专题28.3 解直角三角形的中考常考题专项训练（50道）-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（人教版）

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考卷信息：
本套训练卷共50题，其中选择题15题，填空题15题，解答题20题. 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了解直角三角形的中考常考题的综合问题的所有类型！
一、选择题（共15题）
1．（2022·湖北武汉·中考真题）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A．13B．12C．33D．32
2．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，则△DBC的面积是（ ）
A．3314B．9314C．337D．637
3．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于点D，BD=3．若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（ ）
A．33B．32C．1D．62
4．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE=4，OF=6．则下列结论：①GF=2；②OD=2OG；③tan∠CDE=12；④∠ODF=∠OCF=90°；⑤点D到CF的距离为855．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤
5．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）

A．12B．2C．63D．64
6．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P1,1，则tan∠OAP的值是（ ）
A．33B．22C．13D．3
7．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=13，则CD的长为（ ）
A．25B．3C．5D．2
8．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cs∠BAC的值是（ ）
A．55B．105C．255D．45
9．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△ABC中，sinB=13， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）
A．2B．52C．5D．2
10．（2022·四川绵阳·中考真题）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则sinθ−csθ2=( )
A．15B．55C．355D．95
11．（2022·贵州遵义·中考真题）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACCD=12+3=2−32+32−3=2−3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．2+1B．2﹣1C．2D．12
12．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，csB=14，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，连结CE，则CEAD的值为（ ）
A．32B．3C．152D．2
13．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC=4,△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A．35B．55C．45D．255
14．（2022·四川巴中·中考真题）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A．sinB=13B．sinC=255
C．tanB=12D．sin2B+sin2C＝1
15．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F， FG∥AD 交AE于点G，若csB=14，则FG的长是（ ）
A．3B．83C．2153D．52
二、填空题（共15题）
16．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB=30°，则如tan∠DEC的值为_____．
17．（2022·广东深圳·中考真题）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=12,BOOD=43，则S△ABDS△CBD=___．
18．（2022·广东·中考真题）如图，在▱ABCD中，AD=5,AB=12,sinA=45．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE=______．
19．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB=12，则tan∠DEC的值是________．
20．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2．若点P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为____________．
21．（2022·山东德州·中考真题）如图．在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.ΔABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是__________．
22．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC=5，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上．若sin∠B′AC=910，则AC=_____．
23．（2022·上海·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=32，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为________．
24．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在△ABC中，BC=6+2，∠C=45°，AB=2AC，则AC的长为________．
25．（2022·四川·中考真题）如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β 如图所示，则csα+β=______.
26．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中点，将ΔCBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP=__．
27．（2022·山东济南·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝12，则CE＝_____．
28．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC,DC上，连接AG,EG,AE，将△ABG和△ECG分别沿AG,EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE=3,CG=4，则sin∠DAE=_______．
29．（2022·江苏常州·中考真题）如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=_________．
30．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在△ABC中，AC=3,BC=4，点D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA=________．
三、解答题（共20题）
31．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出以为底、面积为12的等腰，且点在小正方形的顶点上；
(2)在图中画出平行四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，，连接，请直接写出线段的长.
32．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在▱ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．
（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD=45，求AF的长．
33．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连接AA′．
(1)判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；
(2)在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cs∠BAC=1213，求CB′的长．
34．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．
（1）求证：AE=BF；
（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
35．（2022·上海·中考真题）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=34．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求ADDB的值．
36．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=34，求BC的长．
37．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，点E是BC边上的点，BE=3，连接AE，DF⊥AE交于点F．
(1)求证：△ABE≌△DFA；
(2)连接CF，求sin∠DCF的值；
(3)连接AC交DF于点G，求AGGC的值．
38．（2022·湖南常德·中考真题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
39．（2022·浙江绍兴·中考真题）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求证∶EF=CD．
（2）如图2，AC∶AB=1∶3，EF⊥CE，求EF∶EG的值．
40．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，D为BC上一点，AB=5 , BD=1，tanB=34．
（1）求AD的长；（2）求sinα的值．
41．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）若，求tan∠EBC的值．
42．（2022·福建厦门·中考真题）已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分
别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．
（1）如图，若PE＝3，EO＝1，求∠EPF的度数；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋32－4，求BC的长．
43．（2022·山东滨州·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为10， ∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F．
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求证AE=EF．
44．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=3DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，请说明理由．
45．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．
（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′=AB′．
（2）如图②，若AB=AC，BP=3PC，求cs∠B′AC的值．
（3）如图③，若∠ACB=30°，是否存在点P，使得AB=CB′．若存在，求此时PCBC的值；若不存在，请说明理由．
46．（2022·山东济南·中考真题）在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝12∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ．线段BE与线段CF的数量关系是 ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
47．（2022·四川南充·中考真题）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合）．DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB=1，DE=13．
（1）求tan∠ACE．
（2）设AF=x，GH=y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）．
（3）当∠ADF=∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．
48．（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD，CE．
①求BDCE的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
49．（2022·贵州安顺·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．
(1)求线段AE的长；
(2)求证四边形DGFC为菱形；
(3)如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DCM，设DN=x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
50．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)图③中，AB=2，BC=3，则GHCE= ；
(3)当AB=m , BC=n时． GHCE= ．
(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 ．