高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图精品同步训练题

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\l "_Tc15119" 【题型1 斜二测画法的辨析】 PAGEREF _Tc15119 \h 2
\l "_Tc32194" 【题型2 画平面图形的直观图】 PAGEREF _Tc32194 \h 3
\l "_Tc19329" 【题型3 画空间几何体的直观图】 PAGEREF _Tc19329 \h 4
\l "_Tc174" 【题型4 由直观图还原几何图形】 PAGEREF _Tc174 \h 5
\l "_Tc9752" 【题型5 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】 PAGEREF _Tc9752 \h 6
【知识点1 立体图形的直观图】
1．空间几何体的直观图
(1)直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全
在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法及其步骤
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其
步骤是：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'
轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度
为原来的一半.
(3)旋转体及其相关概念
斜二测画法画空间几何体的直观图的规则
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有
以下规则.
①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.
②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原
来的一半.
③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系
(1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积
.
(2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原.
【题型1 斜二测画法的辨析】
【例1】（2023下·高一课时练习）利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图可能仍是正方形；
④菱形的直观图是一定是菱形．
以上结论，正确的是（ ）
A．①②B．①C．③④D．①②③④
【变式1-1】（2023下·陕西宝鸡·高一统考期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．相等的角在直观图中不一定相等
C．平行的线段在直观图中仍然平行
D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直
【变式1-2】（2023下·重庆江北·高一校考期中）如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′C′=A′B′，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
【变式1-3】（2023下·湖南·高一校联考期中）下列关于平面图形的直观图的叙述中，正确的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是一个等腰三角形
B．若某一平面图形的直观图面积为a，则原图形面积为22a
C．原图形中相等的线段，其直观图也一定相等
D．若三角形的周长为12，则其直观图的周长为6
【题型2 画平面图形的直观图】
【例2】（2023下·高一课时练习）用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图．
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图.
【变式2-2】（2023下·全国·高一专题练习）如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD//AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积．
【变式2-3】（2023·高一课前预习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：
(1)边长为3cm的正三角形；
(2)边长为4cm的正方形；
(3)边长为2cm的正八边形．
【题型3 画空间几何体的直观图】
【例3】（2023下·高一课时练习）用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为2，3，高为2．
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）已知直三棱柱ABC−A1B1C1，的底面是等腰直角三角形，且AB=AC=4，侧棱AA1=5．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）

【变式3-2】（2023·高一课前预习）画出下列图形的直观图：
(1)棱长为4cm的正方体；
(2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥．
【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．
【题型4 由直观图还原几何图形】
【例4】（2023上·浙江·高二校联考期中）图，某四边形ABCD的直观图是正方形A′B′C′D′，且A′1,0,C′−1,0，则原四边形ABCD的周长等于（ ）

A．2B．22+23C．4D．42+43
【变式4-1】（2023下·甘肃白银·高一校考期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=4,A′B′=2，则该平面图形的高为（ ）

A．22B．2C．42D．2
【变式4-2】（2023上·高二课时练习）△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′，如图所示，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=32，那么△ABC的形状是（ ）

A．等边三角形B．直角三角形
C．腰和底边不相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形
【变式4-3】（2023下·山东德州·高一统考期末）如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）

A．2B．3C．5D．5
【题型5 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】
【例5】（2023上·四川内江·高二校考期中）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=3，O′B′=4，∠A′O′B′=45°，则原△AOB的面积为（ ）

A．6B．62C．12D．24
【变式5-1】（2023下·陕西商洛·高一校考期中）如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6cm，C′D′=2cm，则原图形OABC的面积是（ ）cm2.

A．12B．122
C．6D．242
【变式5-2】（2023下·湖北武汉·高一校联考期中）如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是（ ）

A．AB=2
B．A′D′=22
C．四边形ABCD的周长为4+22+23
D．四边形ABCD的面积为62
【变式5-3】（2023下·浙江温州·高一校联考期中）如图，△A′B′C′是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的A直观图，D′是B′C′的中点，且A′D′∥y轴，B′C′∥x′轴，A′D′＝2,B′C′＝2，那么（ ）

A．AD>ACB．S△ABC=4
C．S△A′B′C′=2D．∠ABC=π4