高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直优秀同步练习题

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\l "_Tc13693" 【题型1 异面直线所成的角】 PAGEREF _Tc13693 \h 1
\l "_Tc29147" 【题型2 线线垂直的判定】 PAGEREF _Tc29147 \h 2
\l "_Tc29748" 【题型3 线面垂直的判定】 PAGEREF _Tc29748 \h 5
\l "_Tc27202" 【题型4 直线与平面所成的角】 PAGEREF _Tc27202 \h 7
\l "_Tc26235" 【题型5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 PAGEREF _Tc26235 \h 9
\l "_Tc5526" 【题型6 由线面垂直的性质证明面面平行】 PAGEREF _Tc5526 \h 10
\l "_Tc8224" 【题型7 根据线面垂直求参数】 PAGEREF _Tc8224 \h 11
\l "_Tc28515" 【题型8 平面内的射影问题】 PAGEREF _Tc28515 \h 13
【知识点1 直线与直线垂直】
1．异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的
角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<.
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记
作a⊥b.
【题型1 异面直线所成的角】
【例1】（2023上·宁夏石嘴山·高三校考期中）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1B，B1D1，A1D，CD1的中点，则异面直线MN与PQ所成角的大小是（ ）
A．π6B．π4C．π3D．π2
【变式1-1】（2023上·广西玉林·高二校联考阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=2,BC=2,E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的正弦值为（ ）

A．39B．−39C．239D．789
【变式1-2】（2023下·河南新乡·高一统考期末）已知在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=3A1B1=3，若异面直线AA1与BC所成角的余弦值为66，则正四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积为（ ）
A．1333B．133C．2633D．263
【变式1-3】（2023上·全国·高三校联考阶段练习）已知四棱锥P−ABCD底面ABCD是矩形，其中AD=2，AB=4，侧棱PA⊥底面ABCD，E为PD的中点，四棱锥P−ABCD的外接球表面积为36π，则直线BE与CD所成角的正弦值为（ ）
A．34B．22121C．33D．10521
【题型2 线线垂直的判定】
【例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在正三棱柱ABC−A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB=BB′=2.求证：BE⊥AC′.
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=2．求证：AD⊥BC．
【变式2-2】（2023·全国·高一课堂例题）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心.求证AO1⊥BD
【变式2-3】（2023下·全国·高一专题练习）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1.
（1）求A1C1与B1C所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：A1C1⊥EF.
【知识点2 直线与平面垂直】
1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫
做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的
长度叫做这个点到该平面的距离.
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
3．直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的
斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的
直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所
成的角.

(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是.
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<.
④直线与平面所成的角的取值范围是.
4．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
5．点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
【题型3 线面垂直的判定】
【例3】（2023下·全国·高三校联考阶段练习）如图，在五面体ABCDE中，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点F，△ABC为等边三角形，AB⊥AD,BC⊥CD，AE=CE=433，AB=2.
(1)证明：AC⊥平面BDE；
(2)若AB⊥CE，求五面体的体积.
【变式3-1】（2023上·上海·高二专题练习）如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
求证：AN⊥平面PBM；
【变式3-2】（2023上·上海·高二专题练习）如图，在三棱锥S−ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，且SA=SB=SC.

(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.
【变式3-3】（2023下·北京·高二统考学业考试）如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形．

(1)求证：AB//平面PCD；
(2)求证：AB⊥平面PAD．
【题型4 直线与平面所成的角】
【例4】（2023上·广东佛山·高二南海中学校考期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60∘，且AA1=1，则AC1与底面ABCD所成角的正弦值为（ ）

A．210B．1010C．31010D．7210
【变式4-1】（2023上·浙江温州·高二温州中学校考阶段练习）动点M在正方体ABCD−A1B1C1D1从点B1开始沿表面运动，且与平面A1DC1的距离保持不变，则动直线A1M与平面A1DC1所成角正弦值的取值范围是（ ）
A．13,33B．12,33C．13,63D．12,63
【变式4-2】（2023下·四川成都·高一成都七中校考期末）如图，三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC，CH⊥PB，AB⊥BC，PA=4，点C到PA的距离CD=2，若BH和平面CDH所成角的正弦值为34，则BC长度为（ ）

A．1B．2C．3D．2
【变式4-3】（2023上·江西·高三校联考阶段练习）如图，在三棱台ABC−A′B′C′中，上底面是边长为2的等边三角形，下底面是边长为22的等边三角形，侧棱长都为1，则直线CC′与平面ABC所成角的余弦值为（ ）

A．33B．64C．63D．34
【题型5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】
【例5】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2． M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D．
求证：MN//A1C；
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【变式5-2】（2023下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，且PB=PD．

(1)若PA⊥平面ABCD,AB=2PA=2，求三棱锥P−BCD的体积；
(2)求证：BD⊥PC．
【变式5-3】（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）已知四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=135°,BC=22，SB=SC=AB=2,F为线段SB的中点．
(1)求证：SD ∥平面CFA；
(2)求证：SA⊥BC．
【题型6 由线面垂直的性质证明面面平行】
【例6】（2023上·四川南充·高二校考阶段练习）设两条直线l，m，两个平面α，β，则下列条件能推出α//β的是（ ）
A．l⊥α，m⊥β，且l//mB．l//α，m//β，且l//m
C．l⊂α，m⊂β，且l//mD．l⊂α，m⊂α，且l//β，m//β
【变式6-1】（2023下·江西南昌·高一统考期末）若α,β,γ表示三个不同的平面，l表示直线，则下列条件能推出α//β的是（ ）
A．l⊂α，l//βB．l//α,l//β
C．l⊥α,l⊥βD．α⊥γ,β⊥γ
【变式6-2】（2023上·北京·高二清华附中校考期中）已知α,β是两个不同的平面，α // β的一个充要条件是（ ）
A．α内有无数条直线平行于β
B．存在平面γ,α⊥γ,β⊥γ
C．存在平面γ,α∩γ=m,β∩γ=n，且m // n
D．存在直线l,l⊥α,l⊥β
【变式6-3】（2023上·北京顺义·高三校考期中）如图，在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是该正方体对角线BD1上的动点，给出下列四个结论：
①AC⊥B1P；
②△APC面积的最小值是2；
③只存在唯一的点P，使BD1⊥平面APC；
④当BP=233时，平面ACP//平面A1C1D.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型7 根据线面垂直求参数】
【例7】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，在正三棱锥D-ABC中，AB=3，DA=2，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且PO=λDO，若PA⊥平面PBC，则实数λ=（ ）
A．12B．−13C．64D．66
【变式7-1】（2023下·山西·高一统考期末）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，D是A1B1的中一点，点F在BB1上，记B1F=λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的值为（ ）
A．13B．12C．23D．1
【变式7-2】（2023上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，AP=AB=4，侧棱PA⊥底面ABCD，T是CD的中点，Q是△PAC内的动点，TQ⊥BP，则Q的轨迹长为（ ）

A．2B．3C．22D．23
【变式7-3】（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是等腰三角形，BA=BC，AC=2，CC1=3，D是AC的中点，点F在侧棱A1上，若要使C1F⊥平面BDF，则AFFA1的值为
A．1B．12或2C．22或2D．13或3
【题型8 平面内的射影问题】
【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知正方体ABCD−A′B′C′D′中，E、F、G分别是棱A'B'、AA'、A'D'上的点，则点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（ ）
A．垂心B．重心C．外心D．内心
【变式8-1】（2023下·河南安阳·高三校联考阶段练习）如图，在圆柱OO1中，AB为底面直径，E是AB的中点，D是母线BC的中点，M是上底面上的动点，若AB=4，BC=3，且ME⊥AD，则点M的轨迹长度为（ ）
A．32B．7C．574D．4
【变式8-2】（2023·高一课时练习）已知空间中的直线l1，l2，l3满足l1//l2//l3，且两两之间的距离均为d（d>0），动点A∈l1，B∈l2，C∈l2，D∈l3，AB，BD，CD，AC的中点分别为M，P，N，Q，则在A，B，C，D的变化过程中，存在某一位置，使得（ ）
A．MN=PQ，点A在面BCD上的射影为△BCD垂心
B．MN≠PQ，点A在面BCD上的射影为△BCD垂心
C．MN=PQ，点A在面BCD上的射影为△BCD内心
D．MN≠PQ，点A在面BCD上的射影为△BCD内心
【变式8-3】（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫做图形M在这个平面上的射影.如图，在三棱锥A−BCD中，BD⊥CD，AB⊥DB，AC⊥DC，AB=DB=5，CD=4，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为S1，S2，S3，S4，设面积为S2的三角形所在的平面为α，则面积为S4的三角形在平面α上的射影的面积是（ ）
A．234B．252C．10D．30