云南省昆明市第一中学西山学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份云南省昆明市第一中学西山学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（含答案），共11页。
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
3．作答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知为虚数单位，复数，则的虚部是（ ）
A．B．1C．iD．
3．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角所对的边分别为，已知，则的外接圆面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角所对的边分别为，且，则的形状为（ ）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形
7．在中，若动点满足，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
8．如图，一块三角形铁片，已知，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点．过点作一条直线分别交于点，并沿直线裁掉，则剩下的四边形面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ）
A．对应的点在复平面的第四象限B．是一个纯虚数
C．D．
10．已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为针角，则的取值范围为
11．已知函数且图象的相邻两对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ）
A．若为偶函数，则
B．若的一个对称中心为，则
C．若在区间上单调递增，则的最大值为
D．若在区间内有三个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．向量在向量上的投影向量为______．（写出坐标）
13．大观楼，位于云南省昆明市．在《中国名楼》站台票纪念册中，大观楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、光岳楼共同组成中国十大名楼．如图，某同学为测量大观楼的高度，在大观楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，三点共线）测得建筑物顶部，大观楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则大观楼的高度约为______．
14．等边的边长为2，三角形所在平面内有一动点，满足，则的最小值为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知向量．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角．
16．（15分）
在中，角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）已知的面积为，设为的中点，且，求的周长．
17．（15分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求的最值及取最值时的值；
（3）若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围．
18．（17分）
如图，在中，点在边上，．
（1）若，求；
（2）若是锐角三角形，，求的取值范围．
19．（17分）
如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围．
昆一中西山学校2023-2024学年春季学期3月月考答案
高一数学
选择题
填空题
12． 13．22 14．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．解：因为向量方向不同，所以，故A错，，故B错，根据向量加法的平行四边形法则知，，故C错，根据向量减法运算可知，，故D对，故选：D
2．解：因为复数，所以，其虚部为，故选：B．
3．解：因为，所以，因为，所以，故选：D．
4．解：因为，所以由余弦定理可得，所以，设的外接圆半径为，由正弦定理可得，即，则的外接圆面积为，故选：C
5．解：
．故选：A．
6．解：因为，所以，即，即，所以，在中，，所以，所以，所以，因为，所以，则，所以．所以为直角三角形，故选：B．
7．解：因为，
所以，设的中点为，则，则，即，所以，所以点在线段的中垂线上，故点的轨迹过的外心，故选：C．
8．解：设，，，，，即，平方得，当且仅当，即时取得等号，故，又，当的面积最小时，剩下的四边形面积的最大为．故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．解：由题意得：，
对于A项：，对应的点在复平面的第一象限，故A项错误；
对于B项：为纯虚数，故B项正确；
对于C项：，故C项正确；
对于D项：，故D项正确；故选：BCD．
10．解：对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B错误；
对于C，，则，
当时，，故C正确；
对于D，因为向量与向量的夹角为针角，所以且不共线，
由，得，由得，
所以的取值范围为，故D错误．故选：AC．
11．解：因为，
又图像的相邻两对称轴间的距离为，
所以的最小正周期为，又，则，
所以，
对于A项，因为为偶函数，所以，得，因为，所以，故A正确；
对于B项，因为的一个对称中心为，
所以，得，
因为，所以，故B不正确；
对于C项，由可得，
因为，且在区间上单调递增，
所以，解得，所以的最大值为，故C正确；
对于D项，由可得，
因为，结合正弦函数图像得，解得，故D项正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．解：由得，设与的夹角为在上的投影向量为
故答案为：．
13．解：由题设及图知：，
则，在中，
故答案为：22．
14．解：设的中点为，则，因为，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，所以，所以故答案为：．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：（1）由题意，设，因为，所以，所以，所以或．
（2）因为，所以，所以，
即，设与的夹角为，则，
又，所以，所以与的夹角．
16．（15分）
解：（1）由题意知中，，由正弦定理边角关系得：，
所以，
因，所以，所以，所以，
又，所以，即．
（2）在中，为中线，，
，
．
，
，的周长为．
17．（15分）
解：（1），
故函数的最小正周期为．
（2）由（1）知，因为，所以，
令，则，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，即时，函数有最小值，最小值为．
当，即，函数有最大值，最大值为．
综上的最小值为0，此时；最大值为3，此时．
（3）因为函数在内有且只有一个零点，
所以在只有一个实根，
即，即，
即函数在的图象在与直线只有一个交点，
当时，，
令，则在区间的图象与直线只有一个交点时，
即，解得．
18．（17分）
解：（1）在中，由余弦定理得，
即，而，解得，则，
在中，，由余弦定理得．
（2）在锐角中，，且，则，
由正弦定理得，
显然，即有，因此，即，
所以的取值范围是
19．（17分）
解：（1）依题意，
，
；
（2）因交于，由（1）知，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，所以，所以；
（3）由已知，因是线段上动点，则令，
，
又不共线，则有，在上递增，所以，故的取值范围是．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
B
D
C
A
B
C
A
BCD
AC
ACD