福建省福州市2024届高三下学期2月份质量检测数学试卷（附解析版）

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（完卷时间120分钟；满分150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
3. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，，则的面积为（ ）
A 2B. C. 4D.
5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
6. 已知正方形的四个顶点都在椭圆上，椭圆的两个焦点分别在边和上，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 的最小值为1B. 的最小值为1
C. 为递增数列D. 为递减数列
10. 在长方体中，为的中点，则（ ）
A. B. 平面
C. 点到直线距离为D. 点到平面的距离为
11. 通信工程中常用元数组表示信息，其中或．设表示和中相对应的元素（对应，）不同的个数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则存在5个5元数组，使得
B. 若，则存在12个5元数组，使得
C. 若元数组，则
D. 若元数组，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复平面内，复数对应点的坐标是，则______．
13. 底面半径为2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为的圆锥，所得的圆台的侧面积为______．
14. 在平面直角坐标系中，整点（横坐标与纵坐标均为整数）在第一象限，直线，与圆：分别切于，两点，与轴分别交于，两点，则使得周长为的所有点的坐标是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，是零点．
（1）求的值；
（2）求函数的值域．
16. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，在上，且．
（1）证明：平面；
（2）若，为的中点，且，求平面与平面夹角的余弦值．
17. 人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：
（1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为，求的数学期望．
（2）对表格中的数据，依据的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．
附：参考公式：．
18. 已知双曲线，动直线与轴交于点，且与交于两点，是的等比中项，．
（1）若两点位于轴的同侧，求取最小值时的周长；
（2）若，且两点位于轴的异侧，证明：为等腰三角形．
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求证：；
（3）若且，求证：．
外向型
内向型
男性
45
15
女性
20
10
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635