专题07 复数（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末常考考点精讲精练（苏教版必修第二册）

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（一）复数的概念
1.复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
全体复数构成的集合叫做复数集.
2.复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
3.复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.
4.复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是a＝0且b＝0，a＝0是z为纯虚数的必要不充分条件.
5.复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z为实数⇔b＝0，z为虚数⇔b≠0，z为纯虚数⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0,b≠0)).
(2)集合表示：
（二）复数的四则运算
1.复数的加、减、乘、除的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；
(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(3) ＝＋i (z2≠0)．
2. 复数的加、减法几何意义及运算律
3．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．
5．共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6).
6．in(n∈N*)的性质
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝i，
从而对于任何n∈N*，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N*，那么有
i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
（三）复数的几何意义
1.复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的几何意义
(1)每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系.
(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是 (a，b)，不是(a，bi).
(3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系.
如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量 表示.
复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量的一一对应关系如下：
3.复数的模
复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝
当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值.
4.复数模的几何意义
复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离.
由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离.
（四）复数的三角形式及其运算
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cs θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cs θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)=
r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
(2) ＝
＝[cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
题型一 复数的概念
【典例1】（2023·高一课时练习）已知复数（）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于csα的一元二次方程，解方程求得csα，根据特殊角三角函数值和α的范围可求得结果.
【详解】由题意可得，
,
或
·
故选：B．
【总结提升】
(1)复数的代数形式：
若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.学习本章必须准确理解复数的概念.
(3)虚数单位i的性质
①i2＝－1.
②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律.
③由于i2