点（不与A、B重合），D为射线EF上一点，当△CDP为等腰直角三角形时．
①tan∠EFC＝ ．
②求出BP的长度．
定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦
(∠A为锐角)
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
三角函数
30°
45°
60°
1