高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算优秀随堂练习题

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18992" 【题型1 向量的加减运算】 PAGEREF _Tc18992 \h 3
\l "_Tc6316" 【题型2 平面向量的混合运算】 PAGEREF _Tc6316 \h 4
\l "_Tc24962" 【题型3 由平面向量的线性运算求参数】 PAGEREF _Tc24962 \h 5
\l "_Tc19347" 【题型4 向量共线定理的应用】 PAGEREF _Tc19347 \h 7
\l "_Tc23381" 【题型5 根据向量关系判断三角形的心】 PAGEREF _Tc23381 \h 9
\l "_Tc12061" 【题型6 向量线性运算的几何应用】 PAGEREF _Tc12061 \h 12
【知识点1 平面向量的线性运算】
1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
2．向量加法的运算律
(1)交换律：；
(2)结合律：.
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以
表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.

4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与
方向规定如下：
①；
②当>0时，的方向与的方向相同；当0)，则m+n的值为（ ）

A．2B．3C．92D．5
【解题思路】根据AO=12AB+AC=m2AM+n2AN及O,M,N三点共线结论求得m+n的值.
【解答过程】因为点O是BC的中点，
所以AO=12AB+AC，
又因为AB=mAM,AC=nAN(m,n>0)
所以AO=m2AM+n2AN，
因为O,M,N三点共线，
所以m2+n2=1，
所以m+n=2.
故选：A.
【变式4-3】（2023·高一课时练习）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC=2BD，CE=2EA，AF=2FB，则（ ）
A．AD+BE+CF与BC反向平行B．AD+BE+CF与BC同向平行
C．3BE+3CF−BC与CA反向平行D．3BE+3CF−BC与CA不共线
【解题思路】将AD、BE、CF用AB和AC表示，再根据平面向量的线性运算以及平行的概念判断可得答案.
【解答过程】因为DC=2BD，所以BD=13BC，
因为CE=2EA，所以AE=13AC，
因为AF=2FB，所以AF=23AB，
AD=AB+BD =AB+13BC =AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，
BE=AE−AB =13AC−AB，
CF=AF−AC =23AB−AC，
所以AD+BE+CF =23AB+13AC+13AC−AB+23AB−AC =13AB−13AC=13CB=−13BC，
所以AD+BE+CF与BC反向平行，故A正确，B错误；
3BE+3CF−BC =3(13AC−AB)+3(23AB−AC)−BC
=−2AC−AB−BC=−2AC−AC=−3AC=3CA，
所以3BE+3CF−BC与CA同向平行，故CD错误.
故选：A.
【题型5 根据向量关系判断三角形的心】
【例5】（2022·高一课时练习）已知点O是△ABC所在平面上的一点，△ABC的三边为a,b,c，若aOA→+bOB→+cOC→=0→，则点O是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解题思路】在AB，AC上分别取点D，E，使得AD→=AB→c，AE→=AC→b，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，即可得到四边形ADFE是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到A，O，F三点共线，即可得到O在∠BAC的平分线上，同理说明可得O在其它两角的平分线上，即可判断.
【解答过程】在AB，AC上分别取点D，E，使得AD→=AB→c，AE→=AC→b，则AD→=AE→=1．
以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图，

则四边形ADFE是菱形，且AF→=AD→+AE→=AB→c+AC→b．
∴AF为∠BAC的平分线． ∵ aOA→+bOB→+cOC→=0→
∴a⋅OA→+b⋅(OA→+AB→)+c⋅(OA→+AC→)=0→，
即(a+b+c)OA→+bAB→+cAC→=0→，
∴ AO→=ba+b+cAB→+ca+b+cAC→=bca+b+c(AB→c+AC→b)=bca+b+cAF→．
∴A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上．
同理可得O在其它两角的平分线上，
∴O是△ABC的内心．
故选：B．
【变式5-1】（2023·全国·高三对口高考）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈[0,+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．垂心C．内心D．重心
【解题思路】根据向量线性关系可得λ(AB+AC)=AP，结合AB+AC的几何意义判断所过的点，即可得答案.
【解答过程】由题设λ(AB+AC)=OP−OA=AP，
而AB+AC所在直线过BC中点，即与BC边上的中线重合，且λ∈[0,+∞)，
所以P的轨迹一定通过△ABC的重心.
故选：D.
【变式5-2】（2023下·上海奉贤·高一校考期中）设O为△ABC所在平面内一点，满足OA+2OB+2OC=0，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6B．83C．127D．5
【解题思路】延长OB到D，使OB=BD，延长OC到E，使OC=CE，连接AD,DE,AE，则由已知条件可得O为△ADE的重心，由重心的性质可得S△AOD=S△AOE=S△DOE=S，再结合中点可求出S△AOB,S△AOC，S△BOC的面积，进而可求得答案
【解答过程】解：延长OB到D，使OB=BD，延长OC到E，使OC=CE，连接AD,DE,AE，
因为OA+2OB+2OC=0，所以OA+OD+OE=0，
所以O为△ADE的重心，
所以设S△AOD=S△AOE=S△DOE=S，则S△AOB=S△AOC=12S，S△BOC=14S,
所以S△ABC=12S+12S+14S=54S,
所以S△ABCS△BOC=54S14S=5，
故选：D.
【变式5-3】（2022上·山西太原·高三统考期中）已知点O,P在△ABC所在平面内，满OA+OB+OC=0，PA=PB=PC，则点O,P依次是△ABC的（ ）
A．重心，外心B．内心，外心C．重心，内心D．垂心，外心
【解题思路】设AB中点为D，进而结合向量加法法则与共线定理得O,D,C三点共线，O在△ABC的中线CD，进而得O为△ABC的重心，根据题意得点P为△ABC的外接圆圆心，进而可得答案.
【解答过程】解：设AB中点为D，因为OA+OB+OC=0，
所以OA+OB+OC=2OD+OC=0，即−2OD=OC，
因为OD,OC有公共点O，
所以，O,D,C三点共线，即O在△ABC的中线CD，
同理可得O在△ABC的三条中线上，即为△ABC的重心；
因为PA=PB=PC，
所以，点P为△ABC的外接圆圆心，即为△ABC的外心
综上，点O,P依次是△ABC的重心，外心.
故选：A.
【题型6 向量线性运算的几何应用】
【例6】（2023·全国·高二课堂例题）如图，在空间四边形ABCD中，已知点G为△BCD的重心，E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，化简下列各式，并在图中标出化简结果．

(1)AG+13BE−12AC；
(2)12AB+AC−AD；
(3)13AB+13AC+13AD．
【解题思路】（1）利用重心的特点和平面向量的加法法则计算即可；
（2）利用向量加法的平行四边形法则和减法法则计算即可；
（3）利用向量的加法法则和减法法则计算即可.
【解答过程】（1）如图，连接EF，∵G是△BCD的重心，∴GE=13BE．

又12CA=EF，∴由向量加法的三角形法则可知，
AG+13BE+12CA=AG+GE+EF=AE+EF=AF．在图中标出如图1.1-14所示．
（2）连接AH，如图，因为E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，
所以12AB+AC−AD=122AH−AD=AH−12AD=AH−AF=FH．在图中标出FH，如图所示．
（3）13AB+13AC+13AD=AB+13AC−AB+13AD−AB
=AB+13BC+BD=AB+23BE=AB+BG=AG．
在图中标出AG，如图所示．
【变式6-1】（2023·全国·高一随堂练习）在△ABC中，点M为边AB的中点，点N为边AC的中点，求证：MN=12BC．
【解题思路】根据向量的线性运算将MN,BC分别用AB,AC表示，进而可得出答案.
【解答过程】在△ABC中，点M为边AB的中点，点N为边AC的中点，
则BC=AC−AB，
MN=AN−AM=12AC−12AB=12AC−AB，
所以MN=12BC．
【变式6-2】（2023·全国·高一课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．

【解题思路】根据题意结合向量的线性运算分析证明.
【解答过程】由题意可得：AN+NB=AB=2FC，FC=FN+NC，
所以AN+NB=2FC=2FN+2NC,
由于AN与NC，NB与FN分别共线，但NC与FN不共线，
所以NB=2FN，AN=2NC，因此N是AC的一个三等分点；
同理可证MC=2AM，因此M也是AC的一个三等分点．
【变式6-3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，点D是△ABC中BC边的中点，AB=a，AC=b.

(1)试用a，b表示AD；
(2)若点G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG？
(3)若点G是△ABC的重心，求GA+GB+GC.
【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可；
（2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可；
（3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可.
【解答过程】（1）因为点D是△ABC中BC边的中点，且AB=a，AC=b，
所以AD=AB+BD=AB+12BC=AB+12AC−AB=12AB+12AC=12a+12b；
（2）因为点G是△ABC的重心，
所以AG=23AD=23AB+BD =23AB+12BC =23AB+12AC−AB =2312AB+AC
=13a+13b.
（3）因为点G是△ABC的重心且D是BC边的中点，所以GB+GC=2GD，
又AG=23AD=2GD，所以GB+GC=AG=−GA，所以GA+GB+GC=0.定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
向量
加法
的三
角形
法则
前提
已知非零向量,，在平面内任取一点A.
作法
作，连接AC.
结论
向量叫做与的和，记作，即.
图形
向量
加法
的平
行四
边形
法则
前提
已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O.
作法
作，以OA,OB为邻边作四边形OACB.
结论
以O为起点的向量就是向量与的和，即.
图形
规定
对于零向量与任一向量，我们规定.