广东省深圳市龙华区深圳市致理中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题(含答案)

这是一份广东省深圳市龙华区深圳市致理中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题(含答案)，共10页。试卷主要包含了给出下列命题，正确的有，已知向量，若，则的值为，在中，，则等于，在中，角的对边分别为的面积为，对于，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
考试时长：120分钟 卷面总分：150分
第一部分选择题
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知复数的共轨复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ）
A.-2 B. C.2 D.
2.给出下列命题，正确的有（ ）
A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B.已知为实数，若，则与共线
C.的充要条件是且
D.若是不共线的四点，且，则四边形为平行四边形
3.已知向量，若，则的值为（ ）
A.-2 B.2 C.-2或1 D.-1或2
4.在中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
5.在四边形中，四个顶点的坐标分别是分别为的中点，则（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16
6.已知中，为边的中点，分别为上的点，，交于点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，角的对边分别为的面积为（ ）
A. B. C. D.
8.在中，，点是的重心，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题
9.设是平面内两个不共线的向量，则以下可作为该平面内一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
10.对于，下列说法正确的有（ ）
A.若，则符合条件的有两个
B.若，则
C.若，则是钝角三角形
D.若，则为等腰三角形
11.是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是（ ）
A.是单位向量 B.
C. D.
第二部分非选择题
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.设向量，满足，，与的夹角为，则__________.
13.定义运算，复数满足，则__________.
14.如图，某山的高度，一架无人机在处观测到山顶的仰角为，地面上处的俯角为，若，则此无人机距离地面的高度为__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）（共77分）
15.（本题13分）（1）化简：；
（2）方程有一个根为，求实数的值.
16.（本题15分）已知向量满足，且.
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角.
17.（本题15分）在中，是角所对的边，是该三角形的面积，且
（1）求的大小；
（2）若，求的值.
18.（本题17分）在直角梯形中，.
（1）求；
（2）若与共线，求的值；
（3）若为边上的动点（不包括端点），求的最小值.
19.（本题17分）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首.1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，.
（1）若，求三角形手巾的面积；
（2）当取最小值时，请帮设计师计算BD的长.
深圳市光明中学2023-2024学年度第二学期高一数学第一次统测试题
参考答案
本试卷共四4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
第一部分选择题
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
【分析】利用向量减法运算和垂直的坐标表示直接求解.
【详解】由题意得，，
，解得或，
故选：C.
4.【答案】B
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，并确定角的范围即可求解.
【详解】在中，，由正弦定理得，
则，而，即，
所以.
故选：B
5.【答案】A
【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示进行数量积运算.
【详解】由题意，
则，
.
故选：A
6.【答案】A
【详解】
如图，设，则，则，故，又为的中点，所以，所以，所以解得故.故选A.
7.【答案】C
【分析】结合正弦定理，和余弦定理求出，进而得到，应用面积公式即可.
【详解】由，得，
，
，
即，解得，
，
.
故选：C
8.【答案】B
【详解】设的中点为，因为点是的重心，所以
，再令，则
，
，当且仅当时取等号，故选.
二､多选题
9.【答案】ABD
【分析】因为是平面内两个不共线的向量，对于，设，即，显然不成立，即不能用表示，所以不共线，故符合题意；对于，设，即，则无解，即不能用表示，所以不共线，故符合题意；对于，所以共线，故不符合题意；对于，设，即，则无解，即不能用表示，所以不共线，故符合题意.故选ABD.
10.【答案】BC
【详解】对于选项A：由余弦定理可得：
，
即，只有一解，故A错误；
对于选项B：若，则，由正弦定理可得成立.故B正确；
对于选项C：若，由正弦定理得，
由余弦定理，且
所以为钝角，即是钝角三角形，故正确；
对于选项D：因为在三角形中，，
故若，则或，可得或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故不正确，
故选：BC.
11.【答案】ABD
【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以，又，所以是单位向量，故A正确；因为，所以，所以，故B正确；因为，所以，故错误；因为，所以，所以，故D正确.故选ABD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.【答案】
【分析】先计算出，从而求出.
【详解】，
故.
故答案为：
13.【答案】2-i
【分析】根据题意得，然后化简可求出复数
【详解】因为，所以
所以，则，
故答案为：
14.【答案】200
[解析]根据题意，在Rt中，.在中，，由正弦定理，得，则.在Rt中，.
四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）（共77分）
15.【答案】（1）；（2）5.
【分析】（1）根据求解
（2）根据实系数一元二次方程根的特点，韦达定理求解
【详解】（1）因为，
所以
.
（2）由实系数一元二次方程的复数根共轭，
故另一个根为，
16.【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据向量的垂直的数量积表示，即可求解；
（2）利用向量的数量积运算律和夹角公式，即可求解.
【详解】（1）因为
即，解得：
，
解得：
（2），
17.【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由正弦定理将边化成角，再由两角和的正弦和同角的三角函数关系化简可得；
（2）由三角形的面积公式，再由余弦定理解出即可.
【详解】（1）由得
，
，
即又.
（2）由有
18.【答案】（1）-5（2）（3）
19.【答案】（1）（2）
【分析】（1）由正弦定理求得的长，即可得的长，由三角形面积公式即可求得答案.
（2）设，利用余弦定理表示出，即可得的表达式，结合基本不等式确定其最小值，即可求得答案.
（1）在中，，，故，，
由正弦定理得，即，
而，
故，
故，
故三角形手巾的面积为
（2）设，则，
则在中，，
在中，，
故
，
由于，当且仅当，即时取等号，
故，
即取到最小值即取最小值时，，
即此时.
【点睛】
关键点睛：第二问求解取最小值时的长，关键是设，分别利用余弦定理表示出，从而可得.表达式，进而利用基本不等式求解.