专题13 统计（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末常考考点精讲精练（苏教版必修第二册）

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（一）抽样
1．简单随机抽样
（1）定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
（2）常用方法：抽签法和随机数法．
（3）随机数法步骤：
①将总体中的个体编号.
②在随机数表中任选一个数作为开始．
③规定一个方向作为从选定的数读取数字的方向.
④开始读取数字，若不在编号中，则跳过，若在编号中则取出，依次取下去，直到取满为止(相同的号只计一次)．
⑤根据选定的号码抽取样本.
2．分层抽样
(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
（二）统计图表
1．频率分布直方图
(1)纵轴表示eq \f(频率,组距)，即小长方形的高＝eq \f(频率,组距)；
(2)小长方形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率；
(3)各个小方形的面积总和等于1.
2．频率分布表的画法
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝eq \f(极差,组数)；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
3．频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
4.茎叶图
茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．
①“叶”位置只有一个数字，而“茎”位置的数字位数一般不需要统一；
②茎叶图上重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.
5.条形图：建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图．
6.折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图．
7.扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图．
（三）用样本估计总体
1.众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平；
2.中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平；
平均数：反应一组数据的平均水平；
3.方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．方差的简化计算公式：s2＝eq \f(1,n)[(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－n eq \x\t(x)2]或写成s2＝eq \f(1,n)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－eq \x\t(x)2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
4.标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．
5.百分位：一般地，一组数据的第p百分位是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p%）的数据大于或等于这个值.
题型一 抽样
【典例1】（2022春·江苏盐城·高一统考期末）工厂生产A，B，C，3种不同型号的产品，产量之比为3：2：7.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中B种型号的产品有12件，则样本容量n=（ ）
A．72B．48C．24D．60
【答案】A
【分析】由分层抽样的等比例原则，结合抽取样本中B种型号容量求总样本容量即可.
【详解】由题设B种型号的产品占比为，
所以，可得.
故选：A
【典例2】（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，某月生产A，B，C这三种型号的产品的数量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，已知B种型号的产品被抽取30件，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据分层抽样抽取的比例一定计算即可
【详解】由题意，，解得
故选：C
【典例3】（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）
A．16B．18C．27D．36
【答案】B
【分析】先确定老年职工的人数，然后利用抽样比可得答案.
【详解】设老年职工有人，则，解得；
因为样本中有青年职工32人，所以抽样比为，
所以样本中的老年职工人数为.
故选：B.
【典例4】（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02B．15C．16D．19
【答案】D
【分析】根据个体编号规则，随机表法依次取出5个个体编号，即可确定第5个个体的编号.
【详解】由题意，依次取到的编号为16、15、08、02、19，
所以第5个个体的编号为19.
故选：D
【总结提升】
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
2. 分层抽样的前提和遵循的两条原则
(1)前提：分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取．
(2)遵循的两条原则：
①将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
②分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
3.命题方向：
（1）抽样的概念
（2）抽样方案的设计.
题型二 扇形图、折线图的应用
【典例5】（2023·江苏·高三统考学业考试）党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（ ）
A．16B．30C．32D．62
【答案】C
【分析】由扇形图计算参加数学类和理化类的人数，即可求得答案.
【详解】由扇形统计图可知参加数学类的人数为，
参加理化类的人数为，
故参加数学类的人数比参加理化类的人数多，
故选：C
【典例6】（2017·全国高考真题（理））某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【解析】
对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.
【典例7】（2018·全国高考真题（文））某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
【解析】
首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
详解：
设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
【典例8】（2021秋·江苏无锡·高一无锡市市北高级中学校考开学考试）在西安市开展的“双城联创”活动中，某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机抽查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：
(1)统计表中的___________，___________.补全条形统计图：
(2)求所有被调查同学的平均劳动时间.
【答案】(1)，，条形统计图如图所示；
(2)1.32时
【分析】（1）利用频数、总人数、频率间的关系计算即可；
（2）算出总时间，除于总人数即可
【详解】（1）题， ，
∴，，条形统计图如图所示
（2）平均劳动时间时
【总结提升】
扇形统计图直观地反映了各个类别在总体中所占的比例，折线统计图则可以看出变化趋势．频数直方图既能够反映分布状况，又可以表示变化趋势.
题型三 频率分布直方图
【典例9】（2022春·江苏连云港·高一统考期末）某校高一年级1000名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩40~70分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩50~60分的人数是（ ）
A．20B．30C．40D．50
【答案】B
【分析】先求出三个分数段的的同学的频率之比，从而求出抽取成绩50~60分的人数.
【详解】从频率分布直方图可以看出三个分数段的的同学的频率之比为，
所以抽取成绩50~60分的人数为，
故选：B
【典例10】（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，.若不低于80分的人数是35人，且同一组中的数据用该组区间的中点值代表，则下列说法中正确的是（ ）
A．该班的学生人数是50B．成绩在的学生人数是12
C．估计该班成绩的平均分为85D．成绩的众数一定落在区间内
【答案】AC
【分析】根据频率之和为1可求出，再结合相关概念逐项分析运算即可判断.
【详解】对A：由题图可知，解得，
则不低于80分的频率为，所以该班的学生人数是，所以A项正确；
对B：成绩在的频率为，所以成绩在的学生人数是，所以B选项不正确；
对C：因为，所以C选项正确；
对D：因为在区间内的数据尽管频率最大，但也可能数据分散，众数不一定在区间内，所以D选项不正确.
故选：AC.
【典例11】（2022春·江苏苏州·高一江苏省木渎高级中学）某公司针对新购买的50000个手机配件的重量随机抽出1000台进行检测，如图是根据抽样检测后的重量（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中配件重量的范围是，样本数据分组为.用样本估计总体，则下列说法错误的是（ ）
A．这批配件重量的平均数是（精确到0.01）
B．这批配件重量的中位数是在之间
C．
D．这批配件重量在范围的有15000个
【答案】B
【分析】根据频率分布直方图，逐一算出判断即可.
【详解】由已知图可知:，解得，
故C对，
则估计手机配件的重量的平均数为:，故A对，
设中位数为，则，解得，故B错，
这批配件重量在范围的有个，故D对.
故选B.
【典例12】（2021·全国·高考真题（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
【总结提升】
1.两个主要考查角度：
（1）利用频率分布直方图求频率、频数．
（2）利用频率分布直方图估计总体
2.熟记结论：(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1；
(2) eq \f(频率,组距)×组距＝频率；
(3)频数/样本容量＝频率，此关系式的变形为频数/频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数
3.易错防范：频率分布直方图的纵坐标是频率组距，而不是频率
题型四 用样本估计总体
【典例13】（2022春·江苏无锡·高一统考期末）某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示：
则第85百分位数是（ ）
A．3325B．3130C．3050D．2950
【答案】B
【分析】将这12个数从小到大的顺序排列，再找到第，即第 11个数即可.
【详解】解：将这12个数从小到大的顺序排列：2710，2755，2850，2880，2880，2890， 2920，2940，2950，3050，3130，3325.
又因为第，
所以第第85百分位数是第11个数据，为3130.
故选：B.
【典例14】（2022·江苏·高一开学考试）关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（ ）
A．某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查
B．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135
C．若甲､乙两组数据的标准差满足则可以估计乙比甲更稳定
D．若数据的平均数为，则数据的平均数为
【答案】C
【分析】对于A，根据普查的适用情形即可求解；
对于B，根据分层抽样的抽样比即可求解；
对于C，根据标准差的含义即可求解；
对于D，根据平均数的公式即可求解.
【详解】对于A，了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查，故A正确；
对于B，根据分层抽样抽样比可知，样本容量为，故B正确；
对于C，因为，所以甲的数据更稳定，故C不正确；
对于D，因为数据的平均数为，
所以，
所以数据的平均数为
，故D正确.
故选：C.
【典例15】（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知数据，，…，的平均数为3，方差为1，那么数据，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A．3，1B．9，3C．10，9D．10，10
【答案】C
【分析】根据平均数和方差公式直接求解即可
【详解】因为数据，，…，的平均数为3，方差为1，
所以，，
所以数据，，…，的平均数为
，
方差为
，
故选：C
【典例16】【多选题】（2022春·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，则此组数据的（ ）
A．众数为7B．极差为6
C．中位数为8D．方差为
【答案】ABD
【分析】由平均数定义求得参数，然后再由众数、极差、中位数、方差的定义求解．
【详解】由题意，，
因此众数是7，极差是，
5 个数从小到大排列为，中位数是7，
方差为，
故选：ABD．
【典例17】【多选题】（2023届福建省福州市高三质量检测数学试题）已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（ ）
A．中位数B．平均数
C．方差D．第40百分位数
【答案】AD
【分析】根据中位数，平均数，方差及百分位数的定义，举例说明即可.
【详解】设这个数分别为，
且，
则中位数为，
去掉最大和最小的数据，得，中位数为，
故中位数一定不变；
由，得的第40百分位数为，
由，得的第40百分位数为，
故第40百分位数不变，
设这个数分别，
则平均数为，
去掉最大和最小的数据为，
此时平均数为，所以此时平均数改变了；
设这个数分别，
则平均数为，
方差为
，
去掉最大和最小的数据为，
则平均数为，
方差为，
所以此时方差都改变了.
故选：AD.
【典例18】（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）设样本数据的平均数为，方差为，若数据的平均数比方差大4，则的最大值是_________．
【答案】
【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出．
【详解】数据的平均数为，方差为，所以，
，即，则，因为，所以，故当时，的最大值是．
故答案为：．
【总结提升】
1.众数、中位数、平均数都是刻画数据特征的，但任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变，而众数、中位数不具有这个性质．所以平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，它是样本数据的重心．
2.在样本中出现极端值的情况下，众数、中位数更能反映样本数据的平均水平．
3.平均数反映了数据取值的平均水平；
4.方差(标准差)越大，说明数据的离散性越大；方差(标准差)越小，说明数据的离散性越小，数据越集中、稳定．
5．用样本的数字特征估计总体的数字特征时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差，这些偏差是由样本的随机性引起的．虽然样本的数字特征并不是总体真正的数字特征，而是总体的一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本容量很大时，样本的数字特征稳定于总体的数字特征．
题型五 总体数字特征的实际应用
【典例19】（2023春·广东江门·高一鹤山市第一中学校考阶段练习）某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和．
(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；
(2)求，，，；
(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析；
(3)选A品种，理由见解析.
【分析】（1）利用极差和中位数定义即可求得这两个品种产量的极差和中位数；
（2）利用平均数和方差定义即可求得，，，；
（3）从平均产量和产量的稳定程度综合考虑选择A品种.
【详解】（1）A品种10棵产量由小到大排列为，
则A品种产量的极差为50，中位数为75；
B品种10棵产量由小到大排列为，
则B品种产量的极差为60，中位数为75.
（2）,
，
，
，
（3）由可得A，B两个品种平均产量相等，
又，则A品种产量稳定，故选择A品种.
【典例20】（2022春·江苏苏州·高一校考期末）为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(3)该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a；
（2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；
（3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为对应分数即可.
(1)
由，解得；
(2)
，
故本次防疫知识测试成绩的平均分为；
(3)
设受嘉奖的学生分数不低于分，
因为，对应的频率分别为0.15，0.1，
所以，解得，
故受嘉奖的学生分数不低于分．
【规律方法】
1.明确样本数字特征所反映样本的特征，一般地，平均数反映的是样本个体的平均水平，众数和中位数则反映样本中个体的“重心”，而标准差则反映了样本的波动程度、离散程度，即均衡性、稳定性、差异性等．因此，我们可以根据问题的需要选择用样本的不同数字特征来分析问题．
2.主要命题角度有三个：
（1）样本的数字特征与频率分布直方图交汇
（2）样本的数字特征与茎叶图交汇
（3）样本的数字特征与优化决策问题交汇：利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据
= 1 \* GB3 ①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
= 2 \* GB3 ②用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．
一、单选题
1．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知五个数的平均数为4，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据平均数的计算公式列式计算，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
故选：B
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”正式服役，增强学生的国防意识，某校组织1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，从中随机抽取20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中的值为0.004
B．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75
C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150
【答案】D
【分析】由频率分布直方图的性质逐一计算即可
【详解】由频率分布直方图可得：
，解得，故A错误；
前三个矩形面积为，即第60百分位数为80，故B错误；
估计这二十人的众数为，故C错误；
总体中成绩落在内的学生人数为：，故D正确.
故选：D
3．（2022·高一课时练习）小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还货方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019年家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）
A．小王一家2019年用于饮食支出费用与2016年相同
B．小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍
C．小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了一倍
D．小王一家2019年的房贷支出比2016年减少了
【答案】B
【分析】对于A，小王一家2019年用于饮食的支出费用比2016年多；对于B，设2016年收入为，则2019年收入为，由此能求出小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍；对于C，设2016年收入为，则2019年收入为；对于D，小王一家2019年用于房贷的支出费用与2016年相同．
【详解】对于A，小王一家2019年用于饮食的支出比例与跟2016年相同，但是由于2019年比2016年家庭收入多，小王一家2019年用于饮食的支出费用比2016年多，故A错误；
对于B，设2016年收入为，相同的还款数额在2016年占各项支出的，在2019年占各项支出的，年收入为：，小王一家2019年用于其他方面的支出费用为，小王一家2016年用于其他方面的支出费用为，
小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍，故B正确；
对于C，设2016年收入为，则2019年收入为：，故C错误；
对于D，小王一家2019年用于房贷的支出费用与2016年相同，故D错误．
故选：B．
二、多选题
4．（2022·江苏·高一开学考试）某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有80人
B．图中x的值为0.020
C．估计全校学生成绩的中位数为87
D．估计全校学生成绩的分位数为95
【答案】ACD
【分析】由频率和为1可求解x，再由频率分布直方图的频率计算人数和中位数，根据百分数定义计算分位数，对选项逐个判断.
【详解】由题意，成绩在区间内的学生人数为，A中说法正确；
由，得，B中说法错误；
设中位数为a，则，得，C中说法正确；
低于90分的频率为，设样本数据的分位数为n，则，解得，D中说法正确.
故选：ACD.
5．（2022春·江苏南通·高一统考期末）对于一组数据2，3，3，4，6，6，8，8，则（ ）
A．极差为8B．平均数为5
C．方差为D．40百分位数是4
【答案】BCD
【分析】根据极差、平均数、方差及百分位数的计算方法分别判断即可得出答案.
【详解】对于A，因为这组数据的最大值为8，最小值为2，所以这组数据的极差为，故A不正确；
对于B，因为，所以这组数据的平均数为5，故B正确；
对于C，因为
，故C正确；
对于D，由于，所以第40百分位数为第4个数即，故D正确.
故选：BCD.
6．（2023·江苏南通·二模）已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ）
A．甲种的样本极差小于乙种的样本极差
B．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
C．甲种的样本方差大于乙种的样本方差
D．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数
【答案】ABD
【分析】根据极差判断A，计算平均数判断B，计算方差判断C，分别计算甲乙的样本60百分位数判断D.
【详解】对A，，故A对；
对B，，，故B对；
对C，因为甲、乙平均值都为，所以，
，
显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误；
对D，为整数，故甲的60百分位数，
乙的60百分位数为，故D对.
故选：ABD
三、填空题
7．（贵州省毕节市2023届高三诊断性考试（三）数学（文）试题）某学校为了解教师身体健康情况，从高考学科和非高考学科教师中采用分层抽样的方法抽取部分教师体检.已知该学校高考学科和非高考学科教师的比例是5：1，且被抽到参加体检的教师中，高考学科教师比非高考学科教师多64人，则参加体检的人数是___________.
【答案】96
【分析】设参加体检的人数为，利用分层抽样的定义列出方程，求解即可.
【详解】设参加体检的人数为，则，解得，所以参加体检的人数是96人.
故答案为：96.
8．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，176，178，若样本数据的85百分位数是173，则x的值为______．
【答案】175
【分析】根据百分位数的意义求解.
【详解】第85百分位数是173，因为，所以，
故答案为：175
9．（2022春·江苏南通·高一统考期末）若数据3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差为18，则数据x1，x2，…，x10的方差为__________．
【答案】2
【分析】根据方差的性质公式，即可求解.
【详解】设数据x1，x2，…，x10的方差为，则数据3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差为，根据条件可知，得.
故答案为：2
10．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是__________.
【答案】6
【分析】先求出众数，进而求得中位数，解出，再由百分位数的求法求解即可.
【详解】由题意知，众数是4，则中位数为，则，解得，又，则第60百分位数是6.
故答案为：6.
11．（2021秋·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考期末）某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：
根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以上三段，不同类别的跑者购买的装备价格不一样.根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费__元.
【答案】3720
【分析】根据平均数的概念求解，利用样本估计总计即可.
【详解】根据表中的数据可得，休闲跑者共有人，
核心跑者共有人，
精英跑者共有人，
所以估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费为：
元.
故答案为:3720.
12．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）若的标准差为，则的标准差是___________.
【答案】
【分析】由方差的性质可求得的方差，由此可得标准差.
【详解】的标准差为，的方差；
的方差为，
的标准差为.
故答案为：.
13．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知样本数据的平均数和方差分别为77和123，样本数据的平均数和方差分别为m和n，全部70个数据的平均数和方差分别为74和138，则_____________，_____________．
【答案】 70 130
【分析】根据平均数与方差的公式列式求解即可
【详解】由题意，，，故，故.又，即，，即，故，故
故答案为：70；130
四、解答题
14．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）为了有效抗击疫情，保卫师生健康，某校鼓励学生在食堂就餐，为了更好地服务学生，提升食堂的服务水平，学校采用了问卷调查的形式调研了学生对食堂服务的满意程度，满分是100分，将问卷回收并整理评分数据后，把得分分成了5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制成如图所示的频率直方图.
(1)计算a的值和样本的平均分；
(2)为了更全面地了解师生对食堂服务水平的评价，求该样本的50百分位数（精确到0.01）.
【答案】(1)，样本平均分为分；
(2)分.
【分析】（1）由频率和为1求参数a，根据直方图求样本平均分；
（2）首先判断50百分位数所在区间，再由百分数求法求得50百分位数.
（1）
由直方图知：，可得，
样本平均分为分.
（2）
由，
所以50百分位数在[60，70）区间内，令50百分位数为，
则，可得分.
15．（2022春·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求全市家庭月均用水量不低于 6t的频率；
(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值；
(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）.
【答案】(1)0.3
(2)4.92（t）
(3)6.56
【分析】（1）直接由频率分布直方图计算；
（2）用每组区间的中点值乘以相应的频率再相加可得均值；
（3）由频率分布直方图分别求出前3组和前4组的频率，得出75%分位数在第4组，求出频率0.75对应的值即可得．
【详解】（1）全市家庭月均用水量不低于6t的频率为.
（2）全市家庭月均用水量平均数的估计值为（t）；
（3）因为，，
所以全市家庭月均用水量的75％分位数为.
16．（2022·高一单元测试）已知A，B两家公司的员工月均工资（单位：万元）情况分别如图1，图2所示：
(1)以每组数据的区间中点值为代表，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平？请说明理由．
(2)小明拟到A，B两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司？
【答案】(1)用中位数更能反映该公司普通员工的工资水平，理由见解析
(2)应该选B公司
【分析】（1）根据平均数、中位数的定义，由图1扇形统计图上读取的数据，可得答案；
（2）求解出两家公司的平均数、中位数、众数，进行比较，可得答案.
【详解】（1）A公司员工月均工资的平均数为
（万元）．
由题图1可知A公司员工月均工资在0.6万元以下的比例为，
所以A公司员工月均工资的中位数约为0.6万元．
用中位数更能反映该公司普通员工的工资水平，理由如下：
因为平均数受每一个数据的影响，越离群的数据对平均数的影响越大，该公司少数员工的月收入很高，在这种情况下平均数并不能较好的反映普通员工的收入水平，而中位数不受少数极端数据的影响，可以较好的反映普通员工的收入水平．
（2）B公司员工月均工资的平均数为
（万元）
由题图2知，B公司员工月均工资在0.6万元以下的频率为，在0.8万元以下的频率为．
设B公司员工月均工资的中位数为x万元，
则，得．
小明应选择B公司应聘，理由如下：
B公司员工工资数据较为集中，月均工资的平均数和中位数均能反映该公司普通员工的平均收入水平，B公司员工月均工资平均数为0.69，中位数为0.7，均大于A公司员工月均工资的中位数0.62，所以以公司普通员工的工资水平作为决策依据，小明应该选B公司应聘．
劳动时间（时）
频数（人数）
频率
12
1
30
2
18
合计
1
毕业生
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
起始月薪
2850
2950
3050
2880
2755
2710
2890
3130
2940
3325
2920
2880
A(单位kg)
60
50
40
60
70
80
80
80
90
90
B(单位kg)
40
60
60
80
80
50
80
80
70
100
周跑量
，
，
，
，
，
，
，
，
，
人数
100
120
130
180
220
150
60
30
10
周跑量
小于20公里
20公里到40公里
不小于40公里
类别
休闲跑者
核心跑者
精英跑者
装备价格（单位：元）
2500
4000
4500